數(shù)學(xué)思維教學(xué)，落實(shí)核心素養(yǎng)

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摘要：高中數(shù)學(xué)教師是善于思考的學(xué)習(xí)者，是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的引導(dǎo)者和推動(dòng)者。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要以生為本，思維教學(xué)，設(shè)計(jì)高階思維的問(wèn)題鏈，多元表征數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、智慧學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)聯(lián)系遷移、比較分析、優(yōu)化選擇和自覺(jué)反思，重組認(rèn)知結(jié)構(gòu)，構(gòu)建元認(rèn)知系統(tǒng)，真正落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：思維教學(xué)? 認(rèn)知結(jié)構(gòu)? 元認(rèn)知系統(tǒng)? 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

一、引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中指出，高中數(shù)學(xué)教育應(yīng)以生為本，立德樹(shù)人，優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視過(guò)程評(píng)價(jià)，聚焦核心素養(yǎng)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)提供可能。教師是落實(shí)核心素養(yǎng)的引導(dǎo)者和推動(dòng)者，教學(xué)是教和學(xué)的互動(dòng)，教師對(duì)教學(xué)的設(shè)計(jì)和設(shè)計(jì)意圖比其自身具備的知識(shí)更為重要。如何進(jìn)行思維教學(xué)？為何這樣設(shè)計(jì)？能否再創(chuàng)新？這些都是我們一線青年教師需要經(jīng)常反復(fù)思考的問(wèn)題。

下面筆者僅就自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以《正切函數(shù)性質(zhì)與圖像》為例，說(shuō)一說(shuō)核心素養(yǎng)下對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)思考。

二、教材分析、學(xué)考分析和設(shè)計(jì)意圖

（一）教材分析

《正切函數(shù)性質(zhì)與圖像》選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)人教A版數(shù)學(xué)必修四第一章第四節(jié)內(nèi)容。正切函數(shù)和正、余弦函數(shù)同屬三角函數(shù)。正切函數(shù)是三角函數(shù)的下位概念，而三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念。研究函數(shù)的性質(zhì)有兩種方法，一種是先做圖，觀圖得性質(zhì);另一種是據(jù)舊知探性質(zhì)，由性質(zhì)做圖像。因此，筆者認(rèn)為本課重點(diǎn)是正切函數(shù)的圖像及其主要性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值或值域）和深化研究函數(shù)性質(zhì)的思想方法，難點(diǎn)是正切函數(shù)性質(zhì)的分析、總結(jié)及圖像的得來(lái)。

（二）學(xué)考分析

本課開(kāi)始之前，學(xué)生已經(jīng)有了正、余弦函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，可以遷移到對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的研究中。另外，高考題中常有判斷未知函數(shù)圖像的題型。這種題型的特點(diǎn)是函數(shù)圖像不易得到，需要從函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)推斷函數(shù)的大致圖像。

（三）設(shè)計(jì)意圖

筆者設(shè)計(jì)本課教學(xué)旨在引導(dǎo)學(xué)生由函數(shù)性質(zhì)得到函數(shù)圖像，聯(lián)系舊知，并進(jìn)行遷移、比較和分析，在性質(zhì)的指導(dǎo)下更加有效地做圖、研究圖像，拓寬學(xué)生研究函數(shù)的視角，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合研究問(wèn)題的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和發(fā)散思維等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、教學(xué)思考

人的學(xué)習(xí)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，是一個(gè)以已習(xí)得的知識(shí)技能為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)不斷累積，獲得新知識(shí)、新技能的過(guò)程。高中數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，學(xué)生需在教師的引導(dǎo)下不斷地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，逐步提升自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)由數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六大要素構(gòu)成。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)來(lái)自數(shù)學(xué)知識(shí)所內(nèi)含的數(shù)學(xué)思想方法，而數(shù)學(xué)思想方法的核心又是數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用的內(nèi)在活動(dòng)，具有高度的理性和規(guī)律性。高中數(shù)學(xué)教師是善于思考、有思想的學(xué)習(xí)者，是善于啟發(fā)的引導(dǎo)者，是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的推動(dòng)者。數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動(dòng)的教學(xué)。教師通過(guò)思維教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)、實(shí)踐數(shù)學(xué)方法和感悟數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)認(rèn)知構(gòu)建和元認(rèn)知構(gòu)建能力，真正落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（一）通過(guò)問(wèn)題鏈關(guān)聯(lián)遷移，提升高階思維能力，重組認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)動(dòng)力牽引

正切函數(shù)屬于定義概念，較為抽象。基礎(chǔ)性學(xué)習(xí)經(jīng)過(guò)遷移可達(dá)成較復(fù)雜、較高級(jí)的學(xué)習(xí)。思起于疑，沒(méi)有問(wèn)題就沒(méi)有思考。蘇霍姆林斯基指出，在人的內(nèi)心深處，每個(gè)人都渴望去發(fā)現(xiàn)、去探索、去研究。因此，筆者從學(xué)科內(nèi)部聯(lián)系出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，呈現(xiàn)有層次、有梯度的“問(wèn)題鏈”，引導(dǎo)學(xué)生自主聯(lián)系正、余弦函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移。筆者認(rèn)為從正切函數(shù)研究路徑（從性質(zhì)到圖像）到函數(shù)研究一般路徑（數(shù)形結(jié)合）的完善需要進(jìn)行橫向遷移，而具體的函數(shù)性質(zhì)的研究則需要進(jìn)行縱向遷移。

復(fù)習(xí)正、余弦函數(shù)相關(guān)知識(shí)后，在橫向遷移作用下，學(xué)生很容易得出本課的研究對(duì)象是正切函數(shù)。學(xué)生不知不覺(jué)產(chǎn)生研究意識(shí)，自主進(jìn)入數(shù)學(xué)活動(dòng)。由于新舊概念的研究存在著某些共同的特征，這也給正切函數(shù)的研究帶來(lái)了困難。筆者設(shè)計(jì)讓學(xué)生思考如何進(jìn)行正切函數(shù)的研究，且筆者對(duì)學(xué)生的回答不做評(píng)判性的回答，暫時(shí)將這個(gè)問(wèn)題擱置，促發(fā)學(xué)生的批判性思維和發(fā)散思維。

新舊知識(shí)的相互作用產(chǎn)生有意義的新知識(shí)，同時(shí)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷改組，發(fā)生了量變或質(zhì)變。當(dāng)學(xué)生心存疑惑時(shí)，筆者讓學(xué)生思考定義域?qū)瘮?shù)圖像的影響，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行差異比較，自主發(fā)現(xiàn)細(xì)節(jié)差別。正、余弦函數(shù)的定義域是R，是連續(xù)的集合，所以在用“五點(diǎn)做圖”法做正弦函數(shù)圖像時(shí)連線用的是“連續(xù)的、平滑的曲線”;而正切函數(shù)的定義域是xx≠π2+kπ，k∈Z，是一個(gè)不連續(xù)的集合。那么，該如何連線呢？學(xué)生的思維水平存在差異，若筆者此刻就明確連線的操作，勢(shì)必會(huì)造成部分同學(xué)對(duì)正切函數(shù)單調(diào)性知識(shí)的不理解或理解不透徹，學(xué)生會(huì)存在思維遺漏。因此，筆者將這個(gè)問(wèn)題暫時(shí)擱置。而此時(shí)，學(xué)生已體會(huì)到聯(lián)系舊知可知正切函數(shù)圖像的特點(diǎn)。借此契機(jī)，筆者引導(dǎo)學(xué)生再次關(guān)聯(lián)、回憶舊知，找出正切函數(shù)圖像的其他特點(diǎn)，為正確做出正切函數(shù)的圖像鋪墊。

對(duì)不同的信息進(jìn)行加工就能將舊知成功轉(zhuǎn)化為有用的信息。通過(guò)對(duì)已有正切函數(shù)的知識(shí)的提取、選擇、分析、組織和判斷，學(xué)生會(huì)自覺(jué)意識(shí)到正切函數(shù)的研究路徑可以由性質(zhì)到圖像，數(shù)形結(jié)合思想自然生成，水到渠成。當(dāng)學(xué)習(xí)者發(fā)現(xiàn)有關(guān)的概念或命題之間的新關(guān)系時(shí)，學(xué)習(xí)就會(huì)變得更有意義。

問(wèn)題1：如何得到比較精準(zhǔn)的正、余弦函數(shù)圖像？

問(wèn)題2：正、余弦函數(shù)性質(zhì)主要有哪幾個(gè)方面？

問(wèn)題3：我們還需要研究哪個(gè)三角函數(shù)？如何進(jìn)行研究？

問(wèn)題4：研究正切函數(shù)首先需要考慮哪個(gè)要素？ 這個(gè)要素對(duì)函數(shù)圖像有什么影響？

問(wèn)題5：你知道哪些和正切函數(shù)相關(guān)的知識(shí)？根據(jù)這些知識(shí)，你還能得出正切函數(shù)圖像的什么特點(diǎn)？

問(wèn)題6：研究函數(shù)的一般路徑是怎樣的？

問(wèn)題7：你選取哪個(gè)區(qū)間做正切函數(shù)圖像？為何選這個(gè)區(qū)間？

問(wèn)題8：觀察視頻，說(shuō)說(shuō)你對(duì)正切函數(shù)的單調(diào)性的理解。

問(wèn)題9：你能說(shuō)出正切函數(shù)的值域是什么嗎？

問(wèn)題10：你能做出整個(gè)定義域上的正切函數(shù)圖像嗎？

問(wèn)題11：你能根據(jù)正切函數(shù)圖像說(shuō)出正切函數(shù)的性質(zhì)嗎？

問(wèn)題12：正切函數(shù)在整個(gè)定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)嗎？

在以學(xué)科內(nèi)部聯(lián)系進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè)時(shí)，筆者認(rèn)為要以“學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)”為前提，挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為具有潛在意義的、有層次有梯度的問(wèn)題或問(wèn)題鏈，不斷觸發(fā)、牽引學(xué)生自覺(jué)搜索已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，“以舊引新”，使得以命題網(wǎng)絡(luò)和圖式呈現(xiàn)的陳述性知識(shí)向以產(chǎn)生式系統(tǒng)貯存的程序性知識(shí)過(guò)渡，完善產(chǎn)生式系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)策略性知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展，不斷進(jìn)行自我監(jiān)督、反思調(diào)整，構(gòu)建優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和元認(rèn)知系統(tǒng)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維技能，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)動(dòng)力牽引下真正落實(shí)。

（二）運(yùn)用信息技術(shù)下的多元表征，突破學(xué)科思維難點(diǎn)，形成數(shù)學(xué)思維場(chǎng)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)深度發(fā)展

數(shù)學(xué)多元表征能凸顯一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的多元屬性，積極促進(jìn)理解數(shù)學(xué)和問(wèn)題解決。呈現(xiàn)雙通道的“信息包”會(huì)提供學(xué)習(xí)者深度意義的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，并促進(jìn)學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的深刻性。“不憤不啟，不悱不發(fā)?！睂?duì)于抽象性表征，則需要多元表征來(lái)激發(fā)學(xué)習(xí)者進(jìn)入“憤”“悱”狀態(tài)。在對(duì)正切函數(shù)單調(diào)性和值域的研究過(guò)程中，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，如特殊到一般、有限到無(wú)限、數(shù)形結(jié)合等。筆者結(jié)合之前的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對(duì)部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)很費(fèi)力，有的可能還存在思維盲點(diǎn)，如對(duì)正切函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是kπ-π2，kπ+π2，k∈Z，而正切函數(shù)在整個(gè)定義域上卻不是增函數(shù)，于是不少學(xué)生對(duì)此不能理解。圖形、動(dòng)畫(huà)或視頻都是呈現(xiàn)信息的最優(yōu)途徑。多元表征能提供互補(bǔ)性信息，且能支持互補(bǔ)的認(rèn)知過(guò)程。因此，筆者安排了利用正弦線看正、余弦函數(shù)單調(diào)性的變化課前預(yù)習(xí)視頻，由觀察正切線的變化看正切函數(shù)的單調(diào)性的課上視頻。筆者在總結(jié)之前的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，正切函數(shù)在-π2，π2或者0，π2上做圖這一環(huán)節(jié)時(shí)，有部分學(xué)生不認(rèn)真做圖，或者隨意做圖，從而不知道做正切函數(shù)圖像的關(guān)鍵點(diǎn)。因此，筆者利用動(dòng)畫(huà)演示了在一個(gè)連續(xù)的周期區(qū)間-π2，π2上做圖和在整個(gè)定義域xx≠π2+kπ，k∈Z上做圖。筆者采用解析式、正切線和正切函數(shù)曲線不同的表征方式，即符號(hào)表征和圖像表征，并以多媒體形式呈現(xiàn)，豐富正切函數(shù)的外在表征，形成對(duì)正切函數(shù)的理性認(rèn)識(shí)，從視覺(jué)與思維的相互驗(yàn)證中啟發(fā)學(xué)生理解知識(shí)的形成、發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不同表征方式之間的聯(lián)系，提高學(xué)生在不同表征方式系統(tǒng)間或系統(tǒng)內(nèi)的相互轉(zhuǎn)化和互譯，加深學(xué)生對(duì)正切函數(shù)的理解，清除思維障礙，避免思維遺漏，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知過(guò)程的互補(bǔ)，完善學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，形成思維場(chǎng)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)深度發(fā)展，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（三）采用多元互動(dòng)反饋，優(yōu)化元認(rèn)知系統(tǒng)，智慧學(xué)習(xí)提升素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)課堂價(jià)值升華

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)致力于培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者三大能力，即發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力、系統(tǒng)表述問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力。同時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和系統(tǒng)表述問(wèn)題較解決問(wèn)題更為重要。而遷移是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效方法。筆者通過(guò)典例的板演示范實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)“換元法”解題的遷移，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性;設(shè)計(jì)基礎(chǔ)性限時(shí)練習(xí)搶答激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生注意力高度集中;最大化利用智慧課堂平臺(tái)實(shí)現(xiàn)師生的積極互動(dòng)、及時(shí)反饋、評(píng)價(jià)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的敏捷性，增進(jìn)師生情感交流。為滿足不同層次學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，筆者設(shè)計(jì)了分層作業(yè)，其中必做題主要是為鞏固基礎(chǔ)，選做題是為訓(xùn)練思維，旨在將數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)延伸到課外，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行思維培養(yǎng)的意識(shí)，優(yōu)化元認(rèn)知系統(tǒng)。

及時(shí)總結(jié)是學(xué)習(xí)中必要的思維綜合、提升過(guò)程。思維導(dǎo)圖表達(dá)知識(shí)的層次結(jié)構(gòu)，是思考后的反映，是放射性思維的具體體現(xiàn)，能促進(jìn)學(xué)生的新舊知識(shí)關(guān)聯(lián)，并加深其緊密聯(lián)系的程度，促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化，突出核心知識(shí)，使得知識(shí)結(jié)構(gòu)的邏輯更清晰。在小結(jié)階段筆者設(shè)計(jì)學(xué)生總結(jié)環(huán)節(jié)，教師點(diǎn)評(píng)并以思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)學(xué)習(xí)收獲，引導(dǎo)學(xué)生重組認(rèn)知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化元認(rèn)知系統(tǒng)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)價(jià)值的升華。

典例分析

例題：求函數(shù)y=tanπ2x+π3的定義域、周期、單調(diào)區(qū)間。

限時(shí)訓(xùn)練

下面檢測(cè)一下大家的學(xué)習(xí)效果。第一題，時(shí)間2分鐘。

1.函數(shù)f（x）=tan2x+π4的定義域是（? ）

A.xx≠kπ2+π8

B.xx≠kπ2-π8，k∈Z

C.x|x≠kπ2+π8，k∈Z

D.xx≠kπ2-π8

簡(jiǎn)析：2x+π4≠π2+kπ，k∈Z

答案：C

第二題，搶答。

2.求函數(shù)f（x）=tan2x+π4的周期。

簡(jiǎn)析：T=π|ω|

答案：π2

第三題，搶答。學(xué)生上黑板板演。

3.求函數(shù)f（x）=tan2x+π4的單調(diào)區(qū)間。

簡(jiǎn)析：-π2+kπ<2x+π4<π2+kπ，k∈Z

答案：-3π8+kπ2，π8+kπ2，k∈Z

作業(yè)布置

必做題：人教A版課本：P47 A組 第6、7、8、9題;B組第2題。

選做題：1.請(qǐng)證明函數(shù)y=tan（ωx+φ），A≠0，ω≠0的周期是T=π|ω|。

2.證明π是正切函數(shù)的最小正周期。

四、結(jié)尾

通過(guò)本節(jié)課的設(shè)計(jì)、實(shí)踐與反思，筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)教師在設(shè)計(jì)課堂教學(xué)時(shí)，應(yīng)在深刻理解教材的基礎(chǔ)上，著力思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的提問(wèn)藝術(shù)，努力提出值得思考的具有潛在意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題;努力掌握數(shù)學(xué)專業(yè)軟件信息技術(shù)，用現(xiàn)代科技手段輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，增加知識(shí)的容量，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維的可視化，化抽象為具體，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)散思維和邏輯思維的提升;引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)合理聯(lián)想并遷移，對(duì)比進(jìn)行差異分析，準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，優(yōu)化設(shè)計(jì)解決問(wèn)題，使得高中數(shù)學(xué)課堂更生動(dòng)、豐富;做好多元智能教學(xué)，真正落實(shí)核心素養(yǎng)，創(chuàng)造智慧的數(shù)學(xué)課堂，努力引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光多角度地觀察世界，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度對(duì)待生命，用數(shù)學(xué)的思維創(chuàng)造豐富的人生。

本節(jié)課經(jīng)過(guò)和多位同仁不斷商討，修改后最終得以呈現(xiàn)，授課效果甚好，筆者受益匪淺，在此特別感謝各位同仁的幫助。

參考文獻(xiàn)：

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