基于多模態(tài)展開的黏彈性材料復(fù)縱波波速反演方法

黨仁俊，王 斌，范 軍

(上海交通大學(xué)高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240)

0 引 言

聲學(xué)覆蓋層通常以橡膠等黏彈性阻尼材料作為基體，并在其中嵌入人工設(shè)計(jì)的特殊聲學(xué)結(jié)構(gòu),如空腔等，以提升低頻吸聲性能或使材料具有寬帶吸聲性能[1]。試驗(yàn)測(cè)量[2]和數(shù)值模擬[3]在聲學(xué)覆蓋層的設(shè)計(jì)、評(píng)估和優(yōu)化中均有著廣泛應(yīng)用。隨著計(jì)算技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)值模擬在效率和靈活性等方面的優(yōu)勢(shì)，使其在覆蓋層的設(shè)計(jì)和優(yōu)化階段發(fā)揮著越來越重要的作用。作為關(guān)鍵輸入?yún)?shù)，黏彈性材料動(dòng)力學(xué)參數(shù)測(cè)量精度直接決定了聲學(xué)覆蓋層聲學(xué)性能數(shù)值模擬結(jié)果的精度。

通常，測(cè)量黏彈性材料動(dòng)力學(xué)參數(shù)的方法可以分為力學(xué)方法和聲學(xué)方法。力學(xué)方法主要通過測(cè)量材料試樣的振動(dòng)特性得到參數(shù)，如載荷質(zhì)量法[4-5]、振動(dòng)梁法[6-7]和動(dòng)態(tài)黏彈譜儀法[8-9]。載荷質(zhì)量法和振動(dòng)梁法必須根據(jù)測(cè)試頻率來調(diào)節(jié)質(zhì)量載荷或測(cè)試樣品長(zhǎng)度，測(cè)試工作量較大；而動(dòng)態(tài)黏彈譜儀的工作頻率在幾百赫茲以下，測(cè)試范圍有限。雖然一些改進(jìn)或外推的方法可以幫助突破測(cè)試極限[10]，但對(duì)于泊松比趨于0.5的黏彈性材料，這些改進(jìn)或外推的力學(xué)方法仍需要進(jìn)一步的試驗(yàn)驗(yàn)證[11]。除此之外，在高靜水壓力的條件下力學(xué)方法的測(cè)量系統(tǒng)設(shè)計(jì)極為復(fù)雜。

相比之下，聲學(xué)方法更適合在高靜水壓力下(例如在聲管中)測(cè)量黏彈性材料的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。在過去的幾十年中，隨著柱形聲管測(cè)量技術(shù)在水聲領(lǐng)域中的發(fā)展，復(fù)反射系數(shù)的測(cè)量方法已經(jīng)十分成熟，一些基于復(fù)反射系數(shù)的評(píng)估復(fù)縱波波速或波數(shù)的方法[12-13]逐漸涌現(xiàn)出來，它們共同之處在于均需使用復(fù)平面搜根求解復(fù)縱波波數(shù)超越方程。然而，復(fù)平面方程的多值性使得傳統(tǒng)搜根方法面臨兩個(gè)主要障礙，即計(jì)算效率較低，且需要本征值初值的先驗(yàn)知識(shí)。總體而言，聲管測(cè)量被認(rèn)為是獲得復(fù)縱波波速的有效解決方案，但如何快速、準(zhǔn)確求解復(fù)縱波波速仍是一個(gè)待解決的問題。

針對(duì)這一問題，本文提出了一種基于多模態(tài)展開的復(fù)縱波波速反演方法，將測(cè)試樣品內(nèi)部聲場(chǎng)多模態(tài)展開，推導(dǎo)出不同背襯條件下的展開系數(shù)系統(tǒng)矩陣，將復(fù)縱波波數(shù)復(fù)平面超越方程的搜根問題轉(zhuǎn)化為展開系數(shù)系統(tǒng)矩陣特征值分解問題，實(shí)現(xiàn)了黏彈性材料的復(fù)縱波波速快速、準(zhǔn)確求解。

1 黏彈性材料的縱振動(dòng)模型

考慮如圖1的聲管模型，聲學(xué)覆蓋層基底材料通常被認(rèn)為是各向同性的黏彈性材料，制備的測(cè)試樣品放入聲管中測(cè)量復(fù)反射系數(shù)時(shí)，由于入射聲波可以近似為平面波垂直入射至樣品表面，測(cè)試樣品內(nèi)僅有縱波傳播[12]，滿足波動(dòng)方程

圖1 聲管模型Fig.1 Model of acoustic tube

2 多模態(tài)展開求解縱波波速

對(duì)于S-L問題，當(dāng)函數(shù)滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)或者二階導(dǎo)數(shù)分段連續(xù)時(shí)，它可以展開為絕對(duì)、一致收斂的廣義傅里葉級(jí)數(shù)[18]。由于均勻測(cè)試樣品內(nèi)部位移處處連續(xù)、滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件，因此內(nèi)部聲場(chǎng)可以進(jìn)行多模態(tài)正交展開，即

通過上述推導(dǎo)，將傳統(tǒng)方法中復(fù)縱波波數(shù)超越方程的復(fù)平面搜根問題轉(zhuǎn)化為求解展開系數(shù)矩陣特征值問題。對(duì)比超越方程復(fù)平面搜根，矩陣特征值分解計(jì)算效率更高、算法更成熟，例如 Matlab軟件中的eig()函數(shù)。雖然無法避免 S-L邊值問題固有的多值性，然而關(guān)于材料屬性的真值只有一個(gè)，可以采取如下措施篩選：(1) 在真值范圍已知、且特征值較為分散情況下，可以直接篩選出真值；(2) 在真值范圍未知或特征值較為集中情況下，利用真值不隨測(cè)試條件變化的性質(zhì)，選擇不同類型的背襯或者不同厚度樣品測(cè)量反演對(duì)比篩選真值。

3 數(shù)值仿真驗(yàn)證

為了避免聲管測(cè)量誤差對(duì)可行性結(jié)論的判斷，本節(jié)采用復(fù)反射系數(shù)或者表面導(dǎo)納解析解對(duì)基于多模態(tài)展開的復(fù)縱波波速反演方法進(jìn)行驗(yàn)證，其中三種背襯的均勻黏彈性材料表面導(dǎo)納理論公式[19]為

泊松比σ和密度ρ分別設(shè)置為 0.49和1 140 kg·m-3。考慮在實(shí)際測(cè)量中，樣品厚度一般不超過0.05 m，因此，在數(shù)值模擬中，分別計(jì)算厚度為0.01 m和0.05 m的樣品的復(fù)反射系數(shù)，計(jì)算頻率為 1～5 kHz，依據(jù)此結(jié)果對(duì)復(fù)縱波波速進(jìn)行反演，截?cái)嚯A次N均設(shè)置為500。

根據(jù)式(12a)計(jì)算自由背襯的表面導(dǎo)納，代入式(11)計(jì)算得到復(fù)縱波波數(shù)，取倒數(shù)乘以角頻率得到復(fù)縱波波速。圖2給出了復(fù)縱波波速反演值以及理論值隨頻率變化規(guī)律，實(shí)線表示復(fù)縱波波速理論值，十字為厚度0.01 m的樣品的復(fù)縱波波速反演值，圓圈則是厚度0.05 m樣品的復(fù)縱波波速反演值。

圖2 自由背襯不同厚度樣品縱波波速反演結(jié)果Fig.2 Inversion results of longitudinal wave velocity of free-backed samples with different thickness

可以看到，根據(jù)兩個(gè)厚度測(cè)試樣品復(fù)反射系數(shù)反演得到的復(fù)縱波波速值與復(fù)反射系數(shù)仿真時(shí)設(shè)定的復(fù)縱波波速值吻合較好，尤其是較厚測(cè)試的樣品。

類似的，根據(jù)式(12b)、(12c)分別計(jì)算剛性背襯、阻抗背襯情況下表面導(dǎo)納，代入式(9)計(jì)算得到復(fù)縱波波數(shù)以及復(fù)縱波波速，分別見圖3和圖4。其中，阻抗背襯則采用 0.05 m厚的結(jié)構(gòu)鋼，密度ρ為7 850 kg·m-3、楊氏模量 E 為 2×1011Pa、泊松比σ為 0.3。值得注意的是，30～60 mm 厚的鋼柱不能視為剛性背襯[20]，否則復(fù)縱波波速反演誤差較大。

圖3 剛性背襯不同厚度樣品縱波波速反演結(jié)果Fig.3 Inversion results of longitudinal wave velocity of rigidbacked samples with different thickness

圖4 阻抗背襯不同厚度樣品縱波波速反演結(jié)果Fig.4 Inversion results of longitudinal wave velocity of impedance-backed samples with different thickness

通過對(duì)三種背襯情況下復(fù)反射系數(shù)仿真、復(fù)縱波波速反演發(fā)現(xiàn)，雖然不同厚度、背襯情況下測(cè)試樣品的復(fù)反射系數(shù)不同，但復(fù)縱波波速反演結(jié)果表現(xiàn)出了趨同性，與理論解吻合較好，說明基于多模態(tài)展開的復(fù)縱波波速反演方法是有效的。

4 誤差分析

作為一種基于多模態(tài)展開以及依賴試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的反演方法，正交函數(shù)基有限項(xiàng)截?cái)嗾`差以及復(fù)反射系數(shù)測(cè)量誤差都會(huì)對(duì)復(fù)縱波波速反演精度產(chǎn)生影響，本節(jié)將對(duì)這兩種因素進(jìn)行探究。定義復(fù)縱波波速相對(duì)誤差ε為

4.1 截?cái)嚯A數(shù)N

圖5給出了不同厚度、頻率、背襯情況下復(fù)縱波波速反演相對(duì)誤差隨截?cái)嚯A次變化規(guī)律，其中橫坐標(biāo)為截?cái)嚯A次、縱坐標(biāo)為相對(duì)誤差對(duì)數(shù)值，即lgε，仿真參數(shù)與第3節(jié)相同。

可以看出，復(fù)縱波波速反演相對(duì)誤差隨截?cái)嚯A次的增加而迅速降低，隨著截?cái)嚯A次N增大、衰減率趨近于O( N-1)。若考慮將反演誤差控制在 1%以內(nèi)，由圖5可知，在圖中所示的四種條件下，阻抗背襯和剛性背襯的截?cái)嚯A次均取為100以上即可滿足要求；自由背襯的取值條件則相對(duì)復(fù)雜，對(duì)于厚度為0.01 m的薄樣品，N由低頻時(shí)的大于1 000逐漸降至高頻時(shí)的400左右，厚度為0.05 m的厚樣品則也僅需100以上的截?cái)嚯A次即可滿足要求。

圖5 不同厚度、頻率、背襯情況下復(fù)縱波波速反演相對(duì)誤差隨截?cái)嚯A次變化規(guī)律Fig.5 Relative error variation of velocity inversion with truncation order under different thicknesses,frequencies and backings

觀察圖 5，還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)樣品較薄、頻率較低時(shí)，剛性或阻抗背襯下復(fù)縱波波速反演相對(duì)誤差顯著小于自由背襯。這是由于：當(dāng)趨近于0時(shí)，空氣、阻抗以及剛性三種背襯情況下測(cè)試樣品內(nèi)部聲場(chǎng)沿厚度方向變化率分別趨近于1、和0，內(nèi)部聲場(chǎng)沿厚度方向變化率越大、三角函數(shù)級(jí)數(shù)展開時(shí)需要的階數(shù)越多，即相同截?cái)嚯A次情況下誤差更大。隨著樣品厚度、分析頻率增加，截?cái)嚯A次相同的情況下三種背襯復(fù)縱波波速反演相對(duì)誤差此消彼長(zhǎng)，取決于測(cè)試樣品內(nèi)部聲場(chǎng)在濕表面的導(dǎo)數(shù)，最接近于0的背襯反演復(fù)縱波波速誤差最小。

4.2 復(fù)反射系數(shù)R*

在實(shí)際測(cè)量中，由于測(cè)試樣品制作工藝粗糙、加工不當(dāng)或清潔不到位等導(dǎo)致樣品表面光潔度不一；安裝測(cè)試樣品時(shí)出現(xiàn)傾斜或與管壁有較大縫隙等偏差；水聽器安裝位置不精確、測(cè)量相位不一致等因素，聲管測(cè)量得到的復(fù)反射系數(shù)R*必然與真值存在一定誤差[12,19]。將復(fù)反射系數(shù)測(cè)量值R*表示為

其中：R0、φ0分別代表復(fù)反射系數(shù)幅值與相位的真值；α為誤差因子。需要注意的是，這里為了簡(jiǎn)化分析而將模值與相位以同一參數(shù)進(jìn)行變化。在實(shí)際試驗(yàn)中，一般模值和相位會(huì)有著不同的測(cè)量誤差。

圖6給出不同背襯、厚度情況下復(fù)縱波波數(shù)反演相對(duì)誤差隨誤差因子與頻率的變化規(guī)律，采用等高線圖進(jìn)行表述，各等高線標(biāo)記已標(biāo)于圖中。其中，橫軸為計(jì)算頻率，范圍為1 000～5 000 Hz，步長(zhǎng)為100 Hz；縱軸為誤差因子α，范圍為-0.1～0.1，步長(zhǎng)為0.01，其余計(jì)算參數(shù)與第3節(jié)相同。

觀察圖6可以發(fā)現(xiàn)，自由背襯下的結(jié)果與剛性背襯和阻抗背襯有著明顯區(qū)別，因此選擇了不同的等高線劃分進(jìn)行描述?？傮w而言，隨著復(fù)反射系數(shù)測(cè)量誤差增加，復(fù)縱波波速反演誤差呈現(xiàn)增大趨勢(shì)；頻率越高，復(fù)縱波波速反演誤差對(duì)復(fù)反射系數(shù)測(cè)量誤差越敏感。自由背襯情況下，復(fù)縱波波速反演精度隨測(cè)試樣品厚度很敏感，相比之下剛性、阻抗背襯情況下復(fù)縱波波速反演結(jié)果更為穩(wěn)健。本算例中，材料的薄厚也對(duì)結(jié)果有著影響，厚度較薄的材料(圖 6(b)和圖 6(c))，其誤差最大值僅有 0.08，即在復(fù)反射系數(shù)測(cè)量誤差為10%時(shí)，反演復(fù)縱波波速相對(duì)理論值僅有8%的誤差，但較厚材料(圖6(e)和圖6(f))的誤差可以達(dá)到20%。

圖6 不同背襯、厚度情況下復(fù)縱波波速反演相對(duì)誤差隨誤差因子和頻率的變化規(guī)律Fig.6 Variation of relative error of complex longitudinal wave velocity inversion with error factor and frequency under different backings and thicknesses

5 結(jié) 論

針對(duì)聲管測(cè)量得到的復(fù)反射系數(shù)或表面導(dǎo)納，本文提出了一種基于多模態(tài)展開的黏彈性材料復(fù)縱波波速反演方法。將測(cè)量樣品內(nèi)部聲場(chǎng)多模態(tài)正交展開，推導(dǎo)出了三種背襯情況下關(guān)于展開系數(shù)的系統(tǒng)矩陣，以矩陣特征值分解代替復(fù)平面搜根，在計(jì)算效率上具有顯著優(yōu)勢(shì)。復(fù)縱波波速反演相對(duì)誤差隨截?cái)嚯A次增加而迅速減小，衰減率接近于O( N-1)。當(dāng)測(cè)試樣品遠(yuǎn)小于縱波波長(zhǎng)時(shí)，自由背襯情況下復(fù)縱波波速反演誤差遠(yuǎn)大于剛性或阻抗背襯。相對(duì)于自由背襯，剛性或阻抗背襯情況下復(fù)縱波波速反演結(jié)果更為穩(wěn)健，對(duì)測(cè)量樣品厚度以及復(fù)反射系數(shù)測(cè)量誤差敏感度更低。

本文僅考慮了均勻黏彈性材料樣品的模型，但是在實(shí)際工程中，聲學(xué)覆蓋層一般具有內(nèi)部結(jié)構(gòu)，包括各式空腔等，即使平面波入射，覆蓋層內(nèi)也存在橫波。針對(duì)這一問題，需要對(duì)材料的復(fù)剪切波速做進(jìn)行進(jìn)一步的探究，并提出更為貼近實(shí)際工況的測(cè)量方法。

附錄