馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)的定價

陸恬依

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023)

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和人們生活水平的提高，人們開始擁有越來越多的資金用于投資，由此衍生出種種不同的期權(quán)定價模型.朱盛等[1]通過對金融市場的上大量實證分析證實了股票價格會受到過去價格的影響，利用偏微分方程得到了幾何布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)價格的數(shù)值解.董盈盈等[2]在假定股票價格滿足分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程的條件下，得到了在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)的定價.張學(xué)蓮等[3]在上述模型的基礎(chǔ)上，給出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)的定價模型及公式.現(xiàn)在已經(jīng)有更多的學(xué)者參與到雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的應(yīng)用研究中來，研究了不同種類的期權(quán)定價問題[4-11].考慮到在實際金融市場上無風(fēng)險利率、股票波動率等變量是隨著時間變化的隨機(jī)變量，1973年美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家Black和Scholes通過假設(shè)股價概率服從正態(tài)分布，并假設(shè)其股價的走勢服從馬爾可夫鏈，利用隨機(jī)微分方程推導(dǎo)出期權(quán)定價模型，從而得到了微分方程的解[12].同年，Merton和Scholes在《政治經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志》上提出假定無風(fēng)險利率并非常數(shù)[13]，而是隨著時間變化的隨機(jī)變量，從而建立了期權(quán)定價模型，減少了原有B-S模型的假設(shè)條件，使其更符合實際經(jīng)濟(jì)情況.宋瑞麗[14]、王偉[15]將現(xiàn)有的(雙)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型置于馬爾可夫調(diào)制下，利用無套利定價的方法，分別計算出具有固定敲定價格的亞式看漲、看跌期權(quán)的定價公式.劉雪汝[16]研究了風(fēng)險資產(chǎn)式由兩因素馬爾可夫調(diào)制的隨機(jī)波動過程和兩因素馬爾可夫跳擴(kuò)散隨機(jī)波動過程驅(qū)動，對歐式期權(quán)和美式期權(quán)進(jìn)行了定價估計,并求出了美式看跌期權(quán)關(guān)于歐式看跌期權(quán)和早期執(zhí)行溢價的分解結(jié)果[17].目前，有關(guān)重置期權(quán)的定價方式有很多種，比如鞅方法、偏微分方程方法、蒙特卡洛方法、保險精算方法[18]等，其中保險精算方法[19]由Mogens Bladt于1998年首次提出，以范圍廣、操作便捷著稱.

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，建立馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型，運(yùn)用連續(xù)時間的馬爾可夫鏈來描述不同經(jīng)濟(jì)周期中的不同狀態(tài)，再利用保險精算方法得到符合實際金融市場的定價公式.將重置期權(quán)定價模型進(jìn)一步推廣.

1 模型假設(shè)

在金融市場中，市場的利率變化、股票平均回報率和股票的波動率隨時發(fā)生變化，因此，其時間狀態(tài)可以由連續(xù)時間的馬爾可夫鏈{Xt}描述，狀態(tài)空間可表示為X：=(X1,X2,…,XN)，那么{Xt}t∈Γ只取有限個值(e1,e2,…,eN)，其中ei=(0,…,1,…,0)∈R，其中市場利率r(t)，股票平均回報率μ(t)和股票波動率σ(t)可分別表示為

r(t)=,r=(r1,r2,…,rN)∈RN，

μ(t)=<μ,Xt>,μ=(μ1,μ2,…,μN(yùn))∈RN，

σ(t)=<σ,Xt>,σ=(σ1,σ2,…,σN)∈RN.

且〈·,·〉表示內(nèi)積，內(nèi)積的值會因馬爾可夫鏈{Xt}t∈Γ狀態(tài)變化而變化.

假設(shè)股票價格{St,t≥0}滿足方程

(1)

引理1[3]隨機(jī)微分方程(1)的解為

對于任意的隨機(jī)方程，由于r(t)=,μ(t)=<μ,Xt>,σ(t)=<σ,Xt>均為隨機(jī)變量，則可定義在時間t∈(0,T)，可得

(2)

定義2 股票價格{St,t≥0}在[t,T]上的期望回報率為β(u),u∈[t,T]定義為

引理2 股票價格{St,t≥0}在[t,T]上的期望回報率為

β(s)=μ(s),s∈[t,T].

證明由引理1可知

則

故

定義3 用保險精算方法將c(Y,T)，p(Y,T)定義為看作是看漲期權(quán)與看跌期權(quán)在t時刻的資產(chǎn)價值，其中Y為執(zhí)行價格，T為到期日，表示如下：

2 馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)的定價

定理1 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下，到期日為T，執(zhí)行價格為Y的歐式看漲期權(quán)在時刻t的保險精算定價為

其中N(·)為一元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).

證明因為

和

又因為

β(s)=μ(s),s∈[t,T].

記

經(jīng)化簡得

由于

則

故

1)當(dāng)0≤T1≤t時，即t∈[T1,T]時，C(t,T1,T)=C(t,T,Y)IST1≥Y+C(t,T,ST1)IST1≤Y；

2)當(dāng)t≤T1≤T，即t∈[0,T1]時，

證明1)當(dāng)0≤T1≤t時，即t∈[T1,T]時，由歐式期權(quán)的定價公式易得結(jié)論;2)當(dāng)t≤T1≤T，即t∈[0,T1]時，先假設(shè)

則

I1-I2+I3-I4.

先計算I1,由于

經(jīng)化簡得

則

再計算I2

然后計算I3.由于

經(jīng)化簡得

則

通過等量代換,得

代入上述積分得

最后計算I4

合并上述計算式可得定理2.

注1 1)當(dāng)K=1時，可得馬爾可夫調(diào)制的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下重置期權(quán)的定價公式；2)當(dāng)T1=T時，可得馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的保險精算定價公式.

推論1 馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下標(biāo)準(zhǔn)歐式看跌期權(quán)的保險精算定價公式：

(a)當(dāng)t∈[T1,T]時，P(t,T1,T)=P(t,T,Y)IST1≤Y+P(t,T,ST1)IST1>Y；

(b)當(dāng)t∈[0,T1]時，

3 數(shù)值算例

為便于分析引入連續(xù)時間的馬爾可夫鏈對雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下重置期權(quán)的影響，選取雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下歐式重置看漲期權(quán)為例，假設(shè)存在一只股票S1，在t=0時刻S1(0)=35，指數(shù)H=0.55，K=0.65，并假設(shè)金融市場的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)只有兩個狀態(tài)e1、e2，當(dāng)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)處于e1時，市場利率r1=0.04，股票波動率σ1=0.4；當(dāng)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)處于e2時，市場利率r2=0.03，股票波動率σ2=0.3，同時，假定馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為

假設(shè)t=0時，初始狀態(tài)為e1，執(zhí)行價格K為45到65，步長為5，借助Matlab蒙特卡洛模擬10 000次，分別得到以下雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型環(huán)境下歐式看漲重置期權(quán)價格和馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下歐式看漲重置期權(quán)價格.

注2C1表示雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下歐式重置看漲期權(quán)價格；C2表示馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下歐式看漲重置期權(quán)價格.

由表1和圖1可知雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下得到的期權(quán)價格比馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下得到的期權(quán)價格大.由此可見，如果在實際金融市場中不考慮狀態(tài)會發(fā)生變化這一現(xiàn)實情況，將會嚴(yán)重高估期權(quán)的價格.

表1 兩種不同模型下歐式看漲重置期權(quán)數(shù)值結(jié)果

圖1 兩種不同模型下歐式看漲重置期權(quán)數(shù)值結(jié)果比較

4 結(jié)論