關(guān)于擴(kuò)充基定理的一個(gè)注記

徐助躍

【摘要】擴(kuò)充基定理是線性空間中一個(gè)很重要的定理，其基本思想就是將較小空間的基擴(kuò)充為個(gè)數(shù)較多的、較大空間的基，進(jìn)而分析這個(gè)擴(kuò)充基的特點(diǎn)，使問題得以解決.本文給出了一個(gè)非平凡子空間的新定理，并列舉了幾個(gè)應(yīng)用該定理的實(shí)例.

【關(guān)鍵詞】擴(kuò)充基定理;線性空間;非平凡子空間;基

【基金項(xiàng)目】湘西自治州民族廣播電視大學(xué)立項(xiàng)課題（課題編號(hào)：Z202107）.

定理1設(shè)W是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)m維子空間，α1，α2，…，αm是W的一組基，那么這組向量必定可擴(kuò)充為整個(gè)空間的基.也就是說，在V中必定可以找到 n-m個(gè)向量αm+1，αm+2，…，αn，使得α1，α2，…，αn是V的一組基.

這就是擴(kuò)充基定理，在一些的高等代數(shù)教材中（如文獻(xiàn)[1][2][3][4][5]）都給出了擴(kuò)充基定理及其證明，并應(yīng)用此定理證明了維數(shù)公式dimV1+dimV2=dim（V1+V2）+dimV1∩V2.證明的基本方法是：首先取V1∩V2的一組基α1，α2，…，αp，將它分別擴(kuò)充為V1，V2的基：α1，α2，…，αp，αp+1，…，αs和α1，α2，…，αp，βp+1，…，βt，然后證明α1，α2，…，αp，αp+1，…，αs，βp+1，…，βt為V1+V2的基.由此，我們不難發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)充基定理的基本思想，就是將線性無關(guān)向量組（常為較小空間的基）擴(kuò)充為個(gè)數(shù)較多的、新的線性無關(guān)向量組（常為較大空間的基），進(jìn)而我們通過分析新向量組的特點(diǎn)，使問題得以解決.從涉及問題來說，擴(kuò)充基定理必定聯(lián)系著與子空間及其維數(shù)有關(guān)的問題.

下面，我們通過幾個(gè)實(shí)例，進(jìn)一步說明擴(kuò)充基定理的應(yīng)用范疇.

例1設(shè)A為n×r列滿秩矩陣（r

證明設(shè)A的列向量為α1，α2，…，αr，將其視為Fn中線性無關(guān)的向量組，于是存在列向量組αr+1，…，αn，使得α1，α2，…，αr，αr+1，…，αn構(gòu)成Fn的基，令B=（αr+1，…，αn），則B為n×（n-r）列滿秩矩陣，所以C=（A，B）為n×n階非奇異矩陣.

例2設(shè)為n維線性空間V的線性變換，λ0為E的特征根，Vλ0為相應(yīng)于λ0的特征子空間，證明：dimVλ0≤λ0的代數(shù)重?cái)?shù).

證明該問題與Vλ0的維數(shù)有關(guān)，與λ0的特征多項(xiàng)式有關(guān)，因而問題的關(guān)鍵在于尋找一組基，并求出關(guān)于該基的矩陣.

設(shè)dimVλ0=r，α1，α2，…，αr為Vλ0的一組基，擴(kuò)充為V的基α1，…，αr，αr+1， …，αn.

于是（αi）=λ0αi （i=1，2，…，r），

令（αj）=a1jα1+a2jα2+…+anjαn（j=1，2，…，n），則線性變換關(guān)于基的矩陣為

A=λ00…0a1r+1…a1n0λ0…0a2r+1…a2n0……λ0arr+1…arn0……0anr+1…ann

則f（λ）=λI-A=λ-λ0rg（λ），

所以dimVλ0=r≤λ0的代數(shù)重?cái)?shù).

例3設(shè)為有限維向量空間V的線性變換，W為V的一個(gè)子空間，（W）=（α）α∈W，證明： dim（（W））+dim（-1（o）∩W）=dim（W）.

證明設(shè)dim（-1（o）∩W）的維數(shù)為r，α1，α2，…，αr為其一組基，將其擴(kuò)充為W的基α1，…，αr，αr+1，…，αs.

由于（αi）=0，1≤i≤r，若能證明（αr+1），…，（αs）為（W）的基，則問題得以解決.

因?yàn)閃=L（α1，…αr，αr+1，…αs），

所以（W）=L[（αr+1），…，（αs）].

下面論證（αr+1），…，（αs）線性無關(guān)，

令∑sj=r+1Rj（αj）=0，則

∑sj=r+1Rjαj=0， ∑sj=r+1Rjαj∈-1（o）∩W，

于是∑r+1j=1Rjαj=∑ri=1Riαi.

但α1，…，αr，αr+1，…，αs線性無關(guān)，

所以Rj=0（j=r+1，…，s），故（αr+1），…，（αs）線性無關(guān)，

所以dim（W）=r+（s-r）=dim（-1（o）∩W）+dim（（W））.

1新定理

定理2設(shè)V1，V2，…，Vs為線性空間V的s個(gè)非平凡子空間，則存在β∈V，使得βVi （i=1，2，…，s）.

證明：用歸納法證明

當(dāng)s=1時(shí)，命題顯然成立.當(dāng)s=2時(shí)，若V1V2，則因?yàn)閂2為V的非平凡子空間，故必存在α∈V，但αV2，自然也有αV1.同理;當(dāng)V2V1時(shí)，命題也成立.又當(dāng)V1V2且V2V1時(shí)，則必存在α1∈V1，但α1V2，α2∈V2，但α2V1.若α=α1+α2∈V，則αV1，若不然，則與α2=（α1+α2）-α1=α-α1∈V1矛盾，所以α2V1;同理α1V2.故當(dāng)s=2時(shí)，命題成立.

假設(shè)命題對(duì)s-1（s≥2）也成立，即存在σ∈V，使得σVi（i=1，2，…，s-1）.此時(shí)，如果σVs，則命題成立;如果σ∈Vs，因?yàn)閂s為V的非平凡子空間，故必存在βVs，所以R≠0∈F有RβVs，于是σ+RβVs.

若β∈Vi（i=1，2，…，s-1），則R≠0∈F有Rβ∈Vi（i=1，2，…，s-1），故只要取α=σ+Rβ，則αVi（i=1，2，…，s），所以命題成立.

若β某些Vj，不妨設(shè)βVj（1≤j≤t，1≤t≤s-1），則可斷言，對(duì)Vj（1≤j≤t）來說，F(xiàn)中最多有一個(gè)數(shù)R，使得σ+Rβ∈Vj.這是因?yàn)椋喝粲蠷1≠R2∈F，使得σ+R1β∈Vj，σ+R2β∈Vj，則（R1-R2）β∈Vj，但R1≠R2，從而β∈Vj，這與βVj矛盾.

因此，對(duì)于V1，V2，…，Vt來說，最多有t個(gè)F中數(shù)Rp（p=1，2，…，t），使得σ+Rpβ∈Vp（p=1，2，…，t）.由于F中有無限多個(gè)數(shù)，于是存在R∈F，使得σ+RβVj（j=1，2，…，t），從而得出σ+RβVi（i=t+1，…，s）.

綜上，由數(shù)學(xué)歸納法可知命題成立.

2應(yīng)用舉例

例4設(shè)V為數(shù)域F上n維線性空間，V1，V2，…，Vs（s≥2）為V的m維子空間（0

證明設(shè)Vi的基為αi1，αi2，…，αim，則Vi=L（αi1，αi2，…，αim），由命題知，存在β1∈V，使得β1Vi，從而可知αi1，αi2，…，αim，β1線性無關(guān).

令Wi=L（αi1，αi2，…，αim，β1），則dimWi=m+1，若m+1

例5設(shè)V1，V2，…，Vs為數(shù)域F上線性空間V的任意s個(gè)非平凡子空間，證明：當(dāng)V為n維線性空間時(shí)，必存在V的一個(gè)基，使得這個(gè)基的n個(gè)向量都不在V1，V2，…，Vs中.

（本例的幾何意義是：以過原點(diǎn)的平面V為例，它為二維線性空間，而平面上過原點(diǎn)的任意有限s條直線V1，V2，…，Vs都為V的非平凡子空間，平面上必有無限多個(gè)點(diǎn)，全不在這s條直線上，且其中有兩個(gè)點(diǎn)為線性無關(guān)的.）

證明由命題知：存在α1≠0∈V，使得α1V1，α1V2，…，α1Vs.考慮V的非平凡子空間：V1，V2，…，Vs，L（α1），再由命題知：存在α2∈V，使得α2V1，α2V2，…，α2Vs，α2L（α1），于是α1，α2線性無關(guān).因此必存在α3∈V，使得α3V1，α3V2，…，α3Vs，α3L（α1，α2），且α1，α2，α3線性無關(guān).這是因?yàn)椋喝羲鼈兙€性相關(guān)，而α1，α2是線性無關(guān)，故α3必為α1，α2的線性組合，因此與α3L（α1，α2）矛盾，故α1，α2，α3線性無關(guān)，且α1，α2，α3均不屬于V1，V2，…，Vs.

設(shè)重復(fù)使用上述步驟n-1次后得到V的線性無關(guān)向量組α1，α2，…，αn-1，它們?nèi)辉赩1，V2，…，Vs中.于是再由命題知：存在αn∈V，使得αnV1，αnV2，…，αnVs，αnL（α1，α2，…，αn-1），且α1，α2，…，αn線性無關(guān)，于是當(dāng)V為n維線性空間時(shí)，α1，α2，…，αn就為V的基，它們?nèi)辉赩1，V2，…，Vs中.

例6試證n維向量空間Pn的任意一個(gè)真子空間都為Pn的若干個(gè)n-1維子空間的交.

（本例的幾何意義是：以三維空間為例，任何一條過原點(diǎn)的直線都是過原點(diǎn)的兩個(gè)平面的交，任何過原點(diǎn)的平面，都是自己與自己的交.）

證明設(shè)W為Pn的任何一個(gè)真子空間，α1，α2，…，αs為其一組基，將這組基擴(kuò)充為Pn的一組基α1，α2，…，αs，αs+1，…，αn，

令L1=L（α1，α2，…，αs，0，αs+2，…，αn）;

L2=L（α1，α2，…，αs，αs+1，0，…，αn）;

……

Ln-s=L（α1，α2，…，αs，αs+1，…，αn-1，0）.

可以斷定W=∏n-si=1Li.

事實(shí)上，顯然有∏n-si=1Li≥W.

另一方面，設(shè)α=a1α1+…asαs+as+1αs+1+…+anαn∈∏n-si=1Li，則as+iαs+i∈Ls+i（i=1，2，…，n-s）.假設(shè)as+i≠0，則αs+i∈Ls+i，這與α1，α2，…，αs，αs+1，…，αn線性無關(guān)矛盾，所以as+i=0，從而α∈W，故∏n-si=1Li≤W.所以有W=∏n-si=1Li.

【參考文獻(xiàn)】

[1]丘維聲.高等代數(shù)（第二版，下冊）[M].北京：高等教育出版社，2003：72-91.

[2]丘維聲.高等代數(shù)（下冊）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010：151-161.

[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003;237-272.

[4]王萼芳.高等代數(shù)（第四版，下冊）[M].北京：高等教育出版社，2013：150-154.

[5]張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007：211-278.