基于字典學習快速算法稀疏表示機械振動信號的壓縮測量重構

郭俊鋒，何 健

(蘭州理工大學機電工程學院，甘肅 蘭州 730050)

隨著現(xiàn)代工業(yè)技術的快速發(fā)展，機械設備振動信號的頻帶越來越寬，對日益大型化、集成化、智能化的機械設備采用奈斯特定理進行信號采集時將會產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，特別是在對遠程設備進行實時監(jiān)測時，這些數(shù)據(jù)的實時傳輸與同步存儲已經(jīng)成為亟待解決的工程技術問題[1]。

近些年提出的壓縮感知理論[2-6]較好地解決了該問題。壓縮感知理論利用欠采樣技術，對稀疏信號或可壓縮信號使用遠低于奈奎斯特采樣定理的采樣頻率進行數(shù)據(jù)采集，再通過有效的優(yōu)化算法對原始信號進行大概率重構。稀疏表示是壓縮感知的先決條件，直接決定壓縮重構性能的優(yōu)劣。字典學習算法對信號本身進行訓練，構造的過完備學習字典對結構復雜的信號有較好的稀疏表示能力。文獻[7]采用K-SVD(K-singular value decomposition)學習字典對振動信號進行稀疏表示，有效提升振動信號壓縮重構性能；文獻[8]采用SGK(sequential generalization of K-means)學習字典代替K-SVD學習字典對圖像進行稀疏表示，雖然其稀疏表示能力相近，但有效提升了學習字典的學習速率。SGK算法在稀疏編碼階段采用正交匹配追蹤(OMP)算法對訓練樣本原子逐列進行稀疏編碼，字典更新階段采用最小二乘法對字典原子進行逐列更新。相較K-SVD字典學習算法，SGK算法的字典更新方式提升了字典學習算法的速率。

本文為進一步提升SGK算法的學習速率，從稀疏編碼訓練樣本原子數(shù)入手，對多列訓練樣本原子采用同步正交匹配追蹤法(simultaneous orthogonal matching pursuit,SOMP)[9]進行同步稀疏編碼，在保證振動信號壓縮重構性能的前提下，有效提升字典訓練速率。

1 壓縮感知基本理論

壓縮感知(compressive sensing,CS)理論提出，若一個信號是稀疏的或在某種稀疏域下具有近似稀疏性，只需用一個與稀疏域不相關的測量矩陣將該信號從高維空間投向低維空間，得到一個遠小于該信號長度的測量信號，經(jīng)過有效的計算就可以高概率地精確重構原始信號。壓縮感知的前提是Rn空間的信號f是可稀疏的，其數(shù)學表示形式為：

f=Ψα

(1)

式中：α為稀疏系數(shù)；Ψ為正交基矩陣。此時α=ΨTf，因此滿足該條件的α中只存在k(k?n)個非零元。依據(jù)壓縮感知理論，對信號f壓縮采樣可得觀測矢量y：

y=Φf

(2)

式中：Φ為m×n的測量矩陣且與Ψ不相關，m?n。僅當α是k稀疏且k

min‖α‖0s.t.y=Φf=ΦΨα

(3)

正交基矩陣Ψ對結構復雜信號稀疏表示性能較差，而用字典學習算法對信號本身特征進行訓練的過完備字典D對信號有較好的稀疏表示性能。壓縮感知理論提出[10]，若稀疏變化域為D∈Rn×K，可將公式(2)變?yōu)閒=Dα,α∈θ且θ={α:‖α‖0≤k}，于是可將式(3)變?yōu)?/p>

min‖α‖0s.t.y=Φf=ΦDα=Tα

(4)

式中：T為感知矩陣。

2 機械振動信號稀疏表示字典學習快速算法的實現(xiàn)

2.1 傳統(tǒng)字典學習算法模型

K-SVD、SGK字典學習算法的核心思想都源于自聚類算法，字典學習算法由初始化字典的構造、稀疏編碼以及字典更新3個部分組成，求解目標函數(shù)通常被表示為：

(5)

K-SVD與SGK算法選擇固定過完備字典(例如過完備余弦字典)或初始化部分訓練樣本原子用以構造初始化字典D1，在稀疏編碼階段采用OMP算法在已知初始字典D1上對訓練樣本原子逐列稀疏編碼求解稀疏系數(shù)矩陣A，在字典更新階段固定稀疏系數(shù)矩陣A對字典原子逐列更新，對過完備字典以及稀疏系數(shù)矩陣進行反復交替優(yōu)化，直至達到停止條件后得到最優(yōu)過完備學習字典D。

2.2 字典學習快速算法

1)隨機選擇部分訓練樣本原子構造初始字典D1并且確定字典學習算法參數(shù)，其中D1∈Rn×K。

2)確定訓練樣本X中同步稀疏編碼樣本原子個數(shù)m1，并對X進行分塊處理得到若干個分塊矩陣Sg，具體形式如下：

X=(x1,x2,…,xN)=(S1,S2,…,SN1)

(6)

式中：X∈Rn×N；xj∈Rn；Sg∈Rn×m1,N1=N/m1，其中N為信號長度即信號離散向量采集的個數(shù)。

3)采用SOMP算法在D1上對Sg進行同步稀疏編碼，求取稀疏系數(shù)矩陣A。

SOMP算法是OMP算法的拓展，每次對多列樣本原子Sg在D1上進行同步稀疏編碼，其具體步驟如下。

步驟1，設置初始殘差r1=Sg，矩陣Λ=?,?為空集。

步驟2，固定已知字典D1，對多列樣本原子Sg進行同步稀疏編碼，每次迭代根據(jù)式(7)選擇最佳字典原子dt。

(7)

步驟3，每次迭代選擇的最佳字典原子dt存入Λ中，再根據(jù)式(8)求解Sg的稀疏系數(shù)Ag：

Ag=(ΛTΛ)-1ΛTSg

(8)

步驟4，根據(jù)公式(9)對殘差r1進行更新：

r1=Sg-ΛAg

(9)

重復以上步驟直至達到停止條件，求得Sg的稀疏系數(shù)Ag。

4)采用以上方式對訓練樣本X進行同步稀疏編碼,求得稀疏系數(shù)矩陣A。

5)固定稀疏系數(shù)矩陣A，對初始字典D1的字典原子進行更新，其具體步驟如下。

步驟1，對D1的第j列字典原子dj進行更新時，提取稀疏系數(shù)矩陣A中第j行的非零元素列下標數(shù)組Wk，并將其第j行的所有非零元素賦值為零。

步驟2，依據(jù)列下標數(shù)組Wk提取A以及訓練樣本X中對應列標號的所有列向量分別構成矩陣Aj，Xj，并通過式(10)求得殘差矩陣Ej。

Ej=Xj-D1Aj

(10)

(11)

重復以上步驟直至D1中所有字典原子更新，得到新的字典D1。

6)重復步驟3～5直至達到預定條件，得到最優(yōu)過完備學習字典D。

3 試驗結果分析

3.1 重構效果評價

本文在相同壓縮率(compressionrate，CR)CR下，采用相對重構誤差σ以及皮爾遜相關系數(shù)r對振動信號重構性能進行評價，其定義如下。

1)壓縮率CR用于衡量振動信號壓縮度，CR越大，信號壓縮率越高。定義為：

(12)

式中：n為原始振動信號f的長度；m為壓縮測量信號y的長度。

2)相對重構誤差σ是指振動信號的絕對誤差與原信號的比值，其定義為：

(13)

3)皮爾遜相關系數(shù)r衡量原始信號與重構信號的波形相似度，其定義為：

(14)

本文采用美國西儲大學軸承數(shù)據(jù)庫的數(shù)據(jù)驗證本文算法的有效性。在相同條件下，采用K-SVD、SGK以及本文算法對訓練學習字典的時間進行對比，并基于3種算法構造的學習字典對振動信號進行壓縮重構。

3.2 同步稀疏編碼多列樣本原子數(shù)的確定

選取電機驅動端12點鐘方向加速傳感器所采集的OR007@6信號數(shù)據(jù)進行試驗測試，該信號為周期信號。將信號0～121991采樣點擴展至0～731964采樣點，其中0～620000采樣點為字典訓練樣本信號，620001～731964采樣點為測試信號。字典原子長度n=512，字典原子個數(shù)K=800，訓練樣本X原子個數(shù)N0=1 200，待分解信號稀疏表示時線性組合原子數(shù)L=10、字典訓練迭代次數(shù)J=10、壓縮重構迭代次數(shù)L1=10。為保證壓縮感知測試信號中至少包含一個完整振動信號周期，選取以640001起始的1 024個采樣點為測試信號段。

不同m1下訓練過完備學習字典所用時間見表1，從表中可以看出當m1為2～5時，字典訓練時間趨于穩(wěn)定減少，當m1=6時，訓練時間急劇增加，因此確定m1為2～5列訓練樣本原子。

表1 不同稀疏編碼原子數(shù)m1下字典訓練時間

采用不同待分解信號稀疏表示時線性組合原子數(shù)L進行學習字典訓練，學習字典訓練所需時間如圖1所示。從圖中可以看出，L值的選取直接影響本文算法訓練過完備學習字典的時間。當m1=2時，每次同步稀疏編碼2列訓練樣本原子，必包含一個振動周期，并且學習字典訓練時間隨著L值的增加穩(wěn)定增長，由此確定本文算法中同步稀疏編碼多列樣本原子數(shù)m1為2。

圖1 不同m1下基于不同L值的學習字典時間

3.3 本文算法有效性分析

在相同條件下，采用K-SVD、SGK以及本文算法訓練過完備學習字典，并在壓縮率為60%時對測試振動信號進行壓縮重構。從圖2與表2可以看出，K-SVD、SGK、本文算法訓練的學習字典對振動信號的壓縮重構性能幾乎相同，但本文算法訓練字典用時最少，是K-SVD算法的43%，是SGK算法的55%。

圖2 不同學習字典算法下振動信號壓縮重構效果

表2 不同算法下學習字典訓練時間以及壓縮重構性能

為驗證本文算法在不同學習字典迭代次數(shù)下的有效性，采用K-SVD、SGK以及本文算法對以上實驗訓練樣本基于不同J值進行學習字典訓練并采用相同的振動信號測量值進行壓縮重構。從圖3與表3可以看出，隨著J值的增加，本文算法訓練字典時間相較于K-SVD以及SGK算法明顯減少，并且采用3種算法訓練的過完備字典對振動信號的壓縮重構性能幾乎相同，進一步驗證了本文算法在不同的J值下仍具備有效性。

圖3 不同迭代次數(shù)J下的學習字典訓練時間

表3 振動信號基于不同迭代次數(shù)下的壓縮重構性能

3.4 本文算法可靠性分析

為驗證本文算法的可靠性，對10種不同故障類別數(shù)據(jù)分別采用K-SVD算法、SGK算法以及本文算法進行過完備學習字典訓練，并在壓縮率為60%時對測試部分振動信號進行壓縮重構，試驗結果見表4。從表4中看出，在不同類別故障數(shù)據(jù)下基于本文算法、K-SVD算法以及SGK算法構造的過完備字典對不同故障振動信號的壓縮重構性能相近，但本文算法訓練學習字典用時較短。該實驗有效證明本文算法構造的過完備學習字典可以有效應用于不同振動信號的壓縮重構。

表4 不同故障類別下不同字典學習算法的字典訓練時間以及壓縮重構性能

4 結束語

本文針對機械振動信號在壓縮采集過程中K-SVD、SGK字典學習算法訓練過完備學習字典時間過長的問題，提出一種字典學習快速算法，對SGK字典學習算法的稀疏編碼部分采用同步正交匹配追蹤法同步稀疏編碼多列樣本原子。利用美國西儲大學軸承數(shù)據(jù)庫數(shù)據(jù)證明了在相同條件下本文算法與SGK算法、K-SVD算法所構造的過完備字典對振動信號的壓縮重構壓性能幾乎相同，但本文算法訓練過完備學習字典的時間明顯更短。