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    行列式的幾何意義及多面體體積的計算

    2021-07-09 10:01:58何朝葵鄭蘇娟孫中喜
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年3期
    關(guān)鍵詞:維空間多面體剖分

    何朝葵, 鄭蘇娟, 孫中喜

    (河海大學(xué) 理學(xué)院,南京211100)

    1 引 言

    行列式作為線性代數(shù)中一個重要的基本內(nèi)容,為了讓學(xué)生深刻理解行列式的概念有學(xué)者在行列式教學(xué)中嘗試了新的方法[1],也有學(xué)者從有向體積的幾何直觀視角來探討行列式[2].在一般的線性代數(shù)教材關(guān)于向量的混合積時,都會介紹三階行列式的幾何意義,那么對于任意一個n階行列式,它是否也具有類似的幾何意義呢?本文學(xué)習(xí)有限元方法中的面積坐標(biāo)的概念[3],引入體積坐標(biāo),利用多重積分證明了行列式和多面體體積的關(guān)系,從而解釋了行列式的幾何意義.

    2 有趣的結(jié)論

    結(jié)論1如果P0(x0)和P1(x1)為數(shù)軸上兩點,令

    則|D|=|x1-x0|=d(P0P1),即二階行列式D的絕對值為數(shù)軸上點P0(x0)和P1(x1)之間的距離.

    結(jié)論2若P0(x0,y0),P1(x1,y1)和P2(x2,y2)為平面上三個點,令

    則三階行列式|D|=2SΔP0P1P2,其中SΔP0P1P2為這三點確定的三角形面積.

    結(jié)論3若Pi(xi,yi,zi)(i=0,1,2,3)為空間中的四個點,令

    根據(jù)向量混合積的幾何意義有|D|=V平行六面體=6V(ΩP0P1P2P3),其中V平行六面體為以P0Pi(i=1,2,3)為鄰邊的平行六面體的體積,ΩP0P1P2P3表示由這四點形成的四面體,V(ΩP0P1P2P3)為ΩP0P1P2P3的體積.

    從以上三個結(jié)論,猜想

    定理設(shè)Pi(xi1,xi2,…,xin) (i=0,1,2,…,n)為n維空間中n+1個點,令

    則有|D|=n!V(ΩP0P1…Pn),其中ΩP0P1…Pn為n維空間中由這n+1個點兩兩連接所確定的n+1面體,V(ΩP0P1…Pn)表示這個n+1面體在n維空間中的體積.

    證由于

    消去L0,得

    所以

    =……

    因而 |D|=n!V(ΩP0P1…Pn).

    3 行列式的幾何意義及多面體體積的計算

    根據(jù)上面的分析,對于任意一個行列式

    令P0(0,0,…,0),Pi(ai1,ai2,…,ain)(i=1,2,…,n),由于

    則|D|可以理解為n維空間中由這n+1個點Pi(i=0,1,…,n)所構(gòu)成的n+1面體體積V(ΩP0P1…Pn)的n!倍.利用行列式的幾何意義可以求空間中多面體的體積,例如在空間中有如下一個多面體(圖1),其中各個點的坐標(biāo)分別為

    圖1 圖2

    通過連接點P2和P4,把多面體分割成4個四面體(圖2):ΩP1P2P4P5,ΩP1P2P3P4,ΩP6P2P4P5,ΩP6P2P3P4, 由于

    因此該多面體體積等于

    V=V(ΩP1P2P4P5)+V(ΩP1P2P3P4)+V(ΩP6P2P4P5)+V(ΩP6P2P3P4)

    5 結(jié) 論

    對行列式的幾何解釋有助于加深對行列式概念的理解.對于空間中的一個多面體,可以利用剖分軟件把多面體剖分成多個四面體單元,從剖分信息中提取每個四面體單元四個結(jié)點的坐標(biāo),就可通過行列式求得它們的體積,把所有四面體單元體積累加求和就得到多面體的體積,這很容易在軟件上編程實現(xiàn),如果多面體有邊界面為曲面,則可對邊界面部分剖分加密,從而得其體積的近似值.

    致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家的建議.

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