連續(xù)基數(shù)集合并集性質(zhì)的探討及翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)注記

臧 睿

(東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱150040)

1 引 言

實(shí)變函數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的主干課程，其在專(zhuān)業(yè)培養(yǎng)乃至后續(xù)研究生學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)作用不可忽視.從這門(mén)課程開(kāi)始，此前數(shù)學(xué)分析、解析幾何等課程中限定在n空間中討論的定義和性質(zhì)將逐步擴(kuò)展到各類(lèi)抽象空間中來(lái)討論.因其對(duì)學(xué)生的抽象思維，邏輯思維提出更高的要求，久之便產(chǎn)生“實(shí)變函數(shù)學(xué)十遍”的傳說(shuō)，這也從側(cè)面說(shuō)明該課程的學(xué)習(xí)需要付出更多的時(shí)間和精力.隨著高等教育改革的深入進(jìn)行，各高校對(duì)課程設(shè)置比例和畢業(yè)學(xué)分要求進(jìn)行了調(diào)整，為適應(yīng)要求，很多課程的學(xué)時(shí)進(jìn)行了壓縮，因此對(duì)課程內(nèi)容設(shè)計(jì)、教學(xué)模式以及教材結(jié)構(gòu)提出了新的要求，多位學(xué)者[1-5]對(duì)此進(jìn)行了探討和研究.文獻(xiàn)[6]一直是作者任教專(zhuān)業(yè)的實(shí)變函數(shù)、泛函分析課程教材，因其結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯清楚，難易適度，也被很多高校廣泛采用.在近些年的教學(xué)中，為應(yīng)對(duì)學(xué)時(shí)不足的困擾，在課程內(nèi)容和教材結(jié)構(gòu)方面進(jìn)行了一些思考和探索.例如連續(xù)基數(shù)，多年教學(xué)實(shí)踐表明集合的基數(shù)是學(xué)生剛開(kāi)始學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)時(shí)接受較為困難的部分.由于對(duì)正整數(shù)集非常熟悉，因此學(xué)生對(duì)可數(shù)集合往往理解較好，接受較快，但對(duì)連續(xù)基數(shù)的一些結(jié)論往往感覺(jué)較為抽象，例如連續(xù)基數(shù)集合的并集.本文結(jié)合連續(xù)基數(shù)集合并集性質(zhì)的證明，淺談一些思路和方法.

2 連續(xù)基數(shù)集合并集性質(zhì)注記

以下用c表示連續(xù)基數(shù).關(guān)于c個(gè)基數(shù)為c的集合的并集，文獻(xiàn)[6]中第一章第五節(jié)推論2表述為：“設(shè)有c個(gè)集的并集，若每個(gè)集合的基數(shù)都是c，則其并集的基數(shù)也是c”.對(duì)此結(jié)論教材中解釋為：“對(duì)每一個(gè)被并的集，使之與平面xOy上平行于Ox軸的直線上全體點(diǎn)所成集合作成一一對(duì)應(yīng)，也就得到所述的并集與平面xOy上全體點(diǎn)所成集合作成了一一對(duì)應(yīng)”.對(duì)此解釋會(huì)產(chǎn)生的一個(gè)疑問(wèn)是當(dāng)集合互不相交時(shí)，這樣的一一對(duì)應(yīng)是比較明顯的，但當(dāng)集合相交非空時(shí)，這樣的解釋就會(huì)較為含混.比較文獻(xiàn)[6-14]，發(fā)現(xiàn)不同教材對(duì)類(lèi)似內(nèi)容的處理和表述不盡相同，文獻(xiàn)[7-10]中未列出相關(guān)結(jié)論，文獻(xiàn)[11-12]中的結(jié)論針對(duì)互不相交集合的并集，文獻(xiàn)[13]定理1.3.5表述為：“c個(gè)基數(shù)為c的集合之并基數(shù)為c”，在其證明中首先指出不妨假設(shè)集合互不相交，隨后對(duì)相交的情況進(jìn)行了詳細(xì)證明.可見(jiàn)對(duì)該結(jié)論證明的一般處理是對(duì)互不相交的情況進(jìn)行闡述，之后再推廣到一般情況，進(jìn)行講解時(shí)用時(shí)較多.文獻(xiàn)[14]推論1.2.6給出了一般情況的直接證明，相比較而言更為簡(jiǎn)潔，但文中敘述較略，學(xué)生首次學(xué)習(xí)理解較為困難.下面給出一種較為詳細(xì)的直接證明的處理方法.這種方法可以直接涵蓋文獻(xiàn)[14]推論1.2.6中關(guān)于可數(shù)多個(gè)和c個(gè)基數(shù)為c的集合并集的兩個(gè)結(jié)論的證明.

3 翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)案例設(shè)計(jì)

近年來(lái)，翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式受到廣泛關(guān)注，如果設(shè)計(jì)合理，也可以提升課程教學(xué)的效率.數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)決定其不適宜進(jìn)行大學(xué)時(shí)比例翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)[15]，但在適當(dāng)環(huán)節(jié)，結(jié)合適當(dāng)內(nèi)容進(jìn)行翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)可以有效激發(fā)學(xué)生的思想活力，加深對(duì)課程內(nèi)容的理解.以下是關(guān)于翻轉(zhuǎn)課堂方案設(shè)計(jì)的一些思考.

完備集與完備度量空間是度量空間中的重要定義，教學(xué)實(shí)踐中，很多學(xué)生容易將二者混淆.完備集是沒(méi)有孤立點(diǎn)的閉集，完備度量空間是指任何柯西點(diǎn)列都在空間中收斂，從定義描述的角度看，學(xué)生能理解二者的不同，但對(duì)二者聯(lián)系的理解往往不夠深入.這里可以給出由淺到深的幾個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生逐步理解這兩種定義的區(qū)別和聯(lián)系.

問(wèn)題1：完備集和閉集的關(guān)系是什么？問(wèn)題2: 度量子空間完備與閉的關(guān)系是什么？問(wèn)題3： 空間完備和空間本身為完備集的關(guān)系是什么？

問(wèn)題1主要考察完備集的定義，完備集為沒(méi)有孤立點(diǎn)的閉集，因此完備集一定為閉集，反之引導(dǎo)學(xué)生舉出含孤立點(diǎn)的閉集的例子即可說(shuō)明閉集未必為完備集.問(wèn)題2主要考察學(xué)生對(duì)相關(guān)定理的熟悉程度，即度量空間的完備子空間為閉子空間，當(dāng)空間完備時(shí)，閉子空間一定是完備的，當(dāng)學(xué)生指出空間不完備時(shí)，閉子空間是否仍是完備的，即任意度量空間的子空間的完備性與閉性等價(jià)是否成立，可以給出以下反例：

例2考慮有理數(shù)集，度量為d(x，y)=|x-y|，此時(shí)空間(，d)不完備，令M=∩[a，b]， 則M為閉集，但不完備.

由此引導(dǎo)學(xué)生梳理出兩個(gè)定義的聯(lián)系：對(duì)于完備度量空間，完備集為完備子空間，完備子空間只是閉集，因此未必為完備集；對(duì)于一般度量空間完備集也未必為完備子空間.以上討論的子空間的完備與閉集或完備集的聯(lián)系，接下來(lái)可以提出問(wèn)題3由學(xué)生思考，事實(shí)上例2的空間本身(，d)是完備集，但空間不完備，這說(shuō)明空間本身為完備集與空間是否完備無(wú)關(guān).

4 結(jié) 論

通過(guò)比較不同實(shí)變函數(shù)教材，梳理了連續(xù)基數(shù)并集性質(zhì)的不同處理方式并得出相對(duì)高效的證明方式，說(shuō)明結(jié)合不同教材的特點(diǎn)，深挖細(xì)究確實(shí)可以部分克服學(xué)時(shí)不足帶來(lái)的困擾.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專(zhuān)家提出的寶貴意見(jiàn).