APOS理論視域下圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)

羅震

【摘要】掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象等學(xué)科核心素養(yǎng)的重要方式.APOS理論能有效指導(dǎo)數(shù)學(xué)概念的教學(xué).本文基于APOS理論進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì)，較好地促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成.

【關(guān)鍵詞】APOS理論;圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;教學(xué)設(shè)計(jì)

2017年版的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)應(yīng)以人為本，教師要轉(zhuǎn)變角色和教學(xué)行為，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角深度思考、厘清數(shù)學(xué)概念的來(lái)龍去脈，凸顯教學(xué)的生成性.美國(guó)數(shù)學(xué)家Dubinsky等人提出的APOS理論的四個(gè)發(fā)展階段（操作Action、過(guò)程Process、對(duì)象Object、圖示Schema）從認(rèn)知心理學(xué)視角上揭示了學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理全過(guò)程.運(yùn)用APOS理論進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)有助于學(xué)生在教學(xué)情境中加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、自主建構(gòu)知識(shí)體系，有利于學(xué)生掌握概念的本質(zhì)內(nèi)涵.本文基于此理論進(jìn)行了“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)設(shè)計(jì).

1 教學(xué)設(shè)計(jì)分析

1.1 教材分析

1.1.1 教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容是人教A版普通高中教科書(shū)《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第二章2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，探討在平面直角坐標(biāo)系中確定圓的基本幾何要素，并使用坐標(biāo)表示這些幾何要素，進(jìn)而得到圓上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

1.1.2 在教材中的地位與作用

教材安排在直線和圓錐曲線之間學(xué)習(xí)圓的有關(guān)知識(shí)，意在讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉坐標(biāo)法，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)三大圓錐曲線做準(zhǔn)備.

1.2 學(xué)情分析

本節(jié)內(nèi)容對(duì)高中的學(xué)生來(lái)說(shuō)，入門(mén)不難，但這節(jié)課需要學(xué)生構(gòu)建幾何、代數(shù)之間的橋梁，運(yùn)用代數(shù)方法研究圓的性質(zhì).

1.3 教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：會(huì)用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;熟悉圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)和求法;準(zhǔn)確地確定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.

過(guò)程與方法目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，重點(diǎn)講解、變式辨析、歸納小結(jié)，激發(fā)學(xué)生思維，使學(xué)生能用坐標(biāo)法、待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合思想去解決圓的有關(guān)問(wèn)題.

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有深度的思考和交流討論，用代數(shù)方法解決一些有關(guān)圓的簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，促成學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的實(shí)現(xiàn).

1.4 學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法;

難點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 操作（Action）階段：創(chuàng)設(shè)情境，感知圓

情境1：教師讓學(xué)生看幾張生活中的圓圖案：摩天輪、奧運(yùn)五環(huán)等，問(wèn)學(xué)生在初中，圓的定義是怎樣的.

情境2：教師讓學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)圓.

師引入數(shù)學(xué)文化“墨子、古希臘歐幾里得關(guān)于圓的定義”，讓學(xué)生了解人們對(duì)圓的認(rèn)識(shí)過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.

2.2 過(guò)程（Process）階段：探究新知，建構(gòu)圓的定義

問(wèn)題：類比在平面直角坐標(biāo)系中確定一條直線的幾何要素，你們知道確定圓需要幾個(gè)要素嗎？這些要素能否推導(dǎo)出圓的方程？

2.3 對(duì)象（Object）階段：建構(gòu)對(duì)象，通過(guò)圓的定義推導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

2.3.1 探究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

問(wèn)題1：在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心A的坐標(biāo)為（a，b），則半徑為r的圓的方程是什么？如何推導(dǎo)？

（1）建系設(shè)點(diǎn).

教師請(qǐng)學(xué)生在黑板上畫(huà)出直角坐標(biāo)系（強(qiáng)調(diào)僅就一般情況推導(dǎo)）.設(shè)圓上任一點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y）.

（2）寫(xiě)點(diǎn)集.

根據(jù)定義，圓就是集合P={M||MA|=r}.

（3）列方程.

由兩點(diǎn)間的距離公式得：（x-a）2+（y-b）2=r.

（4）化簡(jiǎn)方程.

將上式兩邊平方得： （x-a）2+（y-b）2=r2. （1）

教師讓學(xué)生從正反兩方面來(lái)解釋點(diǎn)坐標(biāo)與方程（1）的關(guān)系，繼而給出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義.

問(wèn)題2：此方程展開(kāi)后有什么特點(diǎn)？當(dāng)原點(diǎn)為圓心時(shí)，此方程變?yōu)槭裁矗?/p>

師小結(jié)：圓的位置和大小需要圓心和半徑分別確定，所以確定了a，b，r三個(gè)量且r>0，圓的方程就確定了.即確定圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，利用待定系數(shù)法即可確定a，b，r.

2.3.2 鞏固練習(xí)

（1）說(shuō)出下列圓的圓心坐標(biāo)和半徑.

①（x-3）2+（y+2）2=4;

②（x+4）2+（y-2）2=7;

③x2+（y+1）2=16;

④2x2+2y2=8.

（2）寫(xiě)出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

①圓心在原點(diǎn)，半徑是4;

②圓心為C（-3，4），半徑是5;

③圓心為C（-8，3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-5，-1）.

2.3.3 探究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

例1 已知P 1（4，9），P 2（6，3）兩點(diǎn)，求以線段P 1P 2為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)M 1（6，9），M 2（3，3），M 3（5，3）與圓的位置關(guān)系.

思考 怎樣判斷點(diǎn)M 0（x 0，y 0）在圓內(nèi)，圓上，還是圓外呢？（學(xué)生小結(jié)）

變式1 已知M（5，7）和圓 （x-2）2+（y+3）2=25，則點(diǎn)M在（? ）.

A.圓內(nèi)B.圓上

C.圓外D.無(wú)法確定

變式2 點(diǎn)P（m，5）與圓x2+y2=25的位置關(guān)系為（ ?）.

A.在圓外B.在圓上

C.在圓內(nèi)D.在圓上或圓外

變式3 以點(diǎn)（2，-1）為圓心且與直線3x-4y+5=0相切的圓的方程為（? ）.

A.（x-2）2+（y+1）2=3

B.（x+2）2+（y-1）2=3

C.（x-2）2+（y+1）2=9

D.（x+2）2+（y-1）2=9

2.4 圖示（Schema）階段：鞏固提高

例2 一圓過(guò)三點(diǎn)A（-1，5），B（5，5），C（6，-2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

學(xué)生小組合作交流并小結(jié)及思考是否還有其他方法.

例3 已知圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)A（2，1），且圓心在直線l：x-2y-1=0上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

教師通過(guò)例題示范和變式使學(xué)生加深對(duì)概念的理解，學(xué)生通過(guò)鞏固提高練習(xí)銜接了概念所蘊(yùn)含的內(nèi)在知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，也即通過(guò)多次的APOS循環(huán)過(guò)程螺旋上升建構(gòu)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的心理圖示.

本課小結(jié)及作業(yè)略.

3 教學(xué)設(shè)計(jì)反思

教學(xué)中，教師要引導(dǎo)，學(xué)生要自主建構(gòu).

APOS理論闡述了教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)操作（Action）階段內(nèi)化到過(guò)程（Process）階段，然后壓縮到對(duì)象（Object）階段，最后順應(yīng)到圖示（Schema）階段.學(xué)生通過(guò)對(duì)新知識(shí)的探索、發(fā)現(xiàn)，達(dá)到對(duì)所學(xué)新知識(shí)本質(zhì)的自主建構(gòu)、反思和遷移，厘清問(wèn)題本質(zhì)，掌握概念內(nèi)涵，最終順利解決問(wèn)題.

在Action階段，教師聯(lián)系實(shí)際生活創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，讓學(xué)生感知圓的美和認(rèn)識(shí)圓的歷史.

在Process階段，教師類比直線，挖掘和利用學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法思考如何解決問(wèn)題，使學(xué)生思維水平提高.

在Object階段，教師采用小組討論、合作交流、學(xué)生展示等形式，以問(wèn)題為引，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用坐標(biāo)法探究圓的方程，發(fā)揮學(xué)生的主體性、主動(dòng)性.

在Schema階段，教師通過(guò)例題示范、變式練習(xí)，從代數(shù)和幾何角度探索一題多解，數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出新知識(shí)的有關(guān)規(guī)律，在腦海中構(gòu)成新的認(rèn)知圖示.這個(gè)階段不是一蹴而就的，不是線性的，是需要反復(fù)調(diào)整、反思、對(duì)比、檢驗(yàn)的，是不間斷地把單個(gè)認(rèn)知淺表圖示依照邏輯和概念間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)知識(shí)線串聯(lián)而構(gòu)成知識(shí)面，螺旋上升到更高的層次，最終把知識(shí)面依照其邏輯因果等關(guān)系組成有深度的多個(gè)圖示.

4 結(jié)論

綜上所述，基于APOS理論指導(dǎo)的教學(xué)設(shè)計(jì)，遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的主動(dòng)參與，凸顯了學(xué)生的主體性.它一方面使教師能夠預(yù)設(shè)有效的教學(xué)途徑啟發(fā)學(xué)生思考，關(guān)注學(xué)生生成性的發(fā)展;另一方面實(shí)施基于生活、內(nèi)含問(wèn)題的教學(xué)情境的互動(dòng)式、探究式的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，賦予知識(shí)以鮮活的背景，通過(guò)教師價(jià)值引領(lǐng)、鼓勵(lì)和倡導(dǎo)合作交流，幫助學(xué)生自主建構(gòu)新知識(shí)，在把握知識(shí)來(lái)龍去脈的過(guò)程中獲得情感的體驗(yàn)，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效生成.

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳統(tǒng)勝.基于APOS理論的概念教學(xué)設(shè)計(jì)研究與實(shí)踐：以“分層抽樣”教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)），2020（08）：6-10.

[2]戚艷興.基于核心素養(yǎng)與APOS理論的高中生函數(shù)的概念學(xué)習(xí)進(jìn)階研究[D].上海：華東師范大學(xué)，2020.