一類含參半正二階離散周期邊值問(wèn)題正解的存在性

王 瑞, 路艷瓊

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

微分方程或差分方程邊值問(wèn)題在計(jì)算機(jī)科學(xué)、 物理學(xué)、 經(jīng)濟(jì)學(xué)、 生態(tài)學(xué)、 動(dòng)力系統(tǒng)、 機(jī)械系統(tǒng)及交通系統(tǒng)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 目前, 邊值問(wèn)題正解的研究已由非線性項(xiàng)正定的條件逐漸拓展到非線性項(xiàng)具有負(fù)下界的情形, 這類問(wèn)題稱為半正問(wèn)題. Castro等[1]在考察二階微分方程Dirichlet邊值問(wèn)題

(1)

非負(fù)解的存在性時(shí), 提出了半正假設(shè):f(0)<0.Anuradha等[2]用錐上不動(dòng)點(diǎn)定理考察了二階微分方程

(2)

正解的存在性, 其中λ>0為參數(shù),f: [r,R]×[0,∞)→連續(xù), 且存在常數(shù)M>0, 使得f(t,u)≥-M,t∈[r,R],u≥0.Webb等[3]在半正情形下建立了任意階微分方程

u(n)(t)=λf(t,u(t)),λ>0

(3)

多個(gè)正解的存在性.Zhu等[4]基于Leray-Schauder非線性抉擇和Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理研究了含參半正二階微分方程周期邊值問(wèn)題

(4)

正周期解的存在性和多解性, 其中λ>0是參數(shù),f: [0,2π]×[0,∞)→滿足Carathédory條件. 金立蕓等[5]用Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理討論了二階差分方程m-點(diǎn)特征值問(wèn)題

(5)

至少一個(gè)正解的存在性, 其中f: [0,∞)→連續(xù), 且存在常數(shù)M>0使得f(y)≥-M,t∈[a+1,b],λ>0為參數(shù),α,β,ν,δ∈[0,∞),ci,di∈[0,∞),i∈{1,2,…,m-2}.李建平等[6]利用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理在非線性項(xiàng)具有負(fù)下界和非減性條件下, 討論了二階半正定非線性差分方程

(6)

正解的存在性, 其中T>1是一個(gè)給定的正整數(shù).

離散周期邊值問(wèn)題是一類重要的差分問(wèn)題, 在非線性項(xiàng)f非負(fù)的情形下關(guān)于其解的存在性與多解性研究已有很多結(jié)果[7-10].王晶晶等[8]在非線性項(xiàng)f非負(fù)時(shí)給出了

(7)

正解的存在性結(jié)果, 其中a: [1,N]→(0,∞), 且但目前關(guān)于半正離散周期邊值問(wèn)題正解的存在性研究尚未見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道, 基于此, 本文研究半正二階離散變系數(shù)周期邊值問(wèn)題

(8)

其中λ>0, [1,T]={1,2,…,T},a: [1,T]→(0,∞)且連續(xù), 且滿足如下假設(shè):

(H1) 存在常數(shù)D>0, 使得f(t,u)≥-D, (t,u)∈[1,T]×[0,∞);

(H3) 存在兩個(gè)常數(shù)b,d∈(0,∞), 使得0

1 預(yù)備知識(shí)

令[a,b]={a,a+1,…,b}, 設(shè)u(t)是定義在[a,b]上的函數(shù), 則Δu(t)=u(t+1)-u(t)稱為u(t)在t點(diǎn)的一階差分, Δ稱為(前向)差分算子, 記I為恒等算子, 即Iu(t)=u(t).當(dāng)n2

E∶={u|u: [0,T+1]→,u(0)=u(T), Δu(0)=Δu(T)},

由文獻(xiàn)[11]中推論2.5可知, 問(wèn)題(8)對(duì)應(yīng)的齊次問(wèn)題

(9)

是非共軛問(wèn)題, 只有平凡解且格林函數(shù)G(t,s)>0, (t,s)∈[1,T]×[1,T].

設(shè)φ和ψ分別是初值問(wèn)題

的唯一解, 則:

1)φ(t)≥0且Δφ(t)≥0,t∈[1,T];

2)ψ(t)≥0且Δψ(t)≤0,t∈[1,T].

引理1[11]設(shè)a: [1,T]→(0,∞)且則問(wèn)題(9)的格林函數(shù)為

(10)

引理2設(shè)u滿足邊值問(wèn)題

(11)

其中v: [1,T]→且v≥0, 則

證明: 設(shè)存在t0∈[1,T], 使得‖u‖=u(t0), 則對(duì)?t∈[1,T], 有

(12)

證明: 對(duì)?t∈[1,T],

1) ‖Au‖≤‖u‖, ?u∈K∩?Ω1; ‖Au‖≥‖u‖, ?u∈K∩?Ω2;

2) ‖Au‖≥‖u‖, ?u∈K∩?Ω1; ‖Au‖≤‖u‖, ?u∈K∩?Ω2.

2 主要結(jié)果

(13)

(14)

(15)

的解, 則

由引理2可知, 對(duì)?u∈K,

即AK?K, 且因?yàn)镋是有限維空間, 故易證A:K→K是全連續(xù)的.

定義Ω1={u∈E|‖u‖<1}.設(shè)u∈K∩?Ω1, 則

即?u∈K∩?Ω1, ‖Au‖≤‖u‖.

從而

故

且

于是

即?u∈K∩?Ω2, ‖Au‖≥‖u‖.

則問(wèn)題(8)至少存在兩個(gè)正解, 其中C2=max{|f(t,u)||t∈[1,T], 0≤u≤L}.

證明: 由定理1的證明可知, 問(wèn)題(8)存在第一個(gè)正解u1滿足‖u1‖>m/(2M).下面證明存在第二個(gè)正解.記

(16)

則0

考慮問(wèn)題(8)的輔助問(wèn)題:

(17)

定義Ω3={u∈E|‖u‖

即?u∈K∩?Ω3, ‖F(xiàn)u‖≤‖u‖.

定義Ω4={u∈E|‖u‖

其中t*∈[1,T]為任意一點(diǎn).因此?u∈K∩?Ω4, ‖F(xiàn)u‖≥‖u‖.

注2文獻(xiàn)[8]建立了非線性項(xiàng)f≥0且格林函數(shù)G(t,s)≥0時(shí)問(wèn)題(7)正解的存在性結(jié)果, 本文在G(t,s)>0時(shí)將非線性項(xiàng)f推廣到半正情形, 得到了問(wèn)題(8)正解的存在性與多解性結(jié)果.

例1考慮二階離散周期邊值問(wèn)題：

(18)

容易驗(yàn)證對(duì)?t∈[1,10]和u∈[0,∞), 有即存在一個(gè)常數(shù)使得假設(shè)(H1)成立;對(duì)?t∈[1,10]一致成立, 即假設(shè)(H2)成立; 存在正常數(shù)使得即假設(shè)(H3)成立.因此由定理1可知, 當(dāng)時(shí), 問(wèn)題(18)至少存在一個(gè)正解; 由定理2可知, 當(dāng)

時(shí), 問(wèn)題(18)至少存在兩個(gè)正解.