與切線有關(guān)的計(jì)算與證明探析

雷英托

[摘 要]近幾年，全國各省市中考題中，與切線有關(guān)的計(jì)算與證明多有呈現(xiàn).文章結(jié)合典型例題，從四個方面對與切線有關(guān)的計(jì)算與證明問題進(jìn)行探析，以夯實(shí)學(xué)生的基本知識與技能，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念和邏輯推理能力.

[關(guān)鍵詞]切線;證明;計(jì)算

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）14-0034-02

新課標(biāo)要求學(xué)生探索并掌握相交線、平行線、三角形、四邊形和圓的基本性質(zhì)與判定，掌握基本的證明方法和基本的作圖技能.在研究圖形性質(zhì)和運(yùn)動、確定物體位置等過程中，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念;體會通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力.“圓的切線”是“圓”這一部分知識的重要內(nèi)容，其綜合了以前學(xué)過的眾多幾何知識，在計(jì)算與證明的過程中可進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念與邏輯推理能力.與切線有關(guān)的計(jì)算與證明主要包括求線段的長、求角度、求三角函數(shù)值、判定四邊形形狀等.下面對相關(guān)類型進(jìn)行探析.

一、求線段的長

求線段的長，一般有以下三條途徑：一是通過勾股定理求直角三角形的邊長;二是通過三角形相似，利用對應(yīng)邊成比例求邊長;三是利用特殊角的三角函數(shù)值求直角三角形的邊長.而直角三角形可通過已知、直徑或切線得到.

評注：圖形中存在直角三角形，利用勾股定理求線段的長，圖形中還有兩組平行線，可兩次使用平行線分線段成比例定理求線段的長，這些都是求線段長的方法與手段.

二、求角度

求角的大小，可以考慮以下思路：一是通過三角形全等、等弧或同弧得到等角;二是通過三角形內(nèi)角和等于180°;三是通過三角函數(shù)求得特殊三角形的內(nèi)角度數(shù)，而圓的切線為我們提供了直角.

評注：本題求第一個角度時，主要利用了“直徑所對的圓周角是直角”，求第二個角度時，主要利用了圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，它們都是圓中常見的垂直關(guān)系.

三、求銳角三角函數(shù)值

銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的，所以求銳角三角函數(shù)值時，可以通過作垂線構(gòu)造直角三角形，也可以通過等角將所求的角轉(zhuǎn)化到直角三角形中，然后利用邊與邊的比得到銳角三角函數(shù)值，而圓的切線恰給我們提供了直角.

評注：通過平行線將直角轉(zhuǎn)移，從而證得圓切線，是證明圓切線常用的方法;本題在求線段PE長時，兩次運(yùn)用三角形相似，利用中間量將CP的長進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這是此題較難的地方.

四、判定四邊形的形狀

在圓中判定四邊形的形狀，常表現(xiàn)為條件開放型試題，分析時應(yīng)假定它是某一特殊四邊形，推出應(yīng)具備的條件，綜合時再從這個條件出發(fā)寫出推理過程.

評注：OD所在的直線既是圓O的對稱軸，也是半圓[ACB]的對稱軸，本題在判定兩個四邊形的形狀時，多次使用了這種對稱性，使證明過程簡化了許多;另一方面遇到圓切線，需要將圓心與切點(diǎn)連接.

總之，與切線有關(guān)的計(jì)算與證明問題，一方面考查學(xué)生基本的知識與技能，另一方面也考查了學(xué)生的抽象能力與推理能力等，近幾年，各省市中考題中都有所呈現(xiàn)，應(yīng)引起關(guān)注.

（責(zé)任編輯 陳 昕）