基于2-PSR/RUPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解及工作空間分析

李澤輝，宋勝濤，李瑞琴，胡 健

(中北大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030051)

在包裝盒加工生產(chǎn)線中，由于自動化效率高，加工速度快，在粘接過程中很容易出現(xiàn)漏膠、少膠現(xiàn)象，盒子粘接不緊會產(chǎn)生次品。若重新放回機(jī)臺粘膠，則難以把握加工進(jìn)度；若作為廢品丟棄，則會造成浪費，不利于綠色環(huán)保。

2-PSR/RUPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)是針對包裝生產(chǎn)線上盒體漏膠的問題提出的。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)是2-PSR/UPU和2-SPR/RUPR經(jīng)過構(gòu)型結(jié)合，得到的可以實現(xiàn)兩轉(zhuǎn)一移特性的新機(jī)構(gòu)。于靖軍等[1]對機(jī)構(gòu)自由度的運(yùn)算規(guī)則提出了系統(tǒng)的方法，方便進(jìn)行自由度的分析計算。王新宇等[2]提出了一種2-PSR/UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，主要針對在傾斜角度不同的斜面上旋蓋的問題。羅建國等[3]針對3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動中出現(xiàn)的耦合問題，進(jìn)行了SolidWorks和MATLAB運(yùn)動學(xué)仿真分析。龐國旺等[4]提出一種3-UPS/SP4自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其有較大的工作空間，可應(yīng)用于包裝領(lǐng)域的點膠和噴漆。馬世豪等[5]提出一種2-SPR/RUPR并聯(lián)機(jī)構(gòu),得到了蘑菇云狀的可達(dá)工作空間，適用于曲面上的噴繪和點膠。Xu等[6]提出了基于極限約束的一平移二轉(zhuǎn)動的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的類型綜合分析理論。Wang等[7]在原有的噴漆設(shè)備基礎(chǔ)上，對三自由度并聯(lián)機(jī)器人做了優(yōu)化改進(jìn)。達(dá)悅生等[8]提出了一種與傳統(tǒng)坐標(biāo)系描述法不同的、改進(jìn)的D-H模型方法,經(jīng)此方法獲得的結(jié)果與仿真得到的結(jié)果進(jìn)行對比,證明了改進(jìn)后的D-H法具有可行性。

針對包裝盒生產(chǎn)上的漏膠問題，本文提出了一種3自由度2-PSR/RUPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對其進(jìn)行了運(yùn)動學(xué)分析。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型及其自由度計算

2-PSR/RUPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)由三邊相等的靜(下)、動(上)平臺和3條支鏈(支鏈PSR-I、支鏈PSR-Ⅱ和支鏈RUPR)組成，機(jī)構(gòu)模型如圖1所示。

圖1 2-PSR/RUPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型

建立機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系如圖2所示。平臺的頂點為A1、A2、A3和B1、B2、B3，上下平臺均為等邊三角形，且兩者全等，分別取上下平臺兩外接圓的半徑為rA,rB。對于動(上)平臺，建立動坐標(biāo)系{A}:OA-XAYAZA，ZA軸垂直平臺向上，XA平行于A1A2，YA位于OAA3連線的延長線上；同理，對于靜(下)平臺，建立靜坐標(biāo)系{B}:OB-XBYBZB，ZB軸垂直靜平臺向上，XB平行于B1B2，YB位于OBB3連線的延長線上。

圖2 2-PSR/RUPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系及各轉(zhuǎn)動副布局

采用螺旋理論分析機(jī)構(gòu)自由度[9]。首先取支鏈PSR-I進(jìn)行分析研究，建立支鏈坐標(biāo)系B1-x1y1z1，z1軸垂直于平臺向上，x1軸平行于B1B2，y1軸符合右手規(guī)則，如圖2所示。圖中$11表示在B1-x1y1z1坐標(biāo)系下支鏈P副的運(yùn)動螺旋，$12,$13,$14表示支鏈S副的運(yùn)動螺旋，$15表示支鏈R的運(yùn)動螺旋。其運(yùn)動螺旋系表示為:

(1)

式中：ai,bi,ci(i=1,2,3,4,5)是與運(yùn)動軸線相關(guān)的變量，其大小與問題本身無關(guān)。

(2)

此約束螺旋是一個力線矢，約束x1方向的平移,同時x1平行于XB軸。

支鏈PSR-Ⅱ的分布方式和支鏈I相同，在此不再贅述。

$31表示在B3-x3y3z3坐標(biāo)系下沿y3軸方向的支鏈R副運(yùn)動螺旋，$32,$33表示支鏈U副運(yùn)動螺旋，$34表示P副運(yùn)動螺旋，$35表示沿x3軸方向的R副運(yùn)動螺旋。

則支鏈RUPR的運(yùn)動螺旋系為：

(3)

(4)

此約束螺旋是一個力偶矢，約束z3方向的平移,同時z3平行于ZB軸。

綜合分析得到2-PSR/RUPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的2個力線矢和1個力偶矢，可以實現(xiàn)沿ZB方向的平移以及繞XB軸和YB軸的轉(zhuǎn)動，即為3個自由度。在此基礎(chǔ)上根據(jù)修正的Kutzbach-Grübler公式對以上自由度的正確性進(jìn)行驗證：

(5)

式中：M為機(jī)構(gòu)的自由度；d為機(jī)構(gòu)階數(shù),d=6；n為構(gòu)件總數(shù)目(包括機(jī)架),n=8；g為運(yùn)動副總數(shù)目，g=9；fi為第i個運(yùn)動副的自由度數(shù)；ν為并聯(lián)冗余約束，機(jī)構(gòu)為單環(huán)機(jī)構(gòu)，沒有并聯(lián)冗余約束的影響，得到ν=0；ζ為局部自由度，分支螺旋系沒有線性相關(guān)情況出現(xiàn)，得到局部自由度ζ=0。

綜上所述，兩種計算方法得到的并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度均為3。

2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置分析

2.1 PSR支鏈的運(yùn)動逆解

運(yùn)動逆解：已知動平臺在靜坐標(biāo)系OB-XBYBZB中的位置BOA=(x,y,z)T和姿態(tài)角(α,β,γ)，求各個桿的長度di，i=1,2,3。平臺位姿可以用Z-Y-X型的歐拉角表示，即動平臺先繞動坐標(biāo)系OA-XAYAZA的ZB軸轉(zhuǎn)動α角，之后在新的坐標(biāo)系下繞YB軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞XB軸旋轉(zhuǎn)γ角。由式(2)和(4)可知，并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以沿著ZB方向平移，繞XB軸和YB軸轉(zhuǎn)動,得到最終旋轉(zhuǎn)矩陣Rot：

(6)

式中：c代表cos;s代表sin。

在動坐標(biāo)系{A}中，動平臺一點Ai的位置參數(shù)AAi(i=1,2,3)表示為：

(7)

式中：rA為動平臺中心到各個支鏈頂端的距離。

在靜坐標(biāo)系{B}中，球鉸Ci位置參數(shù)BCi(i=1,2)表示為：

(8)

式中：rB為靜平臺中心到各個支鏈頂端的距離；li(i=1,2)為平臺邊長。

動平臺一點Ai位置參數(shù)BAi表示為：

BAi=Rot·AAi+P

(9)

式中：P=[x,y,z]T，[x,y,z]表示動平臺原點在靜平臺下的位置矢量。

固定桿長矢量Li=BAi-BCi，i=1,2。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在約束關(guān)系為：

(10)

式中：li(i=1,2)為動平臺A2A3,A1A3矢量；Li(i=1,2)為PSR支鏈的S和R兩副之間矢量長。

由式(10)可得支鏈1和2的桿長p1,p2為：

(11)

2.2 RUPR支鏈的運(yùn)動逆解

用D-H法建立支鏈的坐標(biāo)系，如圖3所示，相應(yīng)的D-H法參數(shù)見表1。表中：θi為運(yùn)動副軸線的公法線間夾角；αi-1為運(yùn)動副軸線間夾角；ai-1為被連接的運(yùn)動副軸線公法線的長度；di為被連接的兩條公法線的垂直距離；L3為R副和U副間的長度；p3為RUPR支鏈的U副和沿x3軸方向的R副間的長度。

圖3 RUPR支鏈坐標(biāo)系

表1 RUPR的D-H表示

動平臺OA到靜平臺OB的變換矩陣TOA-OB(x,θ1,θ2,θ3,θ5)可以寫成：

式中:v(t)=cos(2π15t)為無噪聲的真實信號;n(t)為隨機(jī)信號,其均值為0,方差為0.6;e(t)為高斯脈沖信號.

Z-Y-X型歐拉角表示動平臺的位姿矩陣為：

TOA-OB(x,y,z,γ,β,α)=

式中：變量(x,y,z,γ,β,α)為動平臺的位姿參數(shù)。

通過比較Z-Y-X轉(zhuǎn)換矩陣與動平臺OA到靜平臺OB的變換矩陣，可以得到：

3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間分析

給定2-PSR/RUPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一些參數(shù)：rB=60 mm,L1=L2=50 mm，rA=60 mm,L3=40 mm。通過在 MATLAB[10]中輸入編寫的程序和前面得到的逆解，得到可達(dá)工作空間，如圖4所示。

圖4 可達(dá)工作空間

由圖4可知，該機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)部連續(xù)，空間范圍也很大，驗證了該機(jī)構(gòu)有良好的運(yùn)動性能，可以用于生產(chǎn)實踐。

4 實例分析

本文設(shè)計了2-PSR/RUPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過在該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的3個移動副上添加馬達(dá)來驅(qū)動動平臺的運(yùn)動，通過調(diào)整動平臺的位姿來獲得不同的傾斜角度，從而對粘接不緊處進(jìn)行上膠。不同傾斜角度盒體上膠的仿真結(jié)果如圖5所示，驗證了機(jī)構(gòu)上膠的可行性。其中圖5(a)、5(c)分別為并聯(lián)機(jī)構(gòu)繞XB軸和繞YB軸轉(zhuǎn)動的上膠。

圖5 不同傾斜角度盒體上膠的仿真結(jié)果

5 結(jié)束語

本文針對漏膠盒體，提出了一種上膠的2-PSR/RUPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)。通過對2-PSR/RUPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行三維建模，建立了螺旋理論下的運(yùn)動螺旋系，得出機(jī)構(gòu)可以實現(xiàn)沿ZB方向的平移以及繞XB軸和YB軸的轉(zhuǎn)動。用MATLAB軟件對機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真分析，繪制的工作空間沒有出現(xiàn)空洞的情況，說明機(jī)構(gòu)在各個方向上的運(yùn)動連續(xù)且運(yùn)動范圍較大。本文的研究結(jié)果表明，2-PSR/RUPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單，具有可調(diào)性，在發(fā)生包裝盒漏膠情況時，可以進(jìn)行不同傾斜角度下盒體的補(bǔ)膠，實現(xiàn)廢品回收再利用。