基于logistic分布密度函數(shù)的粒子群優(yōu)化算法研究

王守亞，張 科

（淮南師范學(xué)院，安徽 淮南232038）

0 引言

粒子群算法［1-2］（Particle Swarm Optimization，PSO）是1995年Eberhart和Kennedy從生物種群的覓食行為中得到啟發(fā)，提出的一種求解優(yōu)化問題的智能算法.由于PSO算法具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、收斂速度快等優(yōu)勢(shì)，在許多求解優(yōu)化問題的領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［3-6］.但隨著對(duì)該算法求解精度和適用范圍［7-10］的提高，該算法的早熟收斂和易陷入局部極值［11-12］等問題急需解決.孫俊等［13］人把PSO算法結(jié)合量子行為，提高了搜索性能；申翠香等［14］人提出了一種改進(jìn)的粒子群算法，提高了全局搜索能力；封京梅等［15］利用慣性權(quán)重指數(shù)遞減的粒子群優(yōu)化算法求解最優(yōu)值，減少了迭代次數(shù)，提高了精度；邱飛岳等［16］利用學(xué)習(xí)因子和混沌初始化策略提高了算法的精度等.

一些學(xué)者對(duì)PSO算法的研究提升了該算法的性能，但PSO算法在收斂速度和精度方面還有較大的提升空間.本文提出的一種基于logistic分布密度函數(shù)的粒子群優(yōu)化算法，通過正態(tài)分布初始化策略和logistic分布密度函數(shù)改進(jìn)權(quán)重值，和一些改進(jìn)的PSO算法進(jìn)行比較，本文提出的改進(jìn)算法計(jì)算時(shí)間更短、精度更高.

1 基本的粒子群算法

設(shè)一個(gè)種群由n個(gè)粒子組成，搜索空間為D維，種群X=（X1，X2，…，Xn），其中，Xi=（xi1，xi2，…，xiD）T為D維向量，對(duì)應(yīng)的速度Vi=（Vi1，Vi2，…，ViD）T，個(gè)體極值Pi=（Pi1，Pi2，…，PiD）T，種群極值Pg=（Pg1，Pg2，…，PgD）T，詳細(xì)的參數(shù)說明可參考文獻(xiàn)，每次迭代，粒子的速度和位置更新公式為：

2 改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法

標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法的初始種群是隨機(jī)生成的，種群的分布質(zhì)量不佳，有待提高，可以把初始種群以正態(tài)分布的形式生成，提高初始種群質(zhì)量.此外，改變慣性權(quán)重ω是相關(guān)研究人員改進(jìn)粒子群算法的重點(diǎn)，ω的大小體現(xiàn)了PSO算法的全局和局部搜索能力，本文提出的基于logistic分布密度函數(shù)的PSO算法將ω按照l(shuí)ogistic分布密度函數(shù)形式進(jìn)行變化，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?可以縮短搜索時(shí)間，提高搜索精度，降低算法陷于局部最優(yōu)解的概率.

2.1 正態(tài)分布形式初始化種群

標(biāo)準(zhǔn)的PSO算法隨機(jī)生成初始化種群，種群分布如圖1所示，設(shè)種群數(shù)量N=30，種群質(zhì)量不高，會(huì)增加迭代次數(shù)，降低求解精度等，本文采用正態(tài)分布的形式初始化種群，提高了種群的質(zhì)量，種群分布如圖2所示，設(shè)種群數(shù)量N=30，種群的分布服從公式（3）.

圖1 隨機(jī)分布的種群

圖2 服從正態(tài)分布的種群

式中，u為期望，σ為方差.

2.2 基于logistic分布密度函數(shù)改進(jìn)ω策略

與經(jīng)典的線性遞減權(quán)重法做比較，該權(quán)重ω的變化公式為：

式中，wmax和wmin分別為w的最大和最小值，t和tmax分別為當(dāng)前和最大迭代步數(shù).

線性遞減權(quán)重法易理解、易實(shí)現(xiàn)，通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在部分函數(shù)求最優(yōu)解過程中表現(xiàn)不錯(cuò)，但對(duì)復(fù)雜問題求解方面還存在不足.主要是該方法的ω是在迭代過程中，由最大值以同樣的速度不斷減少到最小值，在搜索前期，全局搜索能力較強(qiáng)時(shí)間持續(xù)短，在搜索后期，局部搜索能力較強(qiáng)時(shí)間持續(xù)也短，算法容易陷入局部尋優(yōu)中無法跳出.此外，ω固定的變化，也導(dǎo)致了該算法在求解非線性等復(fù)雜問題中存在不足.本文將ω的變化結(jié)合logistic分布密度函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，logistic分布密度函數(shù)表達(dá)式為：

式中：u是位置參數(shù)，σ是尺度參數(shù)，logistic分布屬于位置-尺度參數(shù)族.

在本文中，取u=0，σ=10，并對(duì)logistic分布密度函數(shù)進(jìn)行一定的修正，令ω的表達(dá)式為：

將公式（4）和（6）進(jìn)行仿真，ω的曲線變化如圖3所示.

從圖3可以看出，改進(jìn)后的權(quán)重值ω，在迭代的前期和后期分別能夠保持一段時(shí)間的較大值和較小值，能夠平衡PSO算法的全局和局部搜索能力，可以縮短搜索時(shí)間，提高搜索精度.

圖3 改進(jìn)前后ω的變化曲線

改進(jìn)后的PSO算法實(shí)現(xiàn)過程如下：

①初始化粒子種群，使種群的分布服從正態(tài)分布；

②計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值fit；

③初始化個(gè)體最優(yōu)值pbest和全局最優(yōu)值gbest；

④判斷是否滿足收斂條件，滿足跳到⑦，否則執(zhí)行⑤；

⑤根據(jù)公式（6）計(jì)算權(quán)重ω，根據(jù)公式（1）、（2）分別更新粒子的速度和位置，計(jì)算fit，更新pbest和gbest.

⑥若符合輸出條件，算法結(jié)束，否則，返回繼續(xù)執(zhí)行；

⑦算法結(jié)束.

3 實(shí)驗(yàn)仿真及分析

本文提出的改進(jìn)PSO算法與具有代表性的自適應(yīng)權(quán)重法（記為：PSO-1）、隨機(jī)權(quán)重法（記為：PSO-2）和線性遞減權(quán)重法（記為：PSO-3）做比較，通過四個(gè)典型函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，對(duì)本文的基于logistic分布密度函數(shù)的粒子群優(yōu)化算法（記為：PSO-4）性能進(jìn)行詳細(xì)分析.測(cè)試函數(shù)分別為典型的單峰值函數(shù)Sphere（記為：F1）、Step（記為：F2）和雙峰值函數(shù)Griewank（記為：F3）、Rastrigin（記為：F4），四個(gè)函數(shù)的最優(yōu)值均為0.

實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置：種群數(shù)量設(shè)為50，搜索維度設(shè)為30，迭代次數(shù)設(shè)為100，加速度因子設(shè)為c1=1.5，c2=2.5，慣性權(quán)重設(shè)為ωmax=0.8，ωmin=0.4.電腦配置：型號(hào)為聯(lián)想D5050，處理器為Intel（R）Pentium（R）CPUG3250＠3.20GHz，硬盤為500G，內(nèi)存為4G.表1到表4分別為四種算法在不同測(cè)試函數(shù)上的運(yùn)行結(jié)果，表中的平均值均是在運(yùn)行20次后的結(jié)果.

表1 算法在測(cè)試函數(shù)F1上運(yùn)行結(jié)果

表4 算法在測(cè)試函數(shù)F4上運(yùn)行結(jié)果

從表1可以看出，本文改進(jìn)的算法PSO-4在測(cè)試函數(shù)F1上的適應(yīng)度值是最接近最優(yōu)值0的，而且方差是最小的，說明此算法尋優(yōu)結(jié)果最穩(wěn)定；從表2可以看出，PSO-4在測(cè)試函數(shù)F2上的適應(yīng)度值比PSO-3略大，但方差是最小的，說明此算法尋優(yōu)結(jié)果最穩(wěn)定；從表3可以看出，PSO-4在測(cè)試函數(shù)F3上的適應(yīng)度值比PSO-1略大，方差也略大，但適應(yīng)度和方差數(shù)值均非常小，非常接近最優(yōu)值0，能夠滿足實(shí)際應(yīng)用；從表4可以看出，本文改進(jìn)的算法PSO-4在測(cè)試函數(shù)F4上的適應(yīng)度值為最優(yōu)值0的，而且方差0，說明此算法尋優(yōu)結(jié)果非常理想.從表1到表4可以看出，PSO-4平均運(yùn)行時(shí)間最短，小于或遠(yuǎn)小于另外三種算法在典型測(cè)試函數(shù)上的運(yùn)行時(shí)間.綜上，可以看出，平均運(yùn)行時(shí)間最短，搜索精度和穩(wěn)定度高，性能整體優(yōu)于其余三種算法.

表2 算法在測(cè)試函數(shù)F2上運(yùn)行結(jié)果

表3 算法在測(cè)試函數(shù)F3上運(yùn)行結(jié)果

圖4—圖7是四種PSO算法在四種典型的測(cè)試函數(shù)上的迭代過程.

從圖4可以看出，各種算法在在搜尋F1函數(shù)最優(yōu)值過程中，都存在一定的“早熟現(xiàn)象”，算法PSO-4求解精度最高，最接近F1函數(shù)的最優(yōu)值，收斂的速度略慢于PSO-1，但快于PSO-2和PSO-3.

圖4 Sphere函數(shù)迭代過程

從圖5可以看出，各種算法在在搜尋F2函數(shù)最優(yōu)值過程中，都存在一定的“早熟現(xiàn)象”，算法PSO-4求解精度最高，最接近F2函數(shù)的最優(yōu)值，四種算法的收斂速度基本一樣.

圖5 Step函數(shù)迭代過程

從圖6可以看出，PSO-1、PSO-2和PSO-3算法在搜尋F3函數(shù)最優(yōu)值過程中，存在一定的“早熟現(xiàn)象”，PSO-4算法收斂速度最快，收斂精度最高.

圖6 Griewank函數(shù)迭代過程

從圖7可以看出，PSO-2和PSO-3算法在搜尋F4函數(shù)最優(yōu)值過程中，存在一定的“早熟現(xiàn)象”，PSO-4算法收斂速度最快，收斂精度最高.

圖7 Rastrigin函數(shù)迭代過程

總體上看，PSO-4算法相比另外三種算法，在四種典型的測(cè)試函數(shù)尋優(yōu)過程中，都有較快的收斂速度和較高的精度值，在克服“早熟現(xiàn)象”方面，也優(yōu)于或較優(yōu)于另外三種算法.

4 結(jié)論

通過正態(tài)分布的形式初始化種群和利用修正的logistic分布密度函數(shù)改進(jìn)權(quán)重值ω，提出本文的PSO-4算法，與另外三種算法在四種典型函數(shù)上進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果表明：PSO-4算法在收斂速度、精度和抵抗“早熟現(xiàn)象”等方面都有較顯著的優(yōu)勢(shì).在后期對(duì)該算法在實(shí)際應(yīng)用等方面進(jìn)行進(jìn)一步的研究和優(yōu)化.