“可視化”教學(xué)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維看得見(jiàn)

劉樹(shù)娜

摘要：理性思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的靈魂，發(fā)展學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)，因此通過(guò)可視化把原本不可見(jiàn)的思維結(jié)構(gòu)及規(guī)律、思考路徑及方法呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維看得見(jiàn)。本文從三個(gè)角度談?wù)勅绾卧谡n堂教學(xué)中，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可視化：可視化問(wèn)題，促進(jìn)思維參與;可視化操作，展現(xiàn)思維過(guò)程;可視化解題，還原思維路徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維;可視化;數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2021）07-033

所謂思維可視化是指以圖示或圖示組合的方式，把原本不可見(jiàn)的思維結(jié)構(gòu)及規(guī)律、思考路徑及方法呈現(xiàn)出來(lái)，使其清晰可見(jiàn)的過(guò)程[1]。目前，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在思維缺失化、淺顯化、低效化的問(wèn)題，不少教師把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維簡(jiǎn)單地等同于課堂提問(wèn)、歸納總結(jié)、題目練習(xí)。針對(duì)上述問(wèn)題，筆者認(rèn)為通過(guò)精心提問(wèn)和運(yùn)用信息技術(shù)等途徑實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維“可視化”。

一、“可視化”問(wèn)題，促進(jìn)思維參與

案例1 新人教A版第一冊(cè)《誘導(dǎo)公式》公式二的探究

師：前面我們利用單位圓的幾何性質(zhì)研究了同角三角函數(shù)之間的關(guān)系。我們知道，圓最重要的性質(zhì)是對(duì)稱性，而對(duì)稱性也是函數(shù)的重要性質(zhì)。那么，我們能否利用圓的對(duì)稱性來(lái)研究三角函數(shù)的對(duì)稱性呢？

如圖，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1。

問(wèn)題1：在單位圓上，點(diǎn)P1有哪些特殊的對(duì)稱點(diǎn)？

生1：關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)、關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)

師：我們以單位圓上的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱為例研究三角函數(shù)的對(duì)稱性。

問(wèn)題2：角α的終邊OP1與角β的終邊OP2的對(duì)稱關(guān)系？

生2：兩個(gè)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

問(wèn)題3：以O(shè)P2為終邊的角β與角α有什么關(guān)系？

生3：β=π+α

師：以O(shè)P2為終邊的角只有一個(gè)角π+α嗎？

生3：不是，有無(wú)數(shù)個(gè)

師：好，這無(wú)數(shù)個(gè)角的終邊都與角π+α的終邊相同，那么怎么用數(shù)學(xué)符號(hào)表示呢？

生3：β=2kπ+（π+α）（k∈Z）

問(wèn)題4：角β，α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？

生4：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，只需要探究角π+α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系就可以

師：很好！那怎么探究這兩個(gè)角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系呢？

生5：三角函數(shù)值由它的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)唯一確定，只需要探究交點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系。

問(wèn)題5：點(diǎn)P1（x1，y1）與點(diǎn)P2（x2，y2）坐標(biāo)之間的關(guān)系？

生6：兩個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)、縱坐標(biāo)也互為相反數(shù)

師：如何用數(shù)學(xué)符號(hào)表示？

生6：x2=-x1，y2=-y1

問(wèn)題6：那終邊關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的角的三角函數(shù)值的關(guān)系如何？

問(wèn)題7：在公式二的探究過(guò)程中，任意角α的終邊落在了第一象限，如果角α的終邊落在其他象限或坐標(biāo)軸上，我們得到的三角函數(shù)值之間的關(guān)系是否發(fā)生變化？

生7：終邊的位置發(fā)生變化，但終邊與單位圓的交點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系不變。

師：我們一起通過(guò)幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示來(lái)驗(yàn)證結(jié)論

問(wèn)題8：一起總結(jié)歸納公式二的探究思路

生（眾）：圓的對(duì)稱性→終邊的對(duì)稱關(guān)系→角與角的關(guān)系→坐標(biāo)間的關(guān)系→三角函數(shù)的關(guān)系

設(shè)計(jì)意圖：誘導(dǎo)公式二的探究過(guò)程，學(xué)生經(jīng)歷了思維參與的三個(gè)階段：思維的“起點(diǎn)”，思維的“路徑”和思維的“終點(diǎn)”。思維的“起點(diǎn)”（問(wèn)題1、2）是學(xué)生利用單位圓研究了三角函數(shù)的定義和終邊相同的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，同時(shí)也利用單位圓得到了同角三角函數(shù)值之間的關(guān)系。思維的“路徑”（問(wèn)題3、4、5、6）是以四個(gè)問(wèn)題為載體，學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中經(jīng)歷：角與角的關(guān)系→坐標(biāo)間的關(guān)系→三角函數(shù)的關(guān)系，充分體驗(yàn)了知識(shí)的生成過(guò)程，同時(shí)通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置將學(xué)生的點(diǎn)狀的零散思維進(jìn)行了聚焦，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維可視化，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。思維的“終點(diǎn)”（問(wèn)題7、8）是對(duì)誘導(dǎo)公式二中角α的任意性的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)以及將探究的思路歸納總結(jié)，借助幾何畫(huà)板直觀演示，實(shí)現(xiàn)從靜態(tài)單一思維到動(dòng)態(tài)辯證思維，從結(jié)果思維到過(guò)程思維，讓學(xué)生的思維走得更深、更遠(yuǎn)。

二、“可視化”操作，展現(xiàn)思維過(guò)程

案例2 橢圓離心率e=ca的探究過(guò)程

（1）將細(xì)繩的兩端點(diǎn)固定在焦點(diǎn)處，用鉛筆筆尖拉緊繩子，在平面上畫(huà)一個(gè)橢圓，然后調(diào)整繩子的長(zhǎng)度（分別加長(zhǎng)、縮短），觀察橢圓的“扁”的程度的變化規(guī)律;

（2）細(xì)繩的長(zhǎng)度固定不變，將焦距分別增大和縮小，觀察橢圓“扁”的程度的變化規(guī)律。

師：請(qǐng)大家分組操作后，由小組代表和同學(xué)們分享交流。

組1：當(dāng)焦點(diǎn)固定即2c確定時(shí)，2a的值越小，橢圓越“扁”。

組2：當(dāng)繩長(zhǎng)固定即2a確定時(shí)，2c的值越大，橢圓越“扁”。

師：用什么樣的量刻畫(huà)橢圓“扁”的程度呢？

生：這個(gè)量與2a成反比;與2c成正比，所以猜想可以用2c2a即ca這個(gè)量來(lái)刻畫(huà)橢圓“扁”的程度。

教師用“幾何畫(huà)板”動(dòng)態(tài)直觀演示，ca越大（接近于1），橢圓越扁;ca越?。ń咏?），橢圓越圓。

師：焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比ca叫作橢圓的離心率，記為e。

設(shè)計(jì)意圖：用2c2a來(lái)刻畫(huà)橢圓的“扁”的程度，對(duì)學(xué)生來(lái)講過(guò)于抽象，既沒(méi)有理性認(rèn)識(shí)又沒(méi)有直觀感受。因此，通過(guò)“可視化”探究操作，學(xué)生手腦協(xié)同、做思共生，在實(shí)際動(dòng)手操作中觀察、發(fā)現(xiàn)，改變2c和2a的值可以改變橢圓的“扁”的程度，直觀的操作讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維觸手可及、有跡可循，將抽象的、靜態(tài)的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的、動(dòng)態(tài)的操作。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生自然會(huì)提出問(wèn)題：到底用什么樣的量刻畫(huà)橢圓“扁”的程度呢？此時(shí)借助“幾何畫(huà)板”軟件動(dòng)態(tài)操作，讓學(xué)生看見(jiàn)不可見(jiàn)。

三、“可視化”導(dǎo)圖，還原思維路徑

案例3 解析幾何的綜合問(wèn)題的可視化解題分析

在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC，M是PC的中點(diǎn)，求證：DM⊥平面PBC。

設(shè)計(jì)意圖：本例中，證明DM⊥平面PDC的目標(biāo)直線是DM，在證明DM⊥BC時(shí)，目標(biāo)直線又轉(zhuǎn)化為BC，那么接下來(lái)的證明方向清晰明確，即證明BC垂直于DM所在的平面，有這一目標(biāo)后就可以結(jié)合已知條件尋找與BC垂直的兩條相交直線。在證明BC⊥PC時(shí)的思維軌跡和方法和上述過(guò)程一樣進(jìn)行目標(biāo)直線的轉(zhuǎn)化。借助可視化的思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生將零散的已知條件和已證結(jié)論形成網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，將思考程序呈現(xiàn)出來(lái)，使得思路更加清晰。在此過(guò)程中，提高了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象能力。

綜上所述，“可視化”教學(xué)是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的一種教學(xué)方式，學(xué)生通過(guò)“可視化”的學(xué)習(xí)可以將抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系、公式規(guī)律等直觀表征出來(lái)，實(shí)現(xiàn)零散知識(shí)系統(tǒng)化、隱性知識(shí)顯性化、解題規(guī)律模型化，進(jìn)而提高學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉濯源.當(dāng)學(xué)習(xí)力遇到思維可視化——基于思維可視化的中小學(xué)學(xué)習(xí)力發(fā)展策略[J].基礎(chǔ)教育參考，2014.

（作者單位：無(wú)錫市堰橋高級(jí)中學(xué)，江蘇 無(wú)錫214000）