《信號(hào)與系統(tǒng)》課程的MATLAB仿真
——從一道例題展開

陳昌兆

（安徽理工大學(xué) 力學(xué)與光電物理學(xué)院，安徽 淮南232001）

0 引 言

《信號(hào)與系統(tǒng)》是電子信息類專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)課程如《數(shù)字信號(hào)處理》《通訊原理》《自動(dòng)控制原理》等課程的基礎(chǔ).它是信息與通訊工程、電子科學(xué)與技術(shù)、控制科學(xué)與工程等國(guó)家一級(jí)學(xué)科在大學(xué)本科階段的專業(yè)必修課.主要任務(wù)是研究信號(hào)與系統(tǒng)理論的基本概念和基本分析方法，通過建立信號(hào)與系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型并求解，然后對(duì)所得結(jié)果給以物理解釋并開展相應(yīng)的工程應(yīng)用.由于課程的學(xué)習(xí)需要熟練使用多種數(shù)學(xué)工具、深刻理解其中蘊(yùn)含的物理概念和原理并用來解決實(shí)際的工程問題，這些都給課程的教學(xué)造成了一定的困難.

如何積極有效地開展《信號(hào)與系統(tǒng)》的課程教學(xué)是擺在教師面前的十分突出的問題.由于傳統(tǒng)的教學(xué)方式形式單一、內(nèi)容乏味，很難在數(shù)學(xué)理論、物理概念和工程應(yīng)用之間建立緊密的關(guān)聯(lián)，這是導(dǎo)致學(xué)生難學(xué)、教師難教的主要原因.為了克服傳統(tǒng)教學(xué)中存在的種種弊端，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，國(guó)內(nèi)外很多高校將互聯(lián)網(wǎng)、多媒體、手機(jī)APP以及仿真等基于計(jì)算機(jī)的人機(jī)互動(dòng)式教學(xué)手段引入到《信號(hào)與系統(tǒng)》課程教學(xué)中并起得不錯(cuò)的教學(xué)效果[1-5].例如，美國(guó)德克薩斯大學(xué)埃爾帕索分校已經(jīng)連續(xù)多個(gè)學(xué)期將信息技術(shù)手段引入到課程教學(xué)中.參加該課程的學(xué)生可以通過Connexions、四基系統(tǒng)、交互式模擬和Openstax Tutor四種技術(shù)參與學(xué)習(xí)，利用Connexions模塊可以在任意的時(shí)間和地點(diǎn)開展學(xué)習(xí)，并借助四基系統(tǒng)通過作業(yè)反饋等手段加深對(duì)課程中的重要專題的認(rèn)識(shí)深度[4].阿根廷Rosario大學(xué)以J.C.Gomez[5]教授為首的《信號(hào)與系統(tǒng)》教學(xué)團(tuán)隊(duì)將網(wǎng)上演示和測(cè)試、多媒體課件、虛擬實(shí)驗(yàn)室等多種ICT（Information and Communications Technologies）工具引入到傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，多年實(shí)踐的結(jié)果表明傳統(tǒng)教學(xué)和這些ICT工具的綜合使用大大改善了課堂教學(xué)效果，提高了學(xué)生對(duì)課程學(xué)習(xí)的滿意度，同時(shí)也提高了他們的學(xué)習(xí)成績(jī).

在多種多樣的基于ICT的輔助教學(xué)中，計(jì)算機(jī)仿真最為行之有效，特別是MATLAB的出現(xiàn)給《信號(hào)與系統(tǒng)》課程的計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)帶來了便捷，其強(qiáng)大的數(shù)學(xué)計(jì)算功能、豐富的工具箱函數(shù)和可視化的圖形用戶界面給課程教學(xué)帶來了極大的感官刺激，增強(qiáng)了課堂互動(dòng)性，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和參與度.《信號(hào)與系統(tǒng)》課程的MATLAB仿真國(guó)內(nèi)外有不少教材和參考書，如清華大學(xué)谷源濤教授[6]主編的《信號(hào)與系統(tǒng)—MATLAB綜合實(shí)驗(yàn)》以及韓國(guó)中央大學(xué)W.Y.Yang等人[7]編寫的《Signals and Systems with MATLAB 》，這些參考書系統(tǒng)、全面，但對(duì)初學(xué)者而言需要時(shí)間去練習(xí)并消化和吸收.實(shí)際上，對(duì)于初學(xué)者而言，快速入門至關(guān)重要，《信號(hào)與系統(tǒng)》雖然內(nèi)容眾多但貫穿其中的始終是一些重要的概念和分析方法，如卷積、單位沖激響應(yīng)、傅里葉變換與頻譜、拉普拉斯（z）變換與系統(tǒng)函數(shù)、濾波、調(diào)制和解調(diào)、根軌跡等等.在有限的教學(xué)時(shí)限下，教師選擇能夠涵蓋多個(gè)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)的經(jīng)典例題進(jìn)行MATLAB仿真不僅能加深學(xué)生對(duì)多個(gè)概念之間關(guān)聯(lián)性的理解，還能取得事半功倍的教學(xué)效果.此處我們借助一個(gè)帶通濾波系統(tǒng)典型例題的MATLAB分析闡述仿真軟件在課程教學(xué)中的應(yīng)用，雖然無法做到面面俱到，但至少是抓住了問題的關(guān)鍵.為了方便初學(xué)者，不僅附上每一個(gè)仿真的MATLAB程序，同時(shí)還有詳細(xì)的中文注解，相信這些注解對(duì)初學(xué)者是大有裨益的.

1 帶通濾波系統(tǒng)的MATLAB仿真

清華大學(xué)鄭君里教授主編的教材《信號(hào)與系統(tǒng)》（第三版，高等教育出版社）的上冊(cè)第301頁有一道關(guān)于調(diào)幅信號(hào)作用于帶通系統(tǒng)的例題，題干如下（略作改動(dòng)）：

上述例題中激勵(lì)信號(hào)是一種典型的調(diào)幅信號(hào)，cos(100t)為高頻載波，1+cost為低頻基帶信號(hào)，調(diào)幅信號(hào)就是用低頻調(diào)制信號(hào)去控制高頻振蕩的振幅，使高頻振蕩的振幅按照調(diào)制信號(hào)的規(guī)律振蕩，這種調(diào)制技術(shù)在無線電波的有效發(fā)射等涉及頻譜搬移的實(shí)際問題中都有應(yīng)用.針對(duì)上述例題的MATLAB仿真至少可以包含以下內(nèi)容：(1)激勵(lì)信號(hào)的頻譜觀察；(2)系統(tǒng)函數(shù)分析系統(tǒng)；(3)輸出響應(yīng)；(4)在上述電路基礎(chǔ)上引入反饋，進(jìn)而進(jìn)行根軌跡分析.這些重要專題的MATLAB仿真將分開闡述.

1.1 激勵(lì)信號(hào)的頻譜

頻譜是《信號(hào)與系統(tǒng)》課程中極為重要的概念，時(shí)域信號(hào)與頻譜之間通過傅里葉變換聯(lián)系.頻譜分析的目的是把復(fù)雜的時(shí)間歷程波形，經(jīng)過傅里葉分析分解為諸多諧波分量來研究，以獲取動(dòng)態(tài)信號(hào)中的各個(gè)頻率成分幅度和相位分布，從而得到主要幅度和能量分布的頻率值，完成對(duì)信號(hào)信息的定量解釋.激勵(lì)信號(hào)可以寫成x(t)=cos(100t)+0.5cos(101t)+0.5cos(9t)，基于MATLAB程序的時(shí)域波形及其頻譜圖如下：

%% 信號(hào)波形

figure(1)

subplot(1,2,1)% 將圖1定義為1×2矩陣圖，

下一個(gè)圖位于位置（1,1）

t=0:0.01:12; % 定義時(shí)間矢量t,抽樣間隔為

0.01s

x=cos(100*t)+0.5*cos(101*t)+0.5*cos(99*t);% 定義 x矢量

N=length(x); % 求x矢量中元素個(gè)數(shù)N

plot(t,x)% 畫信號(hào)波形圖

xlabel('time in sec');

ylabel('x(t)');

title('Signal Waveform');

grid;

%% 信號(hào)頻譜

subplot (1,2,2); % 下一個(gè)圖位于位置（1,2）

x_f=fft(x); % 對(duì)信號(hào)x實(shí)行快速傅里葉變換

l=0:N-1; % 時(shí)間序列

k=(100/N)*l; % 頻率序列

stem(k,abs(x_f))% 繪制幅度譜圖

xlabel('frequency in Hz')

title('Spectrum of Signal');

grid;

從圖1可以看出輸入信號(hào)的包絡(luò)線按照1+cost變化，變化周期為2π，最大振幅為2，對(duì)應(yīng)的位置點(diǎn)為2nπ處.頻譜圖中采樣頻率fs=100Hz，奈奎斯特頻率為fs/2=50Hz，譜圖對(duì)奈奎斯特頻率呈現(xiàn)對(duì)稱性，頻譜的峰值在16Hz左右，對(duì)應(yīng)于原信號(hào)中角頻率為100ras/s（線頻率15.9Hz）成分，另外兩種頻率成分對(duì)應(yīng)的角頻率分別為99、101rad/s，幅度只有100ras/s處頻率的一半，由于三種頻率成分十分靠近，所以頻譜疊在一起很難分辨.

圖1 信號(hào)時(shí)域波形及其頻譜

1.2 基于系統(tǒng)函數(shù)的分析

用系統(tǒng)函數(shù)分析系統(tǒng)是《信號(hào)與系統(tǒng)》課程中最常見的任務(wù)之一，因?yàn)橄到y(tǒng)函數(shù)刻畫的是系統(tǒng)本身的性質(zhì)，跟外加輸入信號(hào)沒有關(guān)系.系統(tǒng)函數(shù)實(shí)際上是單位沖激響應(yīng)的拉普拉斯變換（z變換），而頻響函數(shù)對(duì)應(yīng)單位沖激響應(yīng)的傅里葉變換.利用系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)分布可以分析系統(tǒng)的多種性質(zhì)，如穩(wěn)定性、因果性等等，而頻響函數(shù)可以用來分析信號(hào)作用于系統(tǒng)時(shí)不同頻率成分的幅度衰減和相移情況，是系統(tǒng)設(shè)計(jì)（如濾波器設(shè)計(jì)）的重要依據(jù).針對(duì)當(dāng)前的帶通濾波系統(tǒng)用Matlab繪制該系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖、頻響曲線和單位沖激響應(yīng).程序代碼和圖形如下：

%% 定義變量

t=linspace (0,5,401); % 定義時(shí)間矢量t，0~5s

之間共401個(gè)線性等分點(diǎn)

w=logspace (1,3,401); % 定義頻率向量w,

10~103rad/s之間401個(gè)對(duì)數(shù)間隔點(diǎn)

num=[2 0]; % 定義系統(tǒng)函數(shù)分子多項(xiàng)式

den=[1 2 10001]; % 定義系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式

[poles,zeros]=pzmap (num,den); % 定義系統(tǒng)

函數(shù)零、極點(diǎn)向量

[mag,angle]=bode (num,den,w); % mag 和

angle定義為w處頻響的幅度和相位

[y,x]=impulse (num,den,t); % y定義為t處系

統(tǒng)函數(shù)的沖激響應(yīng)

%% 零極點(diǎn)圖

figure(1)% 圖1

subplot(2,2,1)% 將圖1定義為2×2矩陣圖，

下一個(gè)圖位于位置（1,1）

plot(real(poles),imag(poles),'x',real(zeros),

imag(zeros),'o'); % 繪制零極點(diǎn)圖

title ('Pole-Zero Diagram'); % 添加標(biāo)題

xlabel ('Real'); % 添加 x軸標(biāo)簽

ylabel ('Imaginary'); % 添加 y軸標(biāo)簽

axis([-1.1 0.1 -120 120]); % 定義 x、y 軸范圍

grid;

%% 頻響曲線

subplot(2,2,2); % 下一個(gè)圖位于位置（1,2）

semilogx(w,20*log10(mag)); % 繪制對(duì)數(shù)w值

幅度，以分貝為單位

title ('Magnitude of Bode Diagram'); % 添加標(biāo)題

ylabel('Magnitude (dB)'); % 添加y軸標(biāo)簽

xlabel('Radian Frequency (rad/s)'); % 添加x軸

標(biāo)簽

axis([10 1000 -60 0]); % 定義 x、y 軸范圍

grid;

subplot(2,2,4); % 下一個(gè)圖位于位置（2,2）

semilogx(w,angle); % 繪制對(duì)數(shù)w值相位

title('Angle of Bode Diagram'); % 添加標(biāo)題

ylabel('Angle (deg)'); % 添加y軸標(biāo)簽

xlabel('Radian Frequency (rad/s)'); % 添加x軸

標(biāo)簽

axis([10 1000 -90 90]); % 定義 x、y 軸范圍

grid;

%% 單位沖激響應(yīng)

subplot (2,2,3); % 下一個(gè)圖位于位置（2,1）

plot(t,y); % 線性繪制階躍響應(yīng)

title ('Impulse Response'); % 添加標(biāo)題

xlabel ('Time (s)'); % 添加x軸標(biāo)簽

ylabel ('Amplitude'); % 添加 y軸標(biāo)簽grid;

圖2(a)顯示H(s)的零點(diǎn)在0，極點(diǎn)在-1±j100，二者都是單階的.單位沖激響應(yīng)（圖2(b)）是振蕩衰減的，這與H(s)的反拉普拉斯變換表達(dá)式相吻合，即

圖2(c)和(d)分別顯示系統(tǒng)的幅頻和相頻特性，幅頻曲線的基本特征是峰值點(diǎn)100rad/s，偏離此值，幅度迅速衰減.通帶集中在100rad/s附近極小的頻率范圍（99~101rad/s），在此段頻率范圍，相位呈現(xiàn)線性特征.系統(tǒng)具有明顯的帶通濾波特性，通帶的范圍很窄，有效帶寬大約2rad/s.

圖2 (a)系統(tǒng)零極點(diǎn)分布; (b)單位沖激響應(yīng)；(c)幅頻特性曲線；(d)相頻特性曲線

1.3 輸出響應(yīng)和頻譜

利用lsim命令計(jì)算輸出響應(yīng)，輸出信號(hào)及其頻譜的代碼和波形如下：

subplot (1,2,1);

num=[2 0]; % 定義多項(xiàng)式分子

den=[1 2 10001]; % 定義多項(xiàng)式分母

t=linspace(0,12,1201); % 定義時(shí)間矢量t，0-12s之間共1201個(gè)線性等分點(diǎn)

x=cos(100*t)+0.5*cos(101*t)+0.5*cos(99*t);

% 計(jì)算輸入函數(shù)

[y,x]=lsim(num,den,x,t); % 在 t時(shí)刻計(jì)算對(duì)輸入x的響應(yīng)

plot(t,y); % 輸出繪圖

xlabel('Tim e (s)');

ylabel('Amplitude');

title('Output Signals');

grid;

subplot (1,2,2); % 下一個(gè)圖位于位置（1,2）

N=length(y);

y_f=fft(y); % 對(duì)信號(hào)y實(shí)行快速傅里葉變換

l=0:N-1; % 時(shí)間序列

k=(100/N)*l; % 頻率序列

stem(k,abs(y_f))% 繪制幅度譜圖

xlabel('frequency in Hz')

title('Spectrum of Signal');

grid;

輸出響應(yīng)是系統(tǒng)在調(diào)幅波激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，包含暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)分量.從圖3(a)可以看出，從第二個(gè)波包開始，輸出趨于穩(wěn)定，說明暫態(tài)分量基本消失.穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的輸出仍然是調(diào)幅波，但整體相對(duì)于輸入信號(hào)向右偏移0.8左右，幅度相對(duì)于輸入信號(hào)有所衰減.跟輸入信號(hào)相比，輸出信號(hào)的頻譜（圖3(b)）位置并未改變，頻譜的峰值也在16Hz左右，幅度基本與輸入信號(hào)中該頻率成分一致，另外兩種頻率成分對(duì)應(yīng)的角頻率分別為99、101rad/s，幅度明顯小于100ras/s處頻率的一半.這些結(jié)論跟教材中得出的如下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表達(dá)式是完全吻合的.

圖3 (a)輸出信號(hào)的波形；(b)輸出信號(hào)的頻譜

1.4 根軌跡

根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某個(gè)參數(shù)沿正實(shí)軸從零變化到無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上的軌跡.它是一種利用幾何手段分析和設(shè)計(jì)線性時(shí)不變系統(tǒng)的方法.一個(gè)常見的例子是當(dāng)開環(huán)增益改變時(shí)跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)在復(fù)平面上的變化.例如，圖4所示的反饋系統(tǒng)中，閉環(huán)增益由H(s)=A(s)/[1+KA(s)]給出.

圖4 比例負(fù)反饋系統(tǒng)框圖

上式中A(s)一般是s的有理分式，MATLAB提供了一個(gè)叫“rlocus”的函數(shù)計(jì)算根軌跡.假設(shè)A(s)=2s/(s2+2s+10001)，則相應(yīng)的程序代碼和根軌跡圖如下：

num=[2 0];

den=[1 2 10001];

rlocus(num,den)%畫根軌跡

xlabel ('Re(s)');

ylabel ('Im(s)');

title('Locus of Roots');

從圖5可以看出，根軌跡有兩條.一條從-1+j100出發(fā)通過實(shí)軸上點(diǎn)-100然后沿實(shí)軸正方向終止于原點(diǎn)，另一條從-1-j100出發(fā)通過實(shí)軸上點(diǎn)-100然后沿負(fù)實(shí)軸終止于無窮遠(yuǎn)處.根軌跡中不在實(shí)軸上的部分一定關(guān)于實(shí)軸鏡像對(duì)稱.

圖5 根軌跡圖

2 結(jié) 語

《信號(hào)與系統(tǒng)》課程教學(xué)中引入MATLAB仿真可以大大改善課堂教學(xué)效果.我們以帶通濾波器作為示例，展示了課程教學(xué)中幾個(gè)關(guān)鍵性專題的MATLAB實(shí)現(xiàn)方法，不僅能夠引導(dǎo)學(xué)生快速入門，還能夠進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)課程中最為重要的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解.