小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的意義及原則

摘 要：小學(xué)階段是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的啟蒙階段。在這一階段有效地開展數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，有利于學(xué)生建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，獲得“有靈魂”的知識，有利于學(xué)生實現(xiàn)對知識的深層次理解，有利于培養(yǎng)學(xué)生獨立解決問題的能力。教學(xué)時教師不可人為拔高教學(xué)要求，而要遵循循序漸進(jìn)、具體分析以及感悟的原則。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法;數(shù)學(xué)思想方法教學(xué);基本原則

自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要求以來，小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)受到越來越多的關(guān)注。所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)認(rèn)識。所謂數(shù)學(xué)方法，是指人們在解決數(shù)學(xué)問題的過程中所采用的方式、途徑和手段。數(shù)學(xué)思想具有概括性和普遍性，它是數(shù)學(xué)方法的靈魂，它指導(dǎo)著方法的運用。數(shù)學(xué)方法指向?qū)嵺`，具有操作性和具體性，它是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段。前者給出解決問題的方向，后者給出解決問題的策略。為適應(yīng)小學(xué)階段的教學(xué)，通常把數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法看作一個整體，即數(shù)學(xué)思想方法。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的意義

生活中，有思想的人，總是倍受尊敬;有思想的話語，總是被人津津樂道，而有思想的知識，會讓人終身受益。數(shù)學(xué)學(xué)科，恰恰是一門“有思想”的學(xué)科。中科院院士、中國數(shù)學(xué)會理事長袁亞湘先生說：“最最美好的是數(shù)學(xué)的思想，它美得要命?！睌?shù)學(xué)家張景中先生說：“小學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)很初等，很簡單，但里面卻蘊含了一些深刻的數(shù)學(xué)思想?！毙W(xué)數(shù)學(xué)雖然淺顯，但它與“最最美好的數(shù)學(xué)思想”有著與生俱來的聯(lián)系。在小學(xué)階段恰當(dāng)有效地開展數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，有利于學(xué)生建構(gòu)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)對知識的深層次理解，培養(yǎng)學(xué)生獨立解決問題的能力。

1.有利于學(xué)生建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)——獲得“有靈魂”的知識

人民教育出版社李海東老師認(rèn)為：“數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識體系的三個層次，它們相互聯(lián)系、協(xié)同發(fā)展。數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)思想方法解決問題所依附的材料;數(shù)學(xué)方法是解決問題的途徑、手段，是數(shù)學(xué)思想發(fā)展的前提;數(shù)學(xué)思想是一類數(shù)學(xué)方法本質(zhì)特征的反映，是數(shù)學(xué)方法的靈魂。”可見，在一個良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)里，數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想三者是缺一不可的。

對于忽略思想方法的數(shù)學(xué)教學(xué)，中科院院士、復(fù)旦大學(xué)教授李大潛先生一針見血地指出：“如果將數(shù)學(xué)教學(xué)僅僅看成是知識的傳授（特別是那種照本宣科式的傳授），那么即使包羅了再多的定理和公式，可能仍免不了淪為一堆僵死的教條，難以發(fā)揮作用?！笨梢?，在良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)里，數(shù)學(xué)思想方法不但不可或缺，它還起著統(tǒng)領(lǐng)的作用，缺少數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識體系將是一堆“沒有靈魂”的死知識。對于其中數(shù)學(xué)思想教學(xué)的重要性，李大潛院士更是將之提高到開設(shè)數(shù)學(xué)課程的意義的高度，他認(rèn)為：“如果就事論事，僅僅將數(shù)學(xué)作為知識來學(xué)習(xí)，而忽略了數(shù)學(xué)思想對學(xué)生的熏陶以及學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高，就失去了數(shù)學(xué)課程最本質(zhì)的特點和要求，失去了開設(shè)數(shù)學(xué)課程的意義?！睆倪@個角度看，幫助學(xué)生建構(gòu)包括數(shù)學(xué)思想方法在內(nèi)的良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然追求。

2.有利于學(xué)生實現(xiàn)對知識的深層次理解——知其然，亦知其所以然

小學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，大致可以分為兩個層次：一是知其然，即知道概念、公式、結(jié)論或規(guī)律等是什么;二是知其所以然，即還知道概念、公式、結(jié)論或規(guī)律等生成的過程、產(chǎn)生的原因，并能對結(jié)論或規(guī)律等做出適當(dāng)?shù)慕忉?。顯然，后者在理解程度和層次上更進(jìn)一步、更加深入。

以蘇教版數(shù)學(xué)教材六年級上冊“分?jǐn)?shù)四則混合運算”單元安排的一個“動手做”的活動為例（如圖1）。該活動名為動手做，實為感知、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

學(xué)生按要求通過兩個階段的畫一畫、算一算、比一比的活動后，發(fā)現(xiàn)：動手畫出的幾個長方形的長和寬分別增加[12]，新長方形的面積都是原來長方形面積的[94]。由此，學(xué)生進(jìn)一步猜想：如果把任意長方形的長和寬分別增加[12]，那么新長方形的面積都是原來長方形面積的[94]。但是，由不完全歸納法推導(dǎo)出來的結(jié)論具有偶然性，可能是正確的，也可能是錯誤的。上述猜想到底是否正確？為什么會是這樣？顯然，不能再依靠舉例來證明，僅通過舉例也無法給出令人信服的解釋。此時，可以通過運算推理的方法來證明猜想的正確性，從而使學(xué)生獲得對這一結(jié)論的深刻理解。

分別用a、b表示原來長方形的長和寬。

a×（1+[12]）×[b×（1+[12]）]÷（a×b）

=a×b×（1+[12]）×（1+[12]）÷（a×b）

=（1+[12]）×（1+[12]）

=[94]。

在這則案例中，運算推理的方法不僅證明了“新長方形的面積都是原來長方形面積的[94]”這一猜想的正確性，而且能夠說明原來長方形的長和寬的實際數(shù)據(jù)并不影響結(jié)論的成立，從而使學(xué)生的思維擺脫了特定圖形的限制，進(jìn)入了更抽象更自由的層面，讓學(xué)生獲得了更深刻的理解。對結(jié)論不但知其然，而且知其所以然。此外，在本案例中，運算推理的方法還適用于將“[12]”改成其他分?jǐn)?shù)，或者將“增加”改為“減少”。

3.有利于培養(yǎng)學(xué)生獨立解決問題的能力——從“得魚”走向“會漁”

“授人以魚，不如授人以漁?！痹趯嶋H運用中，數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識的關(guān)系，類似于“漁”與“魚”的關(guān)系。事實證明，對數(shù)學(xué)思想方法體會越充分，領(lǐng)會越深刻，學(xué)生思維的敏捷性、靈活性、創(chuàng)造性、批判性更強，具體表現(xiàn)為：他們能更快地抓住問題的實質(zhì)，更容易找到解決問題的突破口;他們善于靈活變換思路，能從不同角度、方向、方面運用多種方法解決問題;他們善于在新舊知識或問題之間建立聯(lián)系，善于運用猜想與驗證的方法求證，善于把分析與綜合、特殊與一般、具體與抽象結(jié)合起來思考、解決問題;他們善于自我監(jiān)控，及時調(diào)整、修改思路，不容易鉆“牛角尖”。簡而言之，獨立解決問題的能力更強。因此，重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透、體會與感悟，是數(shù)學(xué)教學(xué)從“授魚”向“授漁”轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵，也是促進(jìn)學(xué)生解決問題的能力從“得魚”向“會漁”轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵。

比如，在前期課題研究中，在教學(xué)完蘇教版數(shù)學(xué)教材五年級下冊“圓”單元后，我們在課題實驗班與對照班中開展了對比測驗，其中設(shè)計了這樣一道動態(tài)數(shù)學(xué)題（如圖2）：“在一個底面是長方形的紙盒中，有一個直徑5厘米的塑料圓片在盒底任意滑動，塑料圓片不可能滑到部分的面積是多少平方厘米？”顯然，相對于日常的靜態(tài)圖形題來說，這道題具有相當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)性，十分考驗學(xué)生獨立解決問題的能力。

測驗結(jié)果顯示：課題實驗班中約75%的學(xué)生通過想象或借助實物模擬的方式能洞察問題的實質(zhì)，并成功將原題轉(zhuǎn)化成求一個正方形的四個角落的問題（如圖3）。而對照班中只有20%多一點的學(xué)生能夠化動為靜找到解決問題的突破口。由此可見，重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題的能力。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的基本原則

曹培英老師認(rèn)為：“數(shù)學(xué)基本思想承載了獨特的、鮮明的學(xué)科育人價值，可教、可學(xué)，是名副其實的學(xué)科核心素養(yǎng)?！痹谇捌谡n題研究中，我們對此深有體會。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想方法不是“只可滲透不可感悟”“只可意會不可言傳”的神秘東西。相反，它是可教、可學(xué)的，關(guān)鍵是找到體會它、感悟它的切實可行的方法，而難點在于把握好教學(xué)的度，做到不人為拔高教學(xué)要求，具體來說，要遵循以下三個基本原則。

1.準(zhǔn)確把握學(xué)段要求，循序漸進(jìn)的原則

小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要求，由易到難、從低到高大致可以分為三個層次（如圖4）：滲透、體會與感悟。具體執(zhí)行哪一級教學(xué)要求，要依據(jù)學(xué)生的年齡、可接受程度，以及數(shù)學(xué)思想方法本身的特點等做出科學(xué)的判斷。

小學(xué)階段學(xué)生年齡小，但是年齡跨度大，不同年級之間，學(xué)生的認(rèn)知水平差異很大。一年級學(xué)生與三年級學(xué)生，三年級學(xué)生與六年級學(xué)生，他們之間在感知、感悟的能力上相差懸殊。因此，必須準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的學(xué)段要求?？偟膩碚f，1～3年級以滲透為主，4～6年級可適當(dāng)加以體會和感悟。特別是在小學(xué)低年級，切不可隨意拔高教學(xué)要求，超越學(xué)生的實際認(rèn)知水平。事實上，無論是哪種數(shù)學(xué)思想方法的體會與感悟都必須以掌握一定的數(shù)學(xué)知識與技能為前提。也正因為如此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》是從第二學(xué)段起，才開始提出“體會”和“感悟”的要求。

當(dāng)然，學(xué)段要求也不是一成不變的。特別是對于一些常見的容易理解或易于感受的數(shù)學(xué)思想方法，可以從三年級起視學(xué)生的可接受程度逐步加以提高。但這個過程一定是循序漸進(jìn)的，而不能是冒進(jìn)的。

2.對象有別，具體思想具體分析的原則

所謂對象有別，是指具體到某冊教材某個單元的某個數(shù)學(xué)思想方法到底是采用“滲透”的方式，還是提出“體會”和“感悟”的要求，除了要考慮學(xué)生年齡和學(xué)段要求外，還必須考慮數(shù)學(xué)思想方法本身的特點。

從共性的角度看，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)思想方法具有以下特點：在呈現(xiàn)形式上，具有隱蔽性;在教材分布上，具有無序性。這些特點決定了數(shù)學(xué)思想方法的獲得，不可能像普通的數(shù)學(xué)知識那樣，能有序地以單元的形式整體地被感知、系統(tǒng)地被傳授，它難以通過一次或幾次教學(xué)就被深刻領(lǐng)會，達(dá)到被運用自如的程度，一般要在多次滲透的基礎(chǔ)上，經(jīng)過反復(fù)地體會和感悟才能真正獲得。

此外，不同數(shù)學(xué)思想方法還有一些特點。比如，體會和感悟的難易程度不一，出現(xiàn)的頻次各不相同，出現(xiàn)和再次出現(xiàn)的時間毫無規(guī)律可言，等等。這就要求在教學(xué)具體的某個數(shù)學(xué)思想方法時，教師必須充分考慮該數(shù)學(xué)思想方法體會和感悟的難易程度、出現(xiàn)的背景、頻次以及間隔的時間，做到“對象有別，要求有別”。一般說來，初次接觸的，以滲透、感知為主;經(jīng)常接觸的，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行體會和感悟;易于理解、感受的，以學(xué)生自主體會為主;體會難度較大的，以教師點撥介紹為主。

3.重體驗、重反復(fù)、重對比的感悟原則

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識體系中具有能動性的知識，它能給出解決問題的方向和策略。然而，要想獲得“活的”數(shù)學(xué)思想方法，感悟是正確的途徑。所謂感悟，必須有“感”有“悟”，先“感”后“悟”?！案小笔歉兄?，是經(jīng)歷，是體驗，它是“悟”的前提和基礎(chǔ);“悟”是品味，是反思，是領(lǐng)悟，是對“感”的總結(jié)、提煉與升華?！拔颉睆摹案小敝衼?，“感”有多充分、多曲折，“悟”就有多豐富、多深刻。

其中，“經(jīng)歷過程，加強體驗”是獲得數(shù)學(xué)思想方法的基本路徑。數(shù)學(xué)思想方法蘊含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，它無法脫離知識教學(xué)而獨立存在。對它的感悟必須讓學(xué)生充分參與到數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中去，在多層次的學(xué)習(xí)活動中生成點滴感受，積累經(jīng)驗體會，從而對某個數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識逐漸從模糊走向清晰，從膚淺走向深刻。“再現(xiàn)情境，反復(fù)體會”是獲得數(shù)學(xué)思想方法的必要過程。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不可能一蹴而就，它是一個漸進(jìn)的過程，必須先有“量”的積累，然后才會有“質(zhì)”的領(lǐng)會。學(xué)生必須經(jīng)歷一定次數(shù)的情境再現(xiàn)，在反復(fù)體會中才可以使淺顯的體驗深刻化，使點滴的感受系統(tǒng)化。

總而言之，小學(xué)階段是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的啟蒙階段。在這一階段，重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)對于發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值，促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)的思維方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的作用。

（作者單位：江蘇省丹陽市華南實驗學(xué)校）

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