探究規(guī)律之美　感悟數(shù)形結(jié)合

蔣明玉

【設(shè)計(jì)理念】

對(duì)大腦的科研成果表明，大腦的兩半球具有不同的功能，左半腦功能偏重于抽象的邏輯思維，講究規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)，穩(wěn)定封閉，如數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式的運(yùn)算、邏輯推理、歸納演繹等。右半腦功能則偏重于形象思維，講究直覺(jué)想象，自由發(fā)散，如猜想、假設(shè)、奇異創(chuàng)造等。左、右半腦的功能各有特征，如果互相補(bǔ)充就會(huì)使大腦功能更加健全和發(fā)達(dá)。數(shù)形結(jié)合就同時(shí)運(yùn)用了左、右半腦的功能，在培養(yǎng)形象思維能力時(shí)，也促進(jìn)了邏輯思維能力的發(fā)展。

從兒童思維特點(diǎn)來(lái)看，小學(xué)生的思維是從以具體形象思維為主要形式逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡，但這時(shí)的邏輯思維是初步的，且在很大程度上仍具有具體形象性。通過(guò)數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，把形象思維與抽象思維有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，能夠有的放矢地幫助學(xué)生多角度、多層次地思考問(wèn)題，可以養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣，甚至為學(xué)生初步形成辯證思維能力創(chuàng)造條件。鑒于此，筆者嘗試開(kāi)展了“數(shù)形結(jié)合找規(guī)律”的設(shè)計(jì)、教學(xué)與研究。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.讓學(xué)生在生動(dòng)有趣的活動(dòng)中觀察、尋找圖形的特點(diǎn)，結(jié)合圖形從不同的角度觀察得出不同的數(shù)學(xué)規(guī)律。

2.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力、發(fā)散思維能力和創(chuàng)造性思維能力。

3.通過(guò)以形助數(shù)的直觀生動(dòng)性，體會(huì)數(shù)形結(jié)合，感受數(shù)學(xué)的規(guī)律美。

【教學(xué)過(guò)程】

一、欣賞廬山美景，利用古詩(shī)導(dǎo)入新課

教師先讓學(xué)生欣賞廬山的美景，邊看邊問(wèn)。當(dāng)學(xué)生看到了瀑布的美景時(shí)，問(wèn)學(xué)生想到了哪兩句詩(shī)？（飛流直下三千尺，疑是銀河落九天。）接著繼續(xù)欣賞美景，還想到了哪首詩(shī)？蘇軾的《題西林壁》。蘇軾用哪兩句詩(shī)高度概括了廬山的美？（橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。）

師：這兩句詩(shī)什么意思？

生：從不同的角度看廬山，廬山的模樣各不相同。

師：其實(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也是如此，對(duì)待同一個(gè)問(wèn)題，如果從不同角度去觀察、去思考，得出的結(jié)論、規(guī)律也就不同。

師：廬山的美是高山、流水、瀑布、云霧、大樹(shù)等的美，是大自然的美。意大利數(shù)學(xué)家伽利略說(shuō)：“數(shù)學(xué)總是美的，數(shù)學(xué)是美的科學(xué)。”數(shù)學(xué)的美指的是什么呢？帶著這個(gè)問(wèn)題，我們開(kāi)始今天的學(xué)習(xí)。

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生比較熟悉的古詩(shī)導(dǎo)入新課，非常簡(jiǎn)明。以此遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也要善于從不同角度觀察和思考問(wèn)題，為后面新知的學(xué)習(xí)埋下伏筆。從“自然美”遷移到“數(shù)學(xué)美”，顯得大氣有力。

二、多角度觀察，多層次探究

1.探究從1起連續(xù)n個(gè)奇數(shù)的和

師（依次出示圖1、圖2、圖3）：分別說(shuō)說(shuō)這些圖是由幾個(gè)小圓點(diǎn)組成的。

師：想象一下圖4會(huì)是什么樣子的？一共有多少個(gè)圓點(diǎn)？

師：你是怎么想到圖4會(huì)有16個(gè)小圓點(diǎn)的？仔細(xì)觀察這組圖，你還有什么發(fā)現(xiàn)呢？

（學(xué)生暢談自己的發(fā)現(xiàn)）

師：同學(xué)們不僅能用一個(gè)數(shù)表示每幅圖的圓點(diǎn)數(shù)，而且還能用算式來(lái)表示這組圖的規(guī)律，真了不起。根據(jù)這個(gè)規(guī)律，想一想第5幅圖是怎樣的？一共有多少個(gè)圓點(diǎn)？第8幅圖呢？第100幅圖呢？第n幅圖呢？

師：通過(guò)剛才的觀察，我們發(fā)現(xiàn)每幅圖的圓點(diǎn)總數(shù)都可以看作是兩個(gè)相同的數(shù)相乘的積，這些算式還可以用平方數(shù)的形式來(lái)表示。那剛才我們是怎樣觀察的？

生：橫著觀察的。

師：像這樣的，我們稱為正方形數(shù)。

[教師板書(shū)2×2（22）、3×3（32）、4×4（42）]

師：剛才我們是橫著看這個(gè)圖形的，還可以怎么看呢？

生：豎著看。

（多數(shù)學(xué)生笑了，一樣的還是2個(gè)2、3個(gè)3、4個(gè)4）

生：斜著看。

師：斜著看，好主意。

（教師提供課件展示如下圖）

形成板書(shū)：

1+2+1=22

1+2+3+2+1=32

1+2+3+4+3+2+1=42

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：最中間那個(gè)數(shù)是幾，這樣一組數(shù)的和就是幾的平方。

師：能不能再換個(gè)角度來(lái)看這個(gè)圖形呢？

（學(xué)生再次沉默）

師：如果我們換個(gè)角度觀察，課件出示“ ”劃分的圖，要求每幅圖的圓點(diǎn)總數(shù)又可以列成怎樣的算式？

師：下面這些式子也是表示每幅圖圓點(diǎn)的總數(shù)，和剛才的算式一樣嗎？

1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42

師：仔細(xì)觀察這些等式，左邊的式子有什么特征？右邊呢？左右聯(lián)系起來(lái)看你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生：從1起連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方。

生：從1起連續(xù)n個(gè)奇數(shù)的和等于n的平方（n2）。

師：回顧剛才的3種觀察角度，橫著看、斜著看、拐一個(gè)直角看，你有什么體會(huì)？

生：橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。

生：多種角度看圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律各不同。

師（小結(jié)）：剛才我們對(duì)于同一組圖，從不同角度觀察，找到了這么多不同的規(guī)律。同學(xué)們真了不起。老師想告訴大家，早在2500多年前，古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就是借助這些小圓點(diǎn)去擺圖形，進(jìn)而找到了這些有趣的規(guī)律。我覺(jué)得我們班的同學(xué)已經(jīng)超過(guò)了古希臘的數(shù)學(xué)家，已經(jīng)具有了未來(lái)數(shù)學(xué)家的風(fēng)范。

師：我們?cè)倩貞浺幌?，剛才我們是怎樣找到這些規(guī)律的？和什么結(jié)合起來(lái)找的？

（板書(shū)課題：數(shù)形結(jié)合找規(guī)律）

師：數(shù)形結(jié)合是一種特別重要的數(shù)學(xué)思想方法，希望同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中經(jīng)常使用數(shù)形結(jié)合思想方法，幫助我們解決一些實(shí)際問(wèn)題。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)形結(jié)合思想方法之一是借助“形”的生動(dòng)和直觀性認(rèn)識(shí)“數(shù)”。通過(guò)觀察前3個(gè)圖，使得學(xué)生從整體上觀察圖形的圓點(diǎn)排列特點(diǎn)。然后，想象一下圖4會(huì)是什么樣子的，一共有多少個(gè)圓點(diǎn)，進(jìn)而做出大膽的猜想、合理的假設(shè)，并得出試探性的結(jié)論，訓(xùn)練了學(xué)生數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力。教師引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)而有效地觀察圖形，培養(yǎng)學(xué)生從圖中讀懂重要信息并整理信息的能力，以及提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，養(yǎng)成自主探索、自我評(píng)價(jià)、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，增強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合思維模式的認(rèn)知，體會(huì)圖形對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律形成的意義。教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、歸納、類比、猜測(cè)等過(guò)程，發(fā)展合情推理能力，運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決數(shù)學(xué)問(wèn)題并進(jìn)行交流，體會(huì)圖形發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，初步感受圖形的美和推理的價(jià)值。

2.探究從2起連續(xù)n個(gè)偶數(shù)的和

師：從1起連續(xù)奇數(shù)的和的規(guī)律你能聯(lián)想到什么？

生：從2起連續(xù)偶數(shù)的和的規(guī)律。

師：你能像古希臘數(shù)學(xué)家那樣，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，擺出圖形來(lái)思考嗎？

（教師故意擺一些不規(guī)則圖形，以引起學(xué)生的探究欲望，在學(xué)生困惑之時(shí)，教師出示3個(gè)算式：2+4、2+4+6、2+4+6+8）

師：你能在圖中劃一劃，分一分，使每幅圖的圓點(diǎn)總數(shù)能用右邊的式子來(lái)表示嗎？

（學(xué)生在學(xué)習(xí)材料的左邊一列圖中獨(dú)立劃分后反饋）

師：換個(gè)觀察角度，再看這個(gè)圖形還能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

師：如果換個(gè)角度再觀察這組圖，你還能用什么式子來(lái)表示每幅圖的圓點(diǎn)總數(shù)呢？在右邊一列圖中分一分，并用算式表示。然后分小組討論你們的發(fā)現(xiàn)。

生：從2起連續(xù)n個(gè)偶數(shù)的和等于n乘比n大1的數(shù)，即n×（n+1）。

生：從2起連續(xù)n個(gè)偶數(shù)的和等于1+2+3+……n+n+……+3+2+1。

生：從2起連續(xù)n個(gè)偶數(shù)的和等于n的平方加n，即n2+n。

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過(guò)這道探索性的題目，讓學(xué)生去研究、去探討、去發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生進(jìn)行一系列探索性思維活動(dòng)，以“數(shù)”解“形”，使學(xué)生更準(zhǔn)確地把握“形”，將已有的思維方式大跨度地遷移，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在圖形中的數(shù)學(xué)規(guī)律。

三、舉一反三，拓展運(yùn)用

師：學(xué)完這節(jié)課，你對(duì)數(shù)學(xué)的美有什么認(rèn)識(shí)？

生：數(shù)學(xué)美是一種“數(shù)學(xué)規(guī)律的美”。

師：今天我們研究了什么內(nèi)容？

生：從1起連續(xù)n個(gè)奇數(shù)的和是n2。

生：從2起連續(xù)n個(gè)偶數(shù)的和是n2+n或n×（n+1）。

師：由此，我們很自然地想到了“從1起連續(xù)n個(gè)自然數(shù)的和”是否也存在某種規(guī)律？

1+2=

1+2+3=

1+2+3+4=

1+2+3+4+5=

師：古希臘數(shù)學(xué)家把這些數(shù)叫作“三角形數(shù)”。你能借助這些“三角形數(shù)”發(fā)現(xiàn)“從1起連續(xù)n個(gè)自然數(shù)的和”的規(guī)律嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】在總結(jié)階段，教師回到課始提出的問(wèn)題：什么是數(shù)學(xué)的美？首尾呼應(yīng)，突出主題。既有效激發(fā)了學(xué)生探究規(guī)律的興趣，又培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力，感受了數(shù)學(xué)規(guī)律的美妙和有趣。再次讓學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法，提出猜想，進(jìn)行驗(yàn)證，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、猜想、驗(yàn)證中體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過(guò)程，從而讓學(xué)生帶著問(wèn)題走出課堂。

（作者單位：江蘇省丹陽(yáng)市華南實(shí)驗(yàn)學(xué)校東校區(qū)）