巖石應(yīng)力波分形分析方法的研究

金解放， 鐘依祿， 余雄， 徐虹

（江西理工大學(xué)土木與測繪工程學(xué)院，江西 贛州341000）

0 引 言

巖石（體）應(yīng)力波傳播衰減規(guī)律是采礦工程和地下巖體工程等領(lǐng)域的關(guān)鍵問題，通過應(yīng)力波傳播衰減規(guī)律可反演巖石（體）物理力學(xué)性能，例如巖體動(dòng)態(tài)參數(shù)測試、巖體結(jié)構(gòu)分類、巖體松動(dòng)層厚度確定、圍巖支撐壓力及地應(yīng)力測試等。對(duì)應(yīng)力波傳播試驗(yàn)結(jié)果的充分利用是應(yīng)力波反演的前提，通過對(duì)應(yīng)力波分析技術(shù)的研究，有助于應(yīng)力波數(shù)據(jù)高效利用以反演巖石（體）特性。

關(guān)于應(yīng)力波傳播衰減特性的研究，大多都從理論推導(dǎo)和應(yīng)力波傳播試驗(yàn)著手，以不同的表征參數(shù)分析應(yīng)力波在巖石（體）中的傳播規(guī)律。FAN等使用應(yīng)力波波速對(duì)地應(yīng)力下應(yīng)力波傳播展開了研究，得出了當(dāng)?shù)貞?yīng)力足夠大時(shí)波速將接近完整巖體中的波速的結(jié)論[1]。HAN等利用透反射系數(shù)研究了填充節(jié)理厚度對(duì)應(yīng)力波傳播的影響，發(fā)現(xiàn)了隨著填充厚度的增加，應(yīng)力波的透射系數(shù)和能量均減小[2]。LI等從應(yīng)力波能量的角度分析節(jié)理的粗糙度對(duì)應(yīng)力波傳播的影響規(guī)律，指出了應(yīng)力波能量耗散會(huì)隨著節(jié)理粗糙度的增大而增大[3]。李新平等采用應(yīng)力波幅值分析了應(yīng)力波在完整巖體中的幾何衰減，明確了隨著圍壓的增加,透射系數(shù)呈現(xiàn)出先增大后減小的變化趨勢[4]。劉少虹等采用應(yīng)力波能量研究了動(dòng)靜組合下煤巖的應(yīng)力波傳播規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了能量耗散隨著靜載的增大呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢[5]。金解放等分析了應(yīng)力波透反射系數(shù)和圍壓的關(guān)系，指出了在長試件下透射系數(shù)和反射系數(shù)均與圍壓呈二次函數(shù)關(guān)系[6]。然而，上述分析方法都只從巖石應(yīng)力波波形單方面進(jìn)行了研究，對(duì)包含信息更豐富的整體波形卻很少探索。

巖石應(yīng)力波波形則是包含了應(yīng)力波傳播衰減的全部信息的具體體現(xiàn)，借助分形理論可以為研究巖石應(yīng)力波波形揭示更多信息。FENG等采用盒維數(shù)對(duì)巖爆過程中的微震能量進(jìn)行分析，得出微震事件能量分形維數(shù)越大巖爆強(qiáng)度越大的結(jié)論[7]。錢波等運(yùn)用盒維數(shù)對(duì)圍巖宏觀變形進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)了分形維數(shù)可以為圍巖變形起到預(yù)警作用[8]。趙奎等利用分形理論對(duì)聲發(fā)射波形進(jìn)行研究，提出了聲發(fā)射波形關(guān)聯(lián)維數(shù)值可以反映巖石的破壞程度[9]。蘇國韶等針對(duì)巖爆中聲音波形采用盒維數(shù)分析，指出聲音的分形維數(shù)特征可以作為巖爆發(fā)生的前兆[10]。李楠等應(yīng)用分形理論研究了煤礦微震不同階段的分形特征，論證了沖擊破壞前微震波形分形特征量作為沖擊地壓微震監(jiān)測預(yù)警的可能性[11]。MONDAL等運(yùn)用分形維數(shù)監(jiān)測礦井地層壓力可以為礦井坍落提供預(yù)警[12]。因此，借助分形維數(shù)可以為研究巖石應(yīng)力波波形提供新的途徑。

本文基于無軸向靜應(yīng)力下砂巖應(yīng)力波傳播試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)巖石應(yīng)力波分形分析方法進(jìn)行研究。根據(jù)應(yīng)力波時(shí)間序列的特點(diǎn)，分別采用了盒維數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)對(duì)其進(jìn)行分形計(jì)算，并對(duì)分形維數(shù)在巖石應(yīng)力波上的計(jì)算和意義進(jìn)行研究。試驗(yàn)結(jié)果有利于對(duì)應(yīng)力波數(shù)據(jù)的有效利用處理以及分形探討。

1 應(yīng)力波傳播試驗(yàn)及結(jié)果

1.1 試 件

巖石試件采用均質(zhì)性良好的贛州紅砂巖，其中試件單軸抗壓強(qiáng)度為52 MPa，試件尺寸為80 mm×80 mm×1 500 mm。應(yīng)變片黏貼位置如圖1所示：5個(gè)應(yīng)變片依次相隔20 cm均勻?qū)ΨQ粘貼在試件中軸線上，以減小試件出現(xiàn)偏心壓縮對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)造成干擾。根據(jù)圣維南原理，為了得到均勻應(yīng)力波，第1個(gè)應(yīng)變片與入射端的距離應(yīng)遠(yuǎn)大于橫截面尺寸，因此本文定為15 cm；為了最后一個(gè)應(yīng)變片能夠測得一個(gè)完整的應(yīng)力波信號(hào)（即不受反射波信號(hào)的疊加），最后一個(gè)應(yīng)變片與試件透射端應(yīng)有足夠的距離，根據(jù)試驗(yàn)驗(yàn)證可知，當(dāng)應(yīng)變片距離透射端55 cm能滿足上述要求。

為研究巖石應(yīng)力波波形分形特性，宜采用無軸向靜應(yīng)力的工況以減少其他變量影響。因此，基于SHPB試驗(yàn)系統(tǒng)，使用圖1中的巖石長試件代替緩沖桿，進(jìn)行無軸壓下的應(yīng)力波傳播試驗(yàn)，試驗(yàn)裝置詳情見參考文獻(xiàn)[13]。

圖1 試件尺寸及應(yīng)變片位置示意Fig.1 Schematic diagram of specimen size and strain gauge position

1.2 試驗(yàn)結(jié)果

通過應(yīng)力波傳播試驗(yàn)，可以得到無軸向靜應(yīng)力下的5組巖石應(yīng)力波數(shù)據(jù)，如圖2所示。從圖2中可以看出，在不同的傳播距離下，應(yīng)力波的形狀不發(fā)生明顯變化，均為半正弦波形。而每個(gè)應(yīng)力波均沒有明顯周期性、多層次性以及自相似特性，且不具備整體形狀和局部特征形狀相似的特點(diǎn)。

圖2 巖石應(yīng)力波試驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.2 Experiment data of rock stress wave

在使用分形維數(shù)分析巖石應(yīng)力波分形特性時(shí)，應(yīng)力波時(shí)間序列長度會(huì)對(duì)分形維數(shù)值產(chǎn)生影響。為減小序列長度對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，應(yīng)力波波長做統(tǒng)一處理，采用應(yīng)力波最小持續(xù)時(shí)間452μs，后文有關(guān)應(yīng)力波試驗(yàn)分析均采用等長的5組試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

2 巖石應(yīng)力波盒維數(shù)

分形維數(shù)在刻畫對(duì)象的分形特征時(shí)，常常需要根據(jù)對(duì)象結(jié)構(gòu)的自相似程度以及特點(diǎn)選取相應(yīng)的維數(shù)進(jìn)行計(jì)算，其中分形盒維數(shù)定義簡單，計(jì)算方便，在計(jì)算一般統(tǒng)計(jì)自相似對(duì)象中具有較好的優(yōu)勢，被廣泛應(yīng)用于規(guī)則分形中。而巖石應(yīng)力波波形為半正弦波性，忽略波形震蕩具有的對(duì)稱性，符合一般統(tǒng)計(jì)自相似特點(diǎn)。因此，采用盒維數(shù)對(duì)巖石應(yīng)力波波形進(jìn)行分形特性研究。

2.1 巖石應(yīng)力波盒維數(shù)的定義

分形盒維數(shù)是應(yīng)用覆蓋法，以不同尺度的個(gè)體填充對(duì)象整體，從而計(jì)算對(duì)象結(jié)構(gòu)精細(xì)程度隨尺度變化的計(jì)算方法。設(shè)巖石應(yīng)力波時(shí)間序列X是n維歐幾里得空間R的任意非空有界子集，對(duì)于任意一個(gè)尺度r>0，都可以將空間R劃分成邊長為r的正方形網(wǎng)格，若Nr表示用來表示覆蓋集合X所需邊長為r的n維體的最小數(shù)目，則盒維數(shù)可以定義為下式[14]。

在計(jì)算過程中，需要使用不同尺度r的n維體去覆蓋集合時(shí)間序列X，并計(jì)算所需要的最少數(shù)量Nr。然后在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上，描繪出系列點(diǎn){lnr,ln Nr}，并在線性較好的區(qū)間內(nèi)，用最小二乘線性回歸法求出不同尺度r下的系列點(diǎn)的斜率，即所求的盒維數(shù)。

考慮到實(shí)際計(jì)算中，由于數(shù)據(jù)精度和計(jì)算軟件的有限性，往往不能使尺度r無限趨于零，從而得到相應(yīng)的盒維數(shù)。針對(duì)這類問題，本文盒維數(shù)中采用的最小尺度r為應(yīng)力波最小非零幅值差，最大尺度為試驗(yàn)波長進(jìn)行計(jì)算?？紤]到計(jì)算數(shù)據(jù)的有限性，且不同數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合斜率偏差小于10%，故無標(biāo)度區(qū)間采用全部尺度r。各測點(diǎn)下的應(yīng)力波的雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)均相似，這里僅給出A測點(diǎn)的雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)，如圖3所示。

圖3 雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)（A測點(diǎn)）Fig.3 Logarithmic coordinates(measurement point A)

2.2 巖石應(yīng)力波盒維數(shù)的意義

按照上文應(yīng)力波盒維數(shù)的定義，可以計(jì)算出不同傳播距離下的應(yīng)力波盒維數(shù)，如表1所列，其中各擬合系數(shù)均大于0.97。從表1可以看出，不同測點(diǎn)下的應(yīng)力波均可以通過定義計(jì)算出相應(yīng)的盒維數(shù)，且應(yīng)力波盒維數(shù)均不同，但都集中在1.17左右。同時(shí)表1中還給出了直線和Logistic吸引子時(shí)間序列的盒維數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)，直線盒維數(shù)接近1，吸引子的盒維數(shù)為最大，應(yīng)力波盒維數(shù)大于直線且小于吸引子，并且所有時(shí)間序列的盒維數(shù)均介于1和2之間。

表1 不同時(shí)間序列的盒維數(shù)Table 1 Box dimensions of different time series

由拓?fù)渚S數(shù)的理論有：直線的拓?fù)渚S數(shù)為1，平面的拓?fù)渚S數(shù)為2，而不同密度直線組成的平面具有介于1和2之間的分?jǐn)?shù)維數(shù)[15]。試驗(yàn)中直線計(jì)算的盒維數(shù)為1.082，誤差為8%，主要原因是試驗(yàn)數(shù)據(jù)長度與計(jì)算軟件二進(jìn)制性質(zhì)不匹配導(dǎo)致的，并且誤差大小在接受的范圍內(nèi)。而巖石應(yīng)力波作為介于一維直線和二維平面的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，不同于直線，又不屬于平面，歸屬于不同直線的離散點(diǎn)組成平面點(diǎn)集，應(yīng)具有介于1和2的分形維數(shù)，與試驗(yàn)結(jié)果吻合。吸引子具有明顯的多層次結(jié)構(gòu)以及復(fù)雜的時(shí)間序列，應(yīng)具有比應(yīng)力波更大的分形維數(shù)[16]，與計(jì)算所得相符。

盒維數(shù)作為分形理論中刻畫對(duì)象整體與局部的相似性參數(shù)，主要與應(yīng)力波曲線的波動(dòng)程度有關(guān)，曲線波動(dòng)越大，盒維數(shù)越大[17]。由表1可以看出，巖石應(yīng)力波波形的盒維數(shù)大于直線小于吸引子，而巖石應(yīng)力波波形復(fù)雜程度大于直線又小于吸引子，因此，巖石應(yīng)力波盒維數(shù)可以反映出曲線的復(fù)雜程度。另外隨著傳播距離的增加，巖石應(yīng)力波波形的盒維數(shù)也有不同，這表明巖石應(yīng)力波的盒維數(shù)可以反映巖石應(yīng)力波波形的差異。

3 巖石應(yīng)力波關(guān)聯(lián)維數(shù)

關(guān)聯(lián)維數(shù)作為分形理論中的重要概念，主要利用關(guān)聯(lián)積分來計(jì)算變量前后的關(guān)聯(lián)性，以此來描述序列的確定性規(guī)律及其程度，從而定量說明事物的復(fù)雜度和不規(guī)整度。Grassberger和Procaccia提出的G-P算法是目前定義和計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)的經(jīng)典方法，主要部分包括重構(gòu)相空間和定義關(guān)聯(lián)維數(shù)，可以分別從自相似性和標(biāo)度不變性對(duì)巖石應(yīng)力波波形進(jìn)行分形研究。因此，分別從重構(gòu)相空間和關(guān)聯(lián)維數(shù)對(duì)巖石應(yīng)力波分形分析方法進(jìn)行研究。

3.1 重構(gòu)相空間

重構(gòu)相空間的基本思想是，系統(tǒng)任一分量的演化都由其自身與其它分量作用后共同決定的，并且其演化信息隱藏在全體分量中。因此，可以通過對(duì)序列進(jìn)行重構(gòu)相空間，并計(jì)算相空間中點(diǎn)集的相關(guān)程度，從而為研究序列分形特性提供理論依據(jù)。

將巖石應(yīng)力波時(shí)間序列作為隨時(shí)間變化的序列X={x1，x2，x3，…，xn}，采用時(shí)間差法重構(gòu)相空間[18]。即從序列中的第1個(gè)量起按一定的延遲時(shí)間τ，從序列中取序列值作為矢量的分量Xi=[xi,xi+τ,xi+2τ,…,xi+（m-1）τ]，以此來構(gòu)造一批相空間維數(shù)為m，矢量個(gè)數(shù)為N=n-（m-1）τ的矢量X=[X1,X2,X3,…,XN]T，用作擴(kuò)展到高維空間恢復(fù)系統(tǒng)原有的特性，如式（2）。

考慮到不同測點(diǎn)下的巖石應(yīng)力波波形相似，且波長一致，相空間展開形狀均相似，這里僅將A測點(diǎn)下應(yīng)力波進(jìn)行重構(gòu)相空間演示，并繪制不同相空間的應(yīng)力波矢量分量如圖4所示。從圖4中可以看出，不同相空間維數(shù)下，應(yīng)力波相空間呈現(xiàn)出不同的形狀。當(dāng)維數(shù)較小時(shí)，應(yīng)力波相空間為雜亂無章且線條交錯(cuò)的形狀；當(dāng)維數(shù)等于6時(shí)，應(yīng)力波相空間仍然為混亂形狀，但開始呈現(xiàn)出收斂的趨勢了；當(dāng)維數(shù)等于10和12時(shí)，應(yīng)力波相空間為明顯地先減小后增大的形狀了，并且最終均趨于一定的值。不同測點(diǎn)下的應(yīng)力波重構(gòu)相空間均相似，都是隨著相空間維數(shù)的增大，均將最終趨于一定的值內(nèi)。

圖4 不同相空間下A測點(diǎn)下應(yīng)力波相空間Fig.4 Phase space diagram of stress waves at measuring point A

相空間代表著系統(tǒng)可能具有原有狀態(tài)的集合，在計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)時(shí)應(yīng)盡可能包含多的可能性。將應(yīng)力波時(shí)間序列進(jìn)行重構(gòu)相空間，其中的延遲采用自相關(guān)函數(shù)計(jì)算取得，由N=n-（mmax-1）τ>0可得mmax<（n/τ）+1，可以確定相空間維數(shù)最大取值范圍為2至12，后文關(guān)聯(lián)維數(shù)的定義和計(jì)算均在此相空間內(nèi)。

3.2 巖石應(yīng)力波關(guān)聯(lián)維數(shù)的定義及參數(shù)取值

在m維重構(gòu)相空間中隨意選取一點(diǎn)Xi做參考點(diǎn)，計(jì)算剩余N-1個(gè)點(diǎn)集到參考點(diǎn)的距離。統(tǒng)計(jì)剩余點(diǎn)中距離小于小標(biāo)量r的個(gè)數(shù)，可以得到相應(yīng)的關(guān)聯(lián)積分，即式（3），從而可以得到該尺度r下的系列點(diǎn){lnCm（r）,lnr}。若這些點(diǎn)排列為直線，則說明巖石應(yīng)力波信號(hào)在給定的尺度r范圍內(nèi)具有分形特征。對(duì)這些點(diǎn)使用最小二乘法進(jìn)行擬合，所得直線斜率就是巖石應(yīng)力波波形的關(guān)聯(lián)維數(shù)[19]。

式（3）中：H為Heaviside躍遷函數(shù)；‖X（i）-X（j）‖為兩相點(diǎn)之間的距離，本節(jié)采用一范數(shù)進(jìn)行計(jì)算[20]；標(biāo)量r根據(jù)應(yīng)力波數(shù)據(jù)實(shí)際尺度取得。

在使用G-P算法計(jì)算應(yīng)力波的關(guān)聯(lián)維數(shù)時(shí)，參數(shù)的選取具有較大的主觀性，而不同的參數(shù)選取都將影響結(jié)果的正確性[21]。為了能夠得到一個(gè)可靠的關(guān)聯(lián)維數(shù)值，需要對(duì)其中的參數(shù)的選取進(jìn)行確認(rèn)。但由于應(yīng)力波數(shù)據(jù)復(fù)雜，計(jì)算參數(shù)較多，并且相互影響，取值確認(rèn)繁瑣。限于篇幅，本文并未給出論證過程，僅給出參數(shù)計(jì)算時(shí)使用的方法及其取值。

研究表明序列長度對(duì)關(guān)聯(lián)維數(shù)有較大的影響，主要體現(xiàn)在數(shù)據(jù)序列長度的取值與關(guān)聯(lián)維數(shù)呈指數(shù)關(guān)系，并可以影響關(guān)聯(lián)維數(shù)的精度[21]。而應(yīng)力波序列長度不同，即單個(gè)應(yīng)力波持續(xù)時(shí)間波會(huì)因傳播距離的不同而有所變化，但由于這種波長的變化是因?yàn)閭鞑ゾ嚯x產(chǎn)生的，屬于巖石應(yīng)力波波形范疇內(nèi)。為避免數(shù)據(jù)長度對(duì)關(guān)聯(lián)維數(shù)的影響，將采用等長的應(yīng)力波時(shí)間序列進(jìn)行計(jì)算分析，應(yīng)力波傳播試驗(yàn)采樣時(shí)間為1 ms，序列長度取巖石應(yīng)力波最小持續(xù)時(shí)間n=452μs。

關(guān)聯(lián)維數(shù)是標(biāo)量r的函數(shù)，也是巖石應(yīng)力波波形序列具有分形現(xiàn)象的尺度，一般標(biāo)量的取值根據(jù)實(shí)際試驗(yàn)數(shù)據(jù)尺度得到。由式（3）可以看出，標(biāo)量的取值包括標(biāo)量的大小范圍和序列關(guān)系，而后者根據(jù)情況可以分為取值序列的長度和序列間的數(shù)據(jù)關(guān)系。根據(jù)文獻(xiàn)[22]表明，標(biāo)量的上限為使關(guān)聯(lián)維數(shù)的對(duì)數(shù)lnC（r）接近為0的取值，下限為使關(guān)聯(lián)維數(shù)接近相空間維數(shù)時(shí)的取值，具體范圍需經(jīng)過多次試驗(yàn)取值后，迭代計(jì)算最終確定取值范圍。本節(jié)計(jì)算過程中標(biāo)量采用的取值范圍介于e-1~e0之間，序列的長度為21，按等距離間隔0.05取值。

延遲時(shí)間和相空間維數(shù)均是重構(gòu)相空間中的關(guān)鍵參數(shù)[23]，旨在將序列中隱藏信息通過恢復(fù)到原始狀態(tài)展現(xiàn)出來。現(xiàn)有理論在處理相空間重構(gòu)方面有著截然不同的觀點(diǎn)，一種是認(rèn)為延遲時(shí)間和相空間維數(shù)互不相關(guān)，可以分別計(jì)算得到；另外一種認(rèn)為2個(gè)參數(shù)相互依賴，可同時(shí)計(jì)算出2個(gè)的取值。本節(jié)依據(jù)重構(gòu)相空間理論，分別獨(dú)立計(jì)算2個(gè)參數(shù)。其中延遲時(shí)間由巖石應(yīng)力波采用自相關(guān)函數(shù)法求的[24]，對(duì)于應(yīng)力波的自相關(guān)函數(shù)如式（4）。

式（4）中：當(dāng)C（τ）的值下降到1-(1/e)所用的間隔就是延遲時(shí)間。考慮到不同測點(diǎn)下巖石應(yīng)力波波形的差異性較大，在計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)時(shí)，采用由各自計(jì)算所得的延遲時(shí)間，不做統(tǒng)一處理。隨著傳播距離的增大，各測點(diǎn)下應(yīng)力波的延遲時(shí)間分別取39,36,33,32,34。

無標(biāo)度區(qū)間取值會(huì)對(duì)關(guān)聯(lián)維數(shù)產(chǎn)生影響[25]，在計(jì)算不同測點(diǎn)下的關(guān)聯(lián)維數(shù)時(shí)，應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)取得。本節(jié)采用飽和試算法取得，以A測點(diǎn)下的應(yīng)力波為例說明，標(biāo)量首先取值-5至0，按等距離間隔0.1取值，序列的長度為51，延遲時(shí)間取39，相空間維數(shù)取最大范圍2至12，計(jì)算參數(shù)取值確定過程如圖5所示。從圖5（a）中可以看出，當(dāng)相空間維數(shù)較小時(shí)，系列點(diǎn){lnCm（r）,lnr}在標(biāo)量較小區(qū)間排列為平穩(wěn)增大，在標(biāo)量區(qū)間較大的區(qū)間為快速增大；當(dāng)相空間維數(shù)較大時(shí)，系列點(diǎn)呈現(xiàn)為橫直線，并且在標(biāo)量區(qū)間e-1~e0內(nèi)，系列點(diǎn)排列呈斜直線。故可以將標(biāo)量區(qū)間重新取值，重新往復(fù)計(jì)算，直至標(biāo)量區(qū)間內(nèi)的系列點(diǎn)呈現(xiàn)為斜直線。

圖5 關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算示意Fig.5 Calculation schematic diagram of correlation dimension

當(dāng)標(biāo)量區(qū)間取值合適時(shí)，系列點(diǎn)排列呈現(xiàn)為斜直線，如圖5（b）所示。從圖5中可以看出，在限定的標(biāo)量區(qū)間內(nèi)，不同相空間維數(shù)所計(jì)算出來的系列點(diǎn)排列近似為斜直線，并且系列點(diǎn)呈現(xiàn)的傾斜程度與相空間維數(shù)有關(guān)。在限定的標(biāo)量區(qū)間內(nèi)，取系列點(diǎn)集中線性區(qū)間較好的部分可以求得關(guān)聯(lián)維數(shù)。該線性區(qū)間就是分形無標(biāo)度區(qū)間，也是序列分形存在的尺度范圍，這里采用斜率偏差正負(fù)10%以內(nèi)作為無標(biāo)度區(qū)間。

3.3 巖石應(yīng)力波關(guān)聯(lián)維數(shù)的意義

在系列點(diǎn)中選取線性程度較好的區(qū)間，采用最小二乘法求得關(guān)聯(lián)維數(shù)與相空間維數(shù)的關(guān)系，如圖5（c）所示。由圖5可以看出，隨著相空間的增大，系列點(diǎn)排列斜率先增加；當(dāng)相空間維度m=7時(shí)，斜率達(dá)到最大值，而后趨于在一定范圍內(nèi)震蕩，直至迅速下降至0。故本次研究的相空間維數(shù)取值為7，斜率最大值就是本文應(yīng)求的關(guān)聯(lián)維數(shù)值。按照上述計(jì)算方法以及參數(shù)設(shè)置，將應(yīng)力波關(guān)聯(lián)維數(shù)示意圖描述如圖5（d）所示。從圖5可以看出，不同測點(diǎn)下的巖石應(yīng)力波波形計(jì)算出來的系列點(diǎn)斜率與相空間具有相同的變化趨勢，均是隨著相空間維數(shù)的增大，出現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢，各曲線的峰值介于1.42和1.48之間，拐點(diǎn)位于7和9之間。

不同測點(diǎn)下的巖石應(yīng)力波波形均能通過G-P算法計(jì)算出相應(yīng)的關(guān)聯(lián)維數(shù)，并且擬合系數(shù)均大于0.96，這表明不同測點(diǎn)下的應(yīng)力波在相應(yīng)的標(biāo)量區(qū)間內(nèi)具有相似的結(jié)構(gòu)?？紤]到計(jì)算過程中標(biāo)量區(qū)間的取值為e-1~e0，上述應(yīng)力波相似結(jié)構(gòu)均建立在應(yīng)力波最小尺度范圍內(nèi)，在更大的尺度內(nèi)并沒有體現(xiàn)出相似特性。因此，應(yīng)力波的關(guān)聯(lián)維數(shù)值不能反映巖石應(yīng)力波波形上的相似性。

4 結(jié) 論

基于巖石應(yīng)力波傳播試驗(yàn)數(shù)據(jù)，研究了巖石應(yīng)力波波形的盒維數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)的計(jì)算方法和意義，可以得到以下主要結(jié)論。

1）基于分形盒維數(shù)理論，可以計(jì)算出巖石應(yīng)力波的盒維數(shù)，其中不同測點(diǎn)下的巖石應(yīng)力波的盒維數(shù)為1.14~1.18。分形盒維數(shù)能夠反映波形的復(fù)雜程度，維數(shù)越大，波形復(fù)雜程度越大。

2）依據(jù)G-P算法，可以計(jì)算出巖石應(yīng)力波關(guān)聯(lián)維數(shù)，其中不同測點(diǎn)下巖石應(yīng)力波波形的關(guān)聯(lián)維數(shù)為1.42~1.48。應(yīng)力波關(guān)聯(lián)維數(shù)僅夠反映應(yīng)力波波形在最小尺度的相似性，不能反映出波形上的相似。關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算中相空間維數(shù)為7~9；相空間維數(shù)取值范圍為2至12；標(biāo)量取值范圍介于e-1~e0之間，序列的長度為21，按等距離間隔0.05取值；延遲時(shí)間采用自相關(guān)法求得。

3）應(yīng)力波波形是初始波形與巖石作用后共同形成的，在使用應(yīng)力波波形的分形維數(shù)辨析巖石破碎情況時(shí)前，需剔除前者的因素。