微分中值定理的研究

白瑞霞

摘要：本文主要研究微分中值定理中的幾個重要定理：Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理和推廣Taylor公式，并描述了幾個中值定理在求近似值求極限、證恒等式及等式以及討論極限的斂散性等多方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：微分中值定理;聯(lián)系;推廣;應(yīng)用

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ?文章編號：1003-2177（2021）04-0084-02

0 引言

中值定理在數(shù)學(xué)分析起著重要的作用，而導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上只反映函數(shù)在一點(diǎn)的局部特征，如果我們希望了解一個函數(shù)的整體特性，我們就必須在局部與整體之間建立某種聯(lián)系，而建立此聯(lián)系的橋梁正是作為核心的中值定理，同時也是探究函數(shù)在某個區(qū)間性質(zhì)的強(qiáng)有力的工具。微分中值定理不僅在理論上很重要，而且在我們?nèi)粘Ｉ钪械膽?yīng)用也很廣泛。在這篇短文中，我們試圖對中值定理的應(yīng)用做一個較為系統(tǒng)的闡述和總結(jié)，希望能夠拋磚引玉，對中值定理的研究和教學(xué)起到一定的參考作用。

1 微分中值定理

1.1微分中值定理的簡述

我們知道，羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理。它們之間有著密切的聯(lián)系，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，它們之間的具體關(guān)系我們可以用下面的例題來將它們聯(lián)系起來。

例1.1.1設(shè)f（x），g（x），（x）在[a，b]內(nèi)可導(dǎo)，試證：存在ζ∈（a，b）使得

證：記，則F（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)（a）=F（b）=0.應(yīng)用羅爾定理[1]可知，使得，據(jù)行列式性質(zhì)

.

特別地：（1）若令，就可得羅爾定理的結(jié)論：.

（2）若令可以得到拉格朗日中值定理：.

（3）若令則有

，從而可得

柯西中值定理：.

通過上面的例題，我們很好地利用了輔助函數(shù)的構(gòu)造法，引出了三個中值定理之間的關(guān)系：Rolle定理是微分中值定理的基礎(chǔ)，而Lagrange定理是微分中值定理的核心，若Lagrange定理添加條件， 則變成Rolle定理。反之，如果Rolle定理中放棄條件，則推廣為Lagrange中值定理;同樣，若令則Cauchy中值定理就變成Lagrange定理。從而Cauchy中值定理可視為Lagrange定理在表達(dá)形式上的推廣。

1.2微分中值定理的推廣

前面我們已經(jīng)討論了中值定理之間的關(guān)系，接下來我們來看它們的推廣。從前面的內(nèi)容我們知道，這三個定理都要求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。那么如果我們把定理中的閉區(qū)間推廣到無限區(qū)間，再把開區(qū)間推廣到無限區(qū)間的話，則這些定理是否還能滿足條件，或者我們能得出哪些相應(yīng)的定理或結(jié)論呢？

通過討論研究我們知道，按照以上的想法把中值定理的區(qū)間推廣到無限區(qū)間上可以得到幾個相應(yīng)的定理，本文在此只提到其中的一個，下面給出定理。

1.2.1泰勒（Taylor）定理

若函數(shù)f在[a，b]上存在n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在 （a，b）上存在（n+1）階導(dǎo)函數(shù)，則對任意給定的x，? x0∈[a，b]，至少存在一個點(diǎn)ζ∈（a，b），使得

（1）

1.2.2帶佩亞諾（Peano）型余項(xiàng)的泰勒公式

余項(xiàng)寫為，則稱為佩亞諾型余項(xiàng)，當(dāng)x0=0時，（2）式變成

稱此式為（帶佩亞諾（Peano）余項(xiàng)的）麥克勞林公式[1]。

1.2.3帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式

若函數(shù)f（x）滿足條件：（1）在[a，b]上f（x）存在直到n階連續(xù)導(dǎo)數(shù);（2）在（a，b）內(nèi)存在f（x）的n+1階導(dǎo)數(shù);則對，至少存在一點(diǎn)ζ∈（a，b）使余項(xiàng)寫為則稱為拉格朗日余項(xiàng)，，其中ζ在x 與x0之間，當(dāng)x0=0時，（3）變成

則此式為（帶有Lagrange余項(xiàng)的）麥克勞林公式。

2 微分中值定理的應(yīng)用

2.1討論存在性

例2.1.2：設(shè)f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（1）=0，求證：存在ζ∈（a，b），使

證：結(jié)論可變形為，設(shè)，則F（x），f（x）在[0，1]上滿足Cauchy定理?xiàng)l件，因此在（0，1）上至少存在一點(diǎn)ζ，使即[2].

2.2 利用Lagrange中值定理證不等式[3]

例2.4.1利用微分中值定理證明：

（x>0）.

證：設(shè)，因?yàn)閒（x）在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且由拉格朗日中值定理，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ζ，使得 ，（ζ∈（a，b））即， 因?yàn)?<ζ

（x>0）

2.3證明恒等式及等式

例2.5.1證明（x≥1） 恒等.

證：令（x≥1），在x≥1時有意義，

所以在x>1時， （常數(shù)），又?。?，+∞）內(nèi)任一點(diǎn)，如，有，且所以端點(diǎn)值也成立，從而恒等。

2.4求近似值

幾個微分中值定理給出了計(jì)算近似值減少誤差的方法[4]，若能構(gòu)造出合適的輔助函數(shù)，利用具體的中值定理就能得出近似值。

例2.6.1 求的近似值。

解：是函數(shù)在處的值，令x0=1，x=x0+?x即?x=-0.07，由微分中值定理得：

當(dāng)要求的算式不能得出它的準(zhǔn)確值時，即只能求出其近似值，這時微分中值定理是解決這種問題的最好方法。

3 微分中值定理的應(yīng)用總結(jié)

上述我們已經(jīng)詳細(xì)的給出了微分中值定理的一部分應(yīng)用，另外微分中值定理還有求行列式的值、求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值、求初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式、判斷函數(shù)的極值等的應(yīng)用，我們就不在這里一一舉例。

參考文獻(xiàn)

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版上冊）[M].北京：高等教育出版社，2010：7.

[2]周民強(qiáng).微積分專題論叢[M]北京：科學(xué)出版社，2013.

[3]王寶艷.微分中值定理的應(yīng)用[J].雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)， 2005，21（2）：59.

[4]陳天權(quán).數(shù)學(xué)分析講義（第一冊）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2009：8.

（責(zé)編：楊梅）