輔助函數(shù)法和Cole-Hope變換法求STO方程的精確解

張 靜

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023)

0 引言

非線性偏微分方程廣泛應(yīng)用于應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)的各個(gè)分支，尤其在流體力學(xué)、高分子物理學(xué)、固體物理學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.Sharma-Tasso-Olver(簡稱STO)方程最初由Sharma和Tasso在研究Burgers方程族時(shí)提出[1-2]，目前已有不少學(xué)者對其進(jìn)行了深入研究.楊立娟等[3]利用推廣的Hirota雙線性方法研究了(1+1)維STO方程的新精確解，并進(jìn)一步討論其局域孤子結(jié)構(gòu).Dai等[4]使用了修正的簡單方程法對STO方程精確解以及Hirota-SatsumaKdV系統(tǒng)進(jìn)行闡述.Zhang等[5]著重分析了STO方程的對稱約化及精確解.此外，學(xué)者們通過G′/G2展開法[6]、Auto-B?cklund變換法[7]、exp-函數(shù)法[8-9]同樣獲得STO方程新的精確解.最近，楊健等[10]提出了輔助函數(shù)法，借助此方法獲得了許多非線性偏微分方程的精確解.李偉[11]借助Cole-Hope變換獲得了(2+1)維Burgers方程和Kdv方程的n-孤子解.

受以上研究啟發(fā)，本文主要研究如下Sharma-Tasso-Olver(簡稱STO)方程

(1)

其中u=u(x，t)，α為任意常數(shù).

接下來，借助輔助函數(shù)法和Cole-Hope變換法方法來構(gòu)造STO方程的精確解.

1 輔助函數(shù)法

對于方程(1)，作行波變換，

u(x，t)=u(ξ)，ξ=kx-ct

(2)

其中k、c是非零常數(shù).

將式(2)代入式(1)，有

-cu′+3αk2(u′)2+3αku2u′+3αk2uu″+αk3u?=0

(3)

假設(shè)方程(3)有如下形式的精確解

(4)

其中ai為待定系數(shù)，而冪級數(shù)的最高次冪n可通過平衡常微分方程的非線性項(xiàng)和最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)來確定.

f(ξ)滿足如下輔助常微分方程

f(ξ)′=f(ξ)2+λf(ξ)+μ

(5)

對輔助方程(5)的λ、μ分情況討論，并求解該方程可以得到f(ξ)的7組不同精確解[10-12].

由方程(3)中的u2u′和u?，得到n=1，則方程(1)的解可以表示為

u(ξ)=a0+a1f(ξ)

(6)

將式(5)和式(6)代入式(3)，合并f(ξ)的同次冪項(xiàng)系數(shù)，得到非線性代數(shù)方程組

(7)

求解式(7)得到兩組解分別如下：

情形1:

(8)

其中a0、k為任意常數(shù).

將式(8)代入式(6)中可得到STO方程的形式解

u(x，t)=a0-kf(ξ)

(9)

再將f(ξ)的7組不同精確解分別代入式(9)，可獲得方程(1)的如下7組解:

①當(dāng)λ=0，μ=0時(shí)，有

②當(dāng)λ=0，μ>0時(shí)，有

③當(dāng)λ=0，μ<0時(shí)，有

④當(dāng)λ≠0，μ=0時(shí)，有

⑤當(dāng)λ≠0，μ≠0，λ2-4μ>0時(shí)，有

⑥當(dāng)λ≠0，μ≠0，λ2-4μ<0時(shí)，有

⑦當(dāng)λ≠0，μ≠0，λ2-4μ=0時(shí)，有

情形2:

(10)

其中k為任意常數(shù).

將式(10)代入式(6)中可得到STO方程的形式解，

u(x，t)=-λk-2kf(ξ)

(11)

再將f(ξ)的7組不同精確解分別代入式(11)，同樣可獲得方程(1)的如下7組解:

①當(dāng)λ=0，μ=0時(shí)，有

其中ξ=kx，k、C為任意常數(shù).

②當(dāng)λ=0，μ>0時(shí)，有

③當(dāng)λ=0，μ<0時(shí)，有

其中ξ=kx+4αk3μt，k、C為任意常數(shù).

④當(dāng)λ≠0，μ=0時(shí)，有

其中ξ=kx-αk3λ2t，k、C為任意常數(shù).

⑤當(dāng)λ≠0，μ≠0，λ2-4μ>0時(shí)，有

⑥當(dāng)λ≠0，μ≠0，λ2-4μ<0時(shí)，有

其中ξ=kx-(αk3λ2-4αk3μ)t，k、C為任意常數(shù).

⑦當(dāng)λ≠0，μ≠0，λ2-4μ=0時(shí)，有

其中ξ=kx，k、C為任意常數(shù).

2 Cole-Hope變換法

設(shè)

u=k(lnf(x，t))x

(12)

其中k為待定常數(shù).

本文只解決k=1時(shí)的情形，后續(xù)對于k的不同取值可以進(jìn)一步研究.下面將式(12)代入方程(1)并化簡可得

(fxt+αfxxxx)f-(fxft+αfxfxxx)=0

(13)

將式(13)兩邊同時(shí)除以f2，得

(14)

對式(14)積分，并令積分常數(shù)為零，得

ft+αfxxx=0

(15)

若f為式(15)的解，則通過式(12)即得到方程(1)的解.

設(shè)f(x，t)=px3+rt為式(15)的擬解，并代入式(15)得r=-6αp，所以式(15)有如下形式的解，

f(x，t)=p(x3-6αt)

(16)

這里p為任意常數(shù).將式(16)代入式(12)，得

(17)

式(17)即為方程(1)的新的精確解.

對于式(13)，也可令

(18)

考慮其孤子解，可設(shè)

f=1+eθ，θ=p1x+r1t

(19)

將式(19)代入式(18)，得

(20)

其中p1為任意常數(shù).

將式(19)和式(20)代入式(12)，可獲得方程(1)的單孤子解為

在上面得到的兩組解中，取系數(shù)為一些確定的值，可以得到具體的結(jié)構(gòu)，利用mathematica畫圖,結(jié)果如圖1和圖2所示.

圖1 α=1時(shí)的精確解 圖2 α=1，p1=1時(shí)的單孤子解

3 結(jié)束語

本文通過行波變換、齊次平衡原理，運(yùn)用輔助函數(shù)法求出了STO方程的7組行波解,利用Cole-Hope變換法對k=1的情況進(jìn)行研究得到了方程新的精確解和單孤子解，后續(xù)對k的不同取值，有待進(jìn)一步研究.兩類方法也可用于求解其他具有類似性態(tài)的非線性偏微分方程.