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    低秩張量填充的隨機算法

    2021-07-08 08:03:38郭雄偉王川龍
    關(guān)鍵詞:乘子張量花費

    郭雄偉,王川龍

    (太原師范學院 數(shù)學系,山西 晉中030619)

    0 引言

    張量填充(TC)問題是張量研究中最活躍的熱點之一.張量填充可以應(yīng)用于很多領(lǐng)域,如圖像恢復(fù)[1,2]、數(shù)據(jù)挖掘[3]、信號處理、機器學習[4]、高階網(wǎng)絡(luò)鏈接分析[5]等.張量填充問題可以表述為如下形式:

    其中A,Γ都是n-模張量,且每個模的大小相同,rank(A)表示張量A的某種秩,PΩ是集合Ω上的正交投影,Ω是基數(shù)為m的隨機子集,其中m是采樣元素的個數(shù).當(i1,i2,…,in)∈Ω時,PΩ(A)的第(i1,i2,…,in)個元素等于Γi1i2…in,否則等于0.張量的秩的計算是NP-難問題.因此,一些學者將模型(1)松弛為如下凸優(yōu)化模型:

    其中αi≥0且張量填充問題可以看作是矩陣填充問題的高維形式.

    在張量填充的優(yōu)化算法方面,已有一些研究成果.文獻[6]中Liu等人給出了張量的核范數(shù)的定義,并基于模型(2)提出了三種有效算法:簡單低秩張量填充算法(Simple Low Rank Tensor Completion algorithm,SiLRTC)、快速低秩張量填充算法(Fast Low Rank Tensor Completion algorithm,F(xiàn)aLRTC)以及高精度低秩張量填充算法(High accuracy Low Rank Tensor Completion algorithm,HaLRTC).在文獻[7]中,Gandy等人用張量的秩作為稀疏表示,將其模型轉(zhuǎn)換為更容易求解的凸模型,提出了張量恢復(fù)的Douglas-Rachford算法(Douglas-Rachford splitting algorithm for Tensor Recovery)以及交替方向乘子法(Alternating direction method of multipliers).受矩陣填充算法的啟發(fā),Tan等人[8]將張量填充問題矩陣化為n個矩陣填充問題,提出了低多線性秩張量填充(Low Multilinear Rank Tensor Completion,LMRTC)算法.為了保持張量原有的內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及避免矩陣化的計算花費,Kilmer等人[9]提出了張量的奇異值分解,且能夠很好地保留張量原有的內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息.基于張量的奇異值分解和管秩的定義,Zhang等人[10]利用交替方向乘子法框架,給出了相應(yīng)的算法.此外,還有很多學者研究張量的CP秩以及基于CP秩的張量填充算法,詳見文獻[11-13].

    本文主要研究張量填充問題.基于Liu等人[6]提出的高精度低秩張量填充算法,引入隨機的思想,并給出相應(yīng)的算法,同時通過數(shù)值實驗和圖像填充驗證算法的有效性.

    本文的結(jié)構(gòu)安排如下:第1節(jié)介紹張量及矩陣的相關(guān)符號說明和定義;第2節(jié)回顧高精度低秩張量填充算法,在此算法的基礎(chǔ)上引入隨機的思想,給出隨機高精度低秩張量填充算法的具體步驟;第3節(jié)通過數(shù)值實驗以及圖像填充與HaLRTC及DR-TR算法比較,驗證算法的有效性;第4節(jié)對全文進行總結(jié).

    1 符號說明及定義

    為方便起見,RI1×I2表示I1×I2的實矩陣全體.矩陣的核范數(shù)和F-范數(shù)分別表示為‖X‖*和‖X‖F(xiàn).矩陣的內(nèi)積表示為表示n-模張量,它的元素表示為,其中表示張量的模-k展開.與其相反的運算定義為表示張量Χ的秩.用表示張量的F-范數(shù).

    定義1(奇異值分解(SVD))[14]秩r的矩陣,則必存在正交矩陣滿足:

    其中σ1≥σ2≥…≥σr≥0.

    定義2(奇異值閾值算子)[15]對于任意參數(shù)τ≥0,奇異值閾值算子Dτ定義為:

    2 算法

    文獻[6]基于模型(2),并結(jié)合交替方向乘子法(ADMM)框架,給出了高精度低秩張量填充算法.該算法具有較好的填充效果,其算法如下:

    算法1 高精度低秩張量填充算法(High accuracy Low Rank Tensor Completion algorithm,簡稱HaLRTC)[6]

    給定采樣集合Ω,采樣矩陣PΩ(Γ),參數(shù)αi,ρ0,t,ε,以及初始張量0,k:=0;

    第1步:計算

    第3步:若‖Χk+1-Χk‖F(xiàn)/‖Χk‖F(xiàn)<ε,停止迭代;否則轉(zhuǎn)第4步.

    由算法1可知,在每次迭代過程中,該算法需要計算n次奇異值分解,張量展開以及矩陣折疊,需要較大的計算花費.在此算法的基礎(chǔ)上,我們引入隨機的思想,即在每次迭代過程中,只對隨機產(chǎn)生的一個模進行奇異值分解,張量展開以及矩陣折疊,減少了計算花費.其算法如下:

    算法2 低秩張量填充的隨機算法(Low Rank Tensor Completion Random algorithm,簡稱LRTCR)

    給定采樣集合Ω,采樣矩陣PΩ(Γ),參數(shù)αi,ρ0,t,ε,以及初始張量0,k:=0;

    第1步:令

    第3步:若‖Χk+1-Χk‖F(xiàn)/‖Χk‖F(xiàn)<ε,停止迭代;否則轉(zhuǎn)第4步;

    3 數(shù)值實驗

    本節(jié)通過隨機張量填充和圖像填充將新算法與HaLRTC以及DR-TR算法比較.

    3.1 隨機張量填充

    在本小節(jié)中,利用隨機生成的維數(shù)為50×50×50,50×60×70的秩分別為(2,2,2)和(5,5,5)的三維張量,在采樣率為0.2,0.3,0.4的情況下,比較其實驗結(jié)果,實驗結(jié)果見表1、表2、表3.Χ*表示這三種算法的輸出張量,Γ為原始張量.

    表1 p=0.2時,算法LRTCR與算法HaLRTC、DR-TR比較

    表2 p=0.3時,算法LRTCR與算法HaLRTC、DR-TR比較

    表3 p=0.4時,算法LRTCR與算法HaLRTC、DR-TR比較

    3.2 圖像填充

    在本小節(jié)中,使用維數(shù)為181×217×181的立體MRI①http://brainweb.bic.mni.mcgill.ca/brainweb/selection normal.html.數(shù)據(jù)比較新算法與HaLRTC及DR-TR算法的填充效果.隨機選取MRI數(shù)據(jù)中的某一切片,在采樣率分別為0.2,0.3,0.4的情況下,其填充效果見圖1.為了直觀展現(xiàn)其填充效率,表4中展示填充時間、迭代次數(shù)以及相對誤差.

    圖1 填充效果圖

    表4 MRI在不同采樣率下,算法LRTCR、HaLRTC、DR-TR比較

    續(xù)表4

    4 總結(jié)

    本文提出了一種新的高精度低秩張量填充隨機算法,簡稱LRTCR.該算法在原有的算法的基礎(chǔ)上,引入隨機的思想,有效地降低了算法在每次迭代過程中的計算花費.由表1-3可以看出,新算法與原有的算法相比,精度上大致相同,但新算法在時間花費上占有很大優(yōu)勢.此外,由圖1及表4可以看出,針對MRI圖像填充,新算法同樣占有優(yōu)勢.

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