一類差分方程退化不動(dòng)點(diǎn)的定性性質(zhì)

李明山， 周效良

（1.南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京211106； 2.嶺南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 湛江524048）

近年來，差分方程理論與應(yīng)用研究取得許多成果［1-4］.目前關(guān)于二維差分方程具有特征值±1的退化不動(dòng)點(diǎn)的定性性質(zhì)研究成果較少.文獻(xiàn)［5］利用Picard迭代［6］、去奇化理論［7］、共軛關(guān)系［8］和Takens定理［9］研究了一類離散競(jìng)爭(zhēng)模型退化不動(dòng)點(diǎn)的定性性質(zhì).文獻(xiàn)［1］提出了一類離散經(jīng)濟(jì)模型

映射（2）在不動(dòng)點(diǎn)E0（0，0）處的特征值為 λ1＝1，λ2＝－1.本文考慮映射（2）在退化不動(dòng)點(diǎn)E0附近的定性性質(zhì).

本文利用Picard迭代和Takens定理得到了映射（2）在退化不動(dòng)點(diǎn)E0的近似系統(tǒng)（也稱為微分方程），通過極坐標(biāo)變換來研究微分方程在退化平衡點(diǎn)附近的定性性質(zhì).進(jìn)一步，利用blow-up方法和微分方程的時(shí)間-1映射的反射與映射（2）之間的共軛來研究映射（2）在退化不動(dòng)點(diǎn)E0附近的定性性質(zhì).

1 流近似

利用Picard迭代和Takens定理將映射嵌入微分方程的流.利用微分方程來研究映射（2）在退化不動(dòng)點(diǎn)E0處的定性性質(zhì)，首先給出Takens定理.

引理1.1［9］假設(shè)

是一個(gè)在O附近的形式映射，S是半單的且具有特征值 ±1，N是冪零的，是k次齊次多項(xiàng)式，則在O附近存在唯一的不變向量場(chǎng)Y使得φ~Y（1，·），這里 φ~Y（t，·）表示~Y的形式流.對(duì)所有）僅依賴于j k（~H），其中j k是截?cái)嘈问接成浠蛘咝问较蛄繄?chǎng)在O處的k次項(xiàng)系數(shù).

定理1.2在（0，0）的充分小鄰域內(nèi)，映射R?滿足

其中，w＝（u，v），R＝diag（1，－1），φ（t，w）滿足初值φ（0，w）＝w，并且是由如下平面微分方程生成的流

證明利用?：x＝u＋v，y＝u－v變換可將映射（2）對(duì)角化為T＾，故有

由Takens定理，映射在E0附近可以嵌入連續(xù)流.考慮如下微分方程

其中Xk（u，v）∈Hk，

a ij、bij是待定的.設(shè)微分方程（6）有如下形式

接著比較（7）式和（8）式的三次項(xiàng)可得

故映射R?（w）的近似系統(tǒng)為微分方程（4）.證畢.

這樣就得到如下向量場(chǎng)：

為方便行文，給出如下記號(hào)，其中?i、Ik（i，k∈υ）是以E0為中心的扇形鄰域是充分小的正數(shù)，υ：＝ ｛1，2，3，4｝，κ：＝｛j＋1｝，且

定理1.3微分方程（4）的平衡點(diǎn)（0，0）是不穩(wěn)定的.在E~0充分小鄰域附近，在區(qū)域I1內(nèi)，微分方程（4）的軌線沿著直線I1進(jìn)入E~0，區(qū)域I1是一個(gè)吸引的扇形區(qū)域；在區(qū)域I2內(nèi)，微分方程（4）的軌線沿著直線I2靠近平衡點(diǎn)E~0，并且沿著直線l4離開平衡點(diǎn)，區(qū)域I2是一個(gè)鞍點(diǎn)扇形區(qū)域；在區(qū)域I3內(nèi)，微分方程（4）的軌線離開平衡點(diǎn)E~0，區(qū)域I3是一個(gè)排斥的扇形區(qū)域；在區(qū)域I4內(nèi)，微分方程（4）的軌線沿著直線l8靠近平衡點(diǎn)E~0，并且沿著直線l5離開平衡點(diǎn)，此時(shí)區(qū)域I4是一個(gè)鞍點(diǎn)扇形區(qū)域.

證明為了明確微分方程（4）在原點(diǎn)附近的軌線走向，對(duì)其實(shí)施坐標(biāo)變換x＝rcosθ，y＝rsinθ，得到如下系統(tǒng)

系統(tǒng)（10）在單位圓周｛0｝×S1上有奇點(diǎn)（0，θj），j＝1，2，…，8.若r充分小，當(dāng) θ ＝ θ0時(shí)，有 θ˙＝0.此時(shí)r˙＜0，所以在l1直線上（4）式的軌線是趨向于平衡點(diǎn)E~0.當(dāng) θ∈（－ θ1，θ1）時(shí)，有r˙＜0.所以在區(qū)域I1內(nèi)，（4）式的軌線沿著直線I1進(jìn)入平衡點(diǎn)E~0，此時(shí)區(qū)域I1是一個(gè)吸引的扇形區(qū)域.當(dāng)θ∈（θ1，θ2）時(shí)，有r˙＜0.當(dāng) θ∈（θ2，θ3）時(shí)，有r˙＞0.所以在區(qū)域I2內(nèi)，（4）式的軌線沿著直線I2靠近平衡點(diǎn)E~0，并且沿著直線l4離開平衡點(diǎn)，區(qū)域I2是一個(gè)鞍點(diǎn)扇形區(qū)域.當(dāng) θ＝ θ4，u＜0時(shí)，此時(shí)r˙＞0.所以在l4直線上（4）式的連續(xù)時(shí)間流是趨于－∞的，從而（4）式的平衡點(diǎn)E~0是不穩(wěn)定的.當(dāng) θ∈（θ3，θ5）時(shí)，有r˙＞0.所以在區(qū)域I1內(nèi)（4）式的軌線離開平衡點(diǎn)，此時(shí)區(qū)域I3是一個(gè)排斥的扇形區(qū)域.

因?yàn)椋?）式是v?－v不變的，所以在區(qū)域I2內(nèi)，（4）式的軌線沿著直線l6靠近平衡點(diǎn)E~0，并且沿著直線l6離開平衡點(diǎn)此時(shí)區(qū)域I4是一個(gè)鞍點(diǎn)扇形區(qū)域，故（4）式在平衡點(diǎn)附近的相圖如圖1所示.證畢.

圖1 （4）式在平衡點(diǎn)~E 0附近的相圖Fig.1 Phase portrait of system（4）near equilibrium~E 0

2 退化不動(dòng)點(diǎn)的定性性質(zhì)與穩(wěn)定性

下面應(yīng)用blow-up方法來研究向量場(chǎng)X的平衡點(diǎn)的定性性質(zhì).應(yīng)用映射（2）與向量場(chǎng)X之間的共軛關(guān)系，得到了映射（2）退化不動(dòng)點(diǎn)E0的定性性質(zhì).

引理2.1［8］設(shè)H和Y分別是在原點(diǎn)O附近的C∞映射和C∞向量場(chǎng)，且它們的形式部分分別與引理1.1給出的形式映射~H和形式向量場(chǎng)~Y相同.假設(shè)向量場(chǎng)Y有一軌道沿著特定的方向連接O，向量場(chǎng)Y無橢圓扇形，且向量場(chǎng)Y是Lojasiewicz類型的.假設(shè)通過去奇化后得到的向量場(chǎng)僅有雙曲平衡點(diǎn)，則存在C∞坐標(biāo)變換Ψ滿足j∞（Ψ－I）＝0使得 Ψ－1?H?Ψ ＝S?φY（1，·），其中I表示恒同變換.

若存在常數(shù)k、σ、η 使得對(duì)任意（x，y）∈R2，‖（x，y）‖k≤η，都有‖Y（x，y）‖≥σ ‖（x，y）‖k，則稱C∞向量場(chǎng)是Lojasiewicz類型的，其中‖·‖表示R2中的Euclid范數(shù).顯然向量場(chǎng)X是Lojasiewicz類型的.

定理2.1映射（2）的退化不動(dòng)點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.在退化不動(dòng)點(diǎn)E0的充分小鄰域內(nèi)，若初值Q（x0，y0）∈?1，則沿著直線l2兩側(cè)收斂于E0，?1是一個(gè)“吸引的扇形區(qū)域”；若初值Q（x0，y0）∈?2，則沿著直線l3靠近不動(dòng)點(diǎn)E0，并且沿著直線l5離開不動(dòng)點(diǎn)E0，區(qū)域?2是一個(gè)“鞍點(diǎn)扇形區(qū)域”；若初值Q（x0，y0）∈?3，則離開不動(dòng)點(diǎn)E0，區(qū)域?3是一個(gè)“排斥的扇形區(qū)域”；若初值Q（x0，y0）∈?4，則沿著直線l1靠近不動(dòng)點(diǎn)E0，并且沿著直線l7離開不動(dòng)點(diǎn)E0，此時(shí)區(qū)域?4是“排斥的扇形區(qū)域”.

證明顯然微分方程（4）與向量場(chǎng)X在原點(diǎn)O附近的定性性質(zhì)是一樣的.對(duì)向量場(chǎng)X應(yīng)用變換u＝w1，v＝w1w2沿著v軸進(jìn)行blow-up，將向量場(chǎng)X轉(zhuǎn)化為如下系統(tǒng)

這樣可以降低向量場(chǎng)X平衡點(diǎn)（0，0）的退化程度，其中dτ1＝w1dt.系統(tǒng)（11）在w2軸有平衡點(diǎn)E4（0，0）、E5（0，1）和E6（0，－1），在平衡點(diǎn)處E4、E5和E6的雅可比矩陣分別為

故平衡點(diǎn)E4是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，平衡點(diǎn)E5和E6是鞍點(diǎn).對(duì)微分方程（4）應(yīng)用變換u＝ξ1ξ2，v＝ξ2沿著u軸進(jìn)行blow-up，得到如下系統(tǒng)

其中dτ4＝ξ2dt.系統(tǒng)（12）在 ξ1軸有平衡點(diǎn)E7（－1，0）和E8（1，0），在平衡點(diǎn)E7的雅可比矩陣為J（E7）＝diag（－2a，2a）且J（E8）＝ －J（E7），故平衡點(diǎn)E7和E8是鞍點(diǎn).

由上述過程可知，向量場(chǎng)X經(jīng)過去奇化獲得的系統(tǒng)只有雙曲平衡點(diǎn)，所以對(duì)于向量場(chǎng)X，由定理1.2可知向量場(chǎng)X滿足引理2.1的假設(shè)條件.由引理2.1可知，在O附近存在一個(gè)C∞微分同胚Ψ2滿足j∞（Ψ2－I）＝0使得

圖2 映射（2）在平衡點(diǎn)E 0附近的相圖Fig.2 Phase portrait of mapping（2）near equilibrium E 0

本文研究一類差分方程退化不動(dòng)點(diǎn)E0的定性性質(zhì).微分方程（4）的退化平衡點(diǎn)比較復(fù)雜，出現(xiàn)了鞍點(diǎn)扇形，這是文獻(xiàn)［5］中所沒有涉及的情形.

致謝廣東省大學(xué)生科技創(chuàng)新培育專項(xiàng)資金（PDJH2021B0309）、廣東省高校重點(diǎn)項(xiàng)目（2019KZDXM032）和南京航空航天大學(xué)研究生創(chuàng)新基地（實(shí)驗(yàn)室）開放基金（KFJJ20190802）對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.