∑1-SDD矩陣線性互補(bǔ)問(wèn)題的最優(yōu)誤差界

李艷艷

（文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 文山 663099）

0 引 言

線性互補(bǔ)問(wèn)題（Lcp(A,q)）的模型是指求x∈ Rn，滿足

其中A是實(shí)矩陣，x,q是實(shí)向量.

文獻(xiàn)[1]指出，當(dāng)Lcp(A,q)中的矩陣A是主子式都為正的實(shí)矩陣（P矩陣）時(shí)，能較容易得到該問(wèn)題唯一解的誤差界.

2006年，陳小軍等在文獻(xiàn)[2]中給出了Lcp(A,q)中的矩陣A是主子式都為正的實(shí)矩陣（P矩陣）時(shí)的線性互補(bǔ)的誤差界

其中r(x)=min{x,Ax+q}， ，d=[d1,d2,…,dn]T(0≤di≤1).

本文研究目前少有文獻(xiàn)研究的H矩陣的新子類∑1-SDD矩陣的線性互補(bǔ)問(wèn)題的誤差界估計(jì).首先給出∑1-SDD矩陣A的逆矩陣無(wú)窮范數(shù)的上界.其次，利用嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣經(jīng)典的線性互補(bǔ)誤差界估計(jì)式，得到了∑1-SDD矩陣A的線性互補(bǔ)問(wèn)題的誤差界，進(jìn)一步對(duì)該誤差界的最優(yōu)值進(jìn)行了詳細(xì)地分析.同時(shí)借助數(shù)值算例對(duì)估計(jì)式的優(yōu)越性進(jìn)行了說(shuō)明.

1 預(yù)備知識(shí)

Pena在文獻(xiàn)[9]中首次給出了H矩陣的新子類∑1-SDD矩陣，定義如下：

定義1[9]對(duì)于矩陣A=(aij)∈Rn,n，如果存在非空子集S?N,使得：

成立，則稱A是∑1-SDD矩陣.

引理1[9]設(shè)A是主對(duì)角元素為正的∑1-SDD矩陣，X滿足定義1.則存在對(duì)角矩陣且

對(duì)i∈N和γ∈Is，有

引理2[9]設(shè)矩陣A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),則

2 ∑1-SDD矩陣無(wú)窮范數(shù)的上界估計(jì)

本部分利用構(gòu)造的方法，給出∑1-SDD矩陣僅與矩陣元素有關(guān)的無(wú)窮范數(shù)的上界.

定理1設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn,n是∑1-SDD矩陣，則

下面分類討論:

接下來(lái)，研究∑1-SDD矩陣A的最小奇異值的下界.利用1-范數(shù)和∞-范數(shù)的關(guān)系，易得定理2，定理3.

定理2設(shè)矩陣，則

定理3設(shè)A=(aij)∈Rn,n，AT和A是∑1-SDD矩陣，則

當(dāng)γ>1時(shí)，

當(dāng)γ<1時(shí)，

3 ∑1-SDD矩陣線性互補(bǔ)問(wèn)題的誤差界

本部分研究∑1-SDD矩陣線性互補(bǔ)問(wèn)題的誤差界，同時(shí)對(duì)最優(yōu)值進(jìn)行詳細(xì)地分析.

引理3[9]設(shè)A=(aij)∈Rn,n是對(duì)角元素為正的對(duì)角矩陣,且AX是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,設(shè)

定理4設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn,n是∑1-SDD矩陣，S?N,S≠?,aii>0，令則對(duì)?i,j∈N，有

證明直接應(yīng)用引理便得結(jié)果.

下面分γ>1和γ<1討論誤差界的最優(yōu)值.當(dāng)γ>1時(shí)， 令若存在，則

定 理 5設(shè) 矩 陣A=(aij)∈Rn,n是 ∑1-SDD矩陣，S?N,S≠?,aii>0，令=ID+DA=()，D=diag(di)，0≤di≤1，γ>1，

定理6設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn,n是∑1-SDD矩陣，S?N,S≠?,aii>0，令=I-D+DA=()，D=diag(di)，0≤di≤1，γ<1，，則

證明(1)若，且γ

因?yàn)間′(γ)< 0，則g(γ)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，于是

證畢.

4 數(shù)值算例

例1設(shè)，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)S={1}時(shí)，A1為∑1-SDD矩陣，且，應(yīng)用定理5計(jì)算得

例2設(shè)經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)S={1,2}時(shí)，A2為∑1-SDD矩陣，且應(yīng)用定理5計(jì)算得

本文的研究將線性互補(bǔ)問(wèn)題誤差界研究的矩陣進(jìn)行了擴(kuò)充，填補(bǔ)了對(duì)于∑1-SDD矩陣該類問(wèn)題研究的空白.得到的結(jié)果，不僅形式簡(jiǎn)單，且由于只與矩陣元素有關(guān)，易于計(jì)算.與已有關(guān)于線性互補(bǔ)誤差界問(wèn)題研究方法相比，定理5、定理6在定理4的基礎(chǔ)上，利用函數(shù)的單調(diào)性討論確定了含參數(shù)誤差界的最優(yōu)值.這也是對(duì)該類問(wèn)題研究方法的進(jìn)一步拓展和豐富.