含末端質(zhì)量的懸臂梁隨機(jī)非線性振動(dòng)的隨機(jī)平均法

解娜娜， 葛 根

(天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387)

懸臂梁作為一種應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)性結(jié)構(gòu)，其動(dòng)力學(xué)問(wèn)題一直是學(xué)者們研究的重點(diǎn)。Zavodney等[1-2]進(jìn)行了含集中質(zhì)量的懸臂梁振動(dòng)試驗(yàn)，在試驗(yàn)測(cè)試的基礎(chǔ)上，采用多尺度法進(jìn)行了理論分析，并用試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了分析的正確性。Nayfeh等[3]討論了幾何非線性和慣性非線性對(duì)響應(yīng)的影響是否等效，在多尺度法的基礎(chǔ)上，得出了幾何非線性產(chǎn)生漸硬效應(yīng)、慣性非線性產(chǎn)生漸軟效應(yīng)的結(jié)論。Dwivedy等[4]將多尺度法推廣到高階多尺度法，并將其應(yīng)用于懸臂梁的動(dòng)力學(xué)研究。Hamda等[5]比較了多尺度法和諧波平衡法的精度。懸臂梁振動(dòng)常用的方法除了多尺度法外還有許多其它的方法，比如能量平衡法和變分法[6-7]， Nikkar等用這些方法研究了帶有中間集中質(zhì)量的均勻懸臂梁的大振幅自由振動(dòng)。除此之外，學(xué)者們將激勵(lì)從確定的簡(jiǎn)諧激勵(lì)推廣到隨機(jī)噪聲，如Feng等[8-9]用窄帶噪聲激勵(lì)懸臂梁模型，并用多尺度法進(jìn)行分析。Ge等[10]將隨機(jī)平均方法應(yīng)用于受高斯白噪聲橫向激勵(lì)的懸臂梁模型。

在許多懸臂梁振動(dòng)試驗(yàn)研究中，需要將附著在懸臂梁上的加速度傳感器視為不可忽略的集中質(zhì)量。由于振動(dòng)過(guò)程中的橫向和軸向都有位移，不可避免地在方程中產(chǎn)生慣性非線性項(xiàng)(在部分文獻(xiàn)中稱(chēng)之為和坐標(biāo)相關(guān)的質(zhì)量coordinate-dependent mass)[11-12]，但是傳統(tǒng)的隨機(jī)平均法[13-15]只能解決擬線性振子或含有剛性非線性項(xiàng)的振子。當(dāng)含有慣性非線性項(xiàng)時(shí)，現(xiàn)有的隨機(jī)平均法尚不能完全適用。所以本文提出了一種可適用于含末端質(zhì)量懸臂梁振動(dòng)的改進(jìn)強(qiáng)非線性隨機(jī)平均法，這種方法將原本解決僅含有剛性非線性項(xiàng)的隨機(jī)平均法擴(kuò)展到了能解決既含有剛度非線性又含有慣性非線性的振子。

文中首先用凱恩方程對(duì)含有末端質(zhì)量塊的懸臂梁進(jìn)行了建模，將模型的系數(shù)與Zavodney等用牛頓力學(xué)建立的含集中質(zhì)量的模型系數(shù)進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)當(dāng)把文獻(xiàn)[16]162中的邊界條件改為與本文相同時(shí)，模型系數(shù)是相同的，這一比較證明了我們建模的正確性。然后構(gòu)造了振子的哈密爾頓函數(shù)，利用該函數(shù)導(dǎo)出了關(guān)于瞬時(shí)振幅和瞬時(shí)相位的一組隨機(jī)微分方程，隨后用能量平衡法[17]得到了平均化頻率表達(dá)式。本文的隨機(jī)平均法將隨機(jī)微分方程組簡(jiǎn)化為一維伊藤隨機(jī)微分方程?；谝撂俜匠蹋玫搅四┒速|(zhì)量取不同值時(shí)的瞬態(tài)振幅的穩(wěn)態(tài)概率密度以及速度-位移的穩(wěn)態(tài)聯(lián)合概率密度。蒙特卡羅法數(shù)值模擬充分說(shuō)明了本文方法的有效性。

1 建 模

圖1 基座激勵(lì)下含有尖端質(zhì)量的細(xì)長(zhǎng)均勻不可拉伸懸臂梁

如圖1所示，由于梁是不可拉伸的，微段P的位移矢量為

dP=ui+[w(s,τ)+h(τ)]j

(1)

P的軸向位移和Mt的軸向位移為

(2)

式中，ξ為s的形式變量。

對(duì)式(2)求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，得到P的速度vP和加速度aP為

(3)

(4)

同樣地，尖端質(zhì)量Mt的速度和加速度為

(5)

(6)

梁的彎曲變形能

(7)

其中的彎矩M

(8)

懸臂梁的i階橫向位移可以設(shè)為式(9)

wi(s,τ)=φi(s)qi(τ)

(9)

(10)

式(10)的邊界條件為

將式(3)～(9)代入式(10)，得到式(11)

(11)

引入無(wú)量綱變換

(12)

其中的系數(shù)為

模態(tài)函數(shù)是

φi(ζ)=cosh(λiζ)-cos(λiζ)+

(13)

式(13)雖然是由線性懸臂梁振動(dòng)模型推導(dǎo)出來(lái)的，但在非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中仍是有效的。λi是超越頻率方程式(14)的根。

kλ[cos(λ)sinh(λ)-sin(λ)cosh(λ)]·

[1+cos(λ)cosh(λ)]=0

(14)

表1 式(12)的系數(shù)

(15)

式(15)的系數(shù),如表2所示。

表2 式(15)的系數(shù)

式(15)可被寫(xiě)為

(16)

式中：x為關(guān)于時(shí)間的t的變量，x的二階導(dǎo)數(shù)前的括號(hào)內(nèi)(1+α2x2)被稱(chēng)為慣性非線性項(xiàng)(坐標(biāo)相關(guān)質(zhì)量coordinate-dependent mass);α2為慣性非線性系數(shù);α1為剛度非線性系數(shù);ω為線性基礎(chǔ)圓頻率;μ為線性阻尼系數(shù);γ為外激系數(shù);η(t)為外激勵(lì)信號(hào)。

當(dāng)η(t)是高斯白噪聲時(shí)，隨機(jī)平均法是一種有效的求解方法。隨機(jī)平均法有標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)平均法(幅值包線隨機(jī)平均)、能量包線隨機(jī)平均[19]240-243等幾種。Ge等曾利用能量平衡法改進(jìn)了幅值包線隨機(jī)平均法。這些隨機(jī)平均法目前只能解決不含慣性非線性的振子的隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題。為處理式(16)中慣性非線性，Ge等[20]采用一種近似變形：在式(16)上每項(xiàng)乘以(1+α2x2)-1，然后將(1+α2x2)-1用馬克勞林展式近似為(1-α2x2)，如此這個(gè)方程被化簡(jiǎn)為形式上不含慣性非線性項(xiàng)的近似方程，隨后該近似方程用隨機(jī)平均法得以求解。文獻(xiàn)[21]也采用類(lèi)似泰勒展開(kāi)的方法對(duì)加速度項(xiàng)進(jìn)行的近似后采用路徑積分法(path integral solution, PIS)求解含集中質(zhì)量的懸臂梁響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)數(shù)值解。Ge等提出的近似(1+α2x2)-1≈(1-α2x2)實(shí)際有很大的局限性，因?yàn)檫@個(gè)近似僅在x很小時(shí)才能成立。因此，目前需要一種能對(duì)式(16)直接求隨機(jī)平均的方法。

2 公式變形

式(16)的動(dòng)能為

(17)

式(16)保守力的勢(shì)能為

(18)

則哈密爾頓函數(shù)為

(19)

假設(shè)位移、速度為

θ=Φ(t)+τ(t)

(20)

式中:A是隨機(jī)瞬時(shí)等效振幅;τ(t)是隨機(jī)相位。隨機(jī)頻率為

(21)

把式(20)代入式(19)，當(dāng)θ=0，哈密爾頓函數(shù)為

(22)

當(dāng)θ≠0，哈密爾頓函數(shù)為

(23)

顯然處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，H1=H2在任何時(shí)候都成立，可以解得

(24)

其中

M(Acosθ)=1+α2A2cos2θ

(25)

我們現(xiàn)對(duì)x=Acosθ求時(shí)間導(dǎo)數(shù)得

(26)

化簡(jiǎn)得

(27)

再對(duì)y=-Aνsinθ求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，結(jié)合式(25)中第二個(gè)式可得

(28)

(29)

(30)

(31)

如此聯(lián)立式(27)和式(31)，并考慮

(32)

將式(32)代入式(27)，可得：

(33)

目前為止，我們已經(jīng)將式(16)化為了式(32)、(33)這個(gè)隨機(jī)微分方程組。

(34)

此結(jié)果已經(jīng)被多次驗(yàn)證[22-23]。

如此，可知式(32)、式(33)中θ(t)可重新表示為

θ(t)=ω(A)t+τ(t)

(35)

3 隨機(jī)平均

將式(32)、式(33)重新表示為標(biāo)準(zhǔn)形式

(36)

其中

(37)

首先式(37)這個(gè)結(jié)果中的漂移項(xiàng)m1，m2含有慣性非線性項(xiàng)M(Acosθ),而擴(kuò)散項(xiàng)b11，b21則不含有，說(shuō)明慣性非線性項(xiàng)只對(duì)漂移項(xiàng)起作用。其次，如果忽略慣性非線性，則式(37)就和文獻(xiàn)[19]240-242中的表達(dá)式完全一致，這說(shuō)明了上述的推導(dǎo)的正確性。如此可將式(36)用隨機(jī)平均原理化簡(jiǎn)為一個(gè)一維伊藤微分方程。

dA=m(A)dt+σ(A)dW(t)

(38)

其中m(A)為漂移項(xiàng)，σ2(A)為擴(kuò)散項(xiàng)，W(t)為標(biāo)準(zhǔn)的單位維納過(guò)程。m(A)和σ2(A)表達(dá)式由式(39)得出

(39)

Rij(τ)=

(40)

其中的算子E[·]表示數(shù)學(xué)期望，δ(τ)為狄拉克-德?tīng)査瘮?shù)。

由式(39)可以計(jì)算出m(A)和σ2(A)表達(dá)式分別如下

(41)

其中各系數(shù)為

a6=α1(3Dα1α2+40α1μω2+22α2μω4)

a4=4(5Dα1α2ω2+44α1μω4+8α2μω6)

a2=-4(Dα1ω2-4μω6)

a0=-8Dω4

(42)

4 穩(wěn)態(tài)概率密度

基于伊藤方程的平均?？?普蘭克-柯?tīng)柲缏宸蚍匠?Fokker-Planck-Kolmogorov, FPK)為

(43)

(44)

常數(shù)N是歸一化系數(shù)。

只需把式(41)、(42)代入式(44)可得穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)式(45)

(45)

如此可知關(guān)于哈密爾頓函數(shù)H的穩(wěn)態(tài)概率和振幅A的穩(wěn)態(tài)概率密度關(guān)系如下

(46)

振幅A和哈密爾頓函數(shù)H的關(guān)系可由式(22)反解出來(lái)

(47)

只需把式(47)代入式(46)即可得到關(guān)于哈密爾頓函數(shù)H的穩(wěn)態(tài)概率。

再接下來(lái)，關(guān)于x和y的聯(lián)合概率密度又可以由哈密爾頓函數(shù)H的穩(wěn)態(tài)概率得到

(48)

5 數(shù)值模擬

(實(shí)線：式(45)解析解；圓點(diǎn)：數(shù)值模擬)

關(guān)于位移x和速度y的聯(lián)合概率密度函數(shù)的計(jì)算如下。先定義一個(gè)平面{-0.2≤x≤0.2,-0.6≤y≤0.6}，以步長(zhǎng)Δx=0.013,Δy=0.04劃分30×30網(wǎng)格。對(duì)剛才穩(wěn)態(tài)的n=2 000×200 000個(gè)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)落在每個(gè)格子里的點(diǎn)數(shù)，如此可計(jì)算出每個(gè)格子里的概率值，將概率值除以格子面積Δx·Δy即可得每個(gè)格子的概率密度函數(shù)值。理論值式(47)和其數(shù)值模擬的結(jié)果如圖3所示。

(a) k=0,式(48)理論預(yù)測(cè)值

從圖2、圖3可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是等效振幅A還是速度和位移聯(lián)合概率密度的理論預(yù)測(cè)結(jié)果和蒙特卡羅數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)應(yīng)非常良好。這說(shuō)明了本文方法的有效性。

6 結(jié) 論

本文研究了一種可應(yīng)用于含有末端質(zhì)量的懸臂梁振動(dòng)的隨機(jī)平均法，將原本只能處理含有非線性剛度的隨機(jī)平均法發(fā)展到了能處理同時(shí)含有剛性非線性項(xiàng)和慣性非線性項(xiàng)的隨機(jī)微分方程組，我們發(fā)現(xiàn)：

(1) 慣性非線性只影響隨機(jī)微分方程的漂移項(xiàng)，不影響擴(kuò)散項(xiàng)。

(2) 在微分方程組化簡(jiǎn)為伊藤方程后，在伊藤方程基礎(chǔ)上，得到概率密度函數(shù)的表達(dá)式。數(shù)值模擬和概率密度函數(shù)的理論預(yù)測(cè)與模擬結(jié)果完美對(duì)應(yīng)。

總的來(lái)說(shuō)，本文方法有效地?cái)U(kuò)大了隨機(jī)平均法的使用范圍。