基于核心素養(yǎng)背景下的新教材處理研究
——以“基本不等式”為例

福建省廈門集美中學(xué)(361000) 余奕

1 教材分析

基本不等式是高中一類重要的不等式,也是高考的熱點(diǎn),廣泛應(yīng)用于求解最值、證明不等式、求參數(shù)范圍等問題中.高中新教材將其安排在必修第一冊(cè)第二章“一元二次函數(shù)、方程和不等式”中,安排在“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”之后學(xué)習(xí),此時(shí)學(xué)生已經(jīng)借助于日常生活實(shí)例在一定程度上理解了不等式,在梳理等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上,借助于類比,研究了不等式的性質(zhì),積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),為后續(xù)學(xué)習(xí)做了一定的準(zhǔn)備.

本節(jié)教材開篇引入“我們知道,乘法公式在代數(shù)的運(yùn)算式中有重要作用,那么,是否也有一些不等式,它們?cè)诮鉀Q不等式問題時(shí)有著與乘法公式類似的重要作用呢,下面來研究這個(gè)問題.”這種由不等式的一般性質(zhì)過渡到特殊的重要公式的研究方法,與學(xué)習(xí)等式性質(zhì)時(shí),從一般性質(zhì)到特殊而重要的平方差公式、完全平方公式的思路是一致的,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)類比的思想,教師在設(shè)計(jì)本節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí),可以充分利用學(xué)生以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

故在課堂引入環(huán)節(jié),教師可進(jìn)一步從初中的完全平方公式出發(fā),已知?a,b ∈R,有(a-b)2=a2-2ab+b2,再由平方的性質(zhì),由等式過渡到不等式,從(a-b)2≥0,得到一類重要的不等式a2-2ab+b2≥0,即,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.進(jìn)一步地,嘗試去掉平方號(hào)使形式更為簡(jiǎn)潔:令a ＞0,b ＞0,則可用分別代替上式中的a,b,得,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.

在初步得到基本不等式后,還需通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明說明此不等式的正確性.課本在此給出了分析法,執(zhí)果索因,從要證的目標(biāo)式追本溯源,找到顯然成立的基本事實(shí)從而得證.但學(xué)生之前尚未接觸過分析法,獨(dú)立思考得出證明有些困難,需要教師逐步引導(dǎo).為證明基本不等式,學(xué)生基于以往研究不等關(guān)系的經(jīng)驗(yàn),可能會(huì)從作差、完全平方式非負(fù)(類比證明重要不等式)的角度思考,教師在教學(xué)過程中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試,并及時(shí)給予肯定.

從代數(shù)角度對(duì)基本不等式進(jìn)行嚴(yán)格證明后,再類比之前由國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)圖形抽象得到重要不等式a2-2ab+b2≥0 的過程,課本在探究環(huán)節(jié)引入了圓內(nèi)接三角形,從幾何角度給出了基本不等式的幾何解釋,“以形助數(shù),以數(shù)解形”,以加深學(xué)生對(duì)于基本不等式的理解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.這個(gè)圖形的構(gòu)造,十分巧妙,基于射影定理以及學(xué)生初中較為熟悉的母子相似三角形模型,利用了“圓的弦長(zhǎng)的一半小于或等于圓的半徑長(zhǎng)”這一基本事實(shí),幫助學(xué)生理解這個(gè)重要的不等關(guān)系.選用這樣的模型,會(huì)讓剛剛進(jìn)入高中的學(xué)生會(huì)感覺到比較親切形象,更易理解接受.在追問環(huán)節(jié),教師也可進(jìn)一步讓學(xué)生思考不等式等號(hào)成立時(shí)圖形對(duì)應(yīng)的幾何位置關(guān)系;在具體教學(xué)環(huán)節(jié)的實(shí)施過程中,教師更可借助于信息技術(shù),展示點(diǎn)C在線段AB上動(dòng)態(tài)移動(dòng)的過程,讓學(xué)生觀察線段CD和半徑長(zhǎng)之間的關(guān)系,感知與之間的關(guān)系隨著a,b大小關(guān)系的變化而發(fā)生的變化,體會(huì)基本不等式中包含的“相等”與“不等”的內(nèi)在聯(lián)系.信息技術(shù)的動(dòng)態(tài)直觀展示,充分考慮到了不同思維層次的學(xué)生,培養(yǎng)了他們的數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng).

在進(jìn)一步認(rèn)識(shí)基本不等式(又稱“均值不等式”)時(shí),可以從以下幾方面思考:首先,當(dāng)中,包含了數(shù)學(xué)的求和、作商、開方這些基本運(yùn)算,體現(xiàn)了運(yùn)算的“基本”性;其次,通常稱為a,b這兩個(gè)正數(shù)的算數(shù)平均數(shù),為其幾何平均數(shù),這個(gè)不等式也表明了兩個(gè)正數(shù)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小關(guān)系,體現(xiàn)了“基本”量的大小關(guān)系;再者,以上不等式針對(duì)的是兩個(gè)正數(shù)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小關(guān)系,數(shù)學(xué)當(dāng)中還有三個(gè)正數(shù)、四個(gè)正數(shù)……n個(gè)正數(shù)的類似的不等關(guān)系,基本不等式只是這類均值不等式“鏈”中形式最為簡(jiǎn)潔的,故顯得“基本”;另外,從應(yīng)用的角度,類似初中的乘法公式能夠簡(jiǎn)化某些特殊形式的代數(shù)式的恒等變形,基本不等式也是解決滿足一定條件的代數(shù)式的最值問題的有力工具,在應(yīng)用中占有重要的地位;最后,在高觀點(diǎn)視角下,“可以作為不等式論的基本定理,成為支撐其他許多非常重要結(jié)果的基石”.基于這些背景,在實(shí)際教學(xué)中,教師可以在課后思考環(huán)節(jié),滲透數(shù)學(xué)歸納法的思想,引導(dǎo)學(xué)生觀察歸納猜想重要不等式、基本不等式的n維情形,作為課堂內(nèi)容的延伸拓展;對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生,可以讓他們嘗試證明這些不等式的3 維情形.

在新知應(yīng)用環(huán)節(jié),課本給出了例1 作為練習(xí),值得注意的是,對(duì)比舊教材,新教材在例1 的解答后面,對(duì)于等號(hào)成立的條件作出了進(jìn)一步的說明“我們不僅明確了?x ＞0,有而且給出了當(dāng)且僅當(dāng)即x2=1,x=1時(shí),等號(hào)成立”,這是為了說明2 是的一個(gè)取值”,還提出了兩個(gè)思考題“當(dāng)y0＜2 時(shí),成立么?這時(shí)能說y0是的最小值嗎?”.可以看到,在這個(gè)追問中,書本用到了一些數(shù)學(xué)的表達(dá)符號(hào)進(jìn)行表述,不少學(xué)生會(huì)覺得到比較抽象,不太好理解.筆者建議在授課過程中,教師可以先用具體的例子,如y0=1 幫助學(xué)生理解,再過渡到更一般的數(shù)學(xué)抽象符號(hào)表達(dá),照顧不同思維層次的學(xué)生,培養(yǎng)其邏輯推理素養(yǎng);同時(shí),可由該追問引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到最小值不僅需要滿足“其他取值均比其小”這一特征,還需要滿足“在定義域內(nèi)取得到”這一要求,即對(duì)應(yīng)了后續(xù)第三章節(jié)中“函數(shù)的基本性質(zhì)”一節(jié)里對(duì)于函數(shù)最小值的定義:“一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:(1)?x ∈I,都有f(x)≥m.(2)?x0∈I,使得f(x0)=m.那么我們稱m是y=f(x)的最小值.”在解答例1 的過程中,教師需引導(dǎo)學(xué)生觀察到為一個(gè)定值,當(dāng)時(shí),取到最小值2.進(jìn)一步地,可充分利用變式和反例,幫助學(xué)生明確和體會(huì)利用基本不等式解決最值問題“一正、二定、三相等”的要求.

2 教學(xué)片段過程設(shè)計(jì)

教學(xué)片段上節(jié)課中,我們由第24 屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)中抽象得出了以下圖形,從圖形的面積關(guān)系出發(fā),我們可以得到什么不等關(guān)系?問題images/BZ_32_389_2727_658_3001.png圖1師生活動(dòng)生: a2+b2 ≥2ab

追問上式中a,b 屬于什么范圍時(shí),不等式成立?何時(shí)取等呢?師生活動(dòng)生:上述不等式對(duì)任意a,b ∈R 都成立;當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí),不等式取等.師:從幾何圖形可以看到,當(dāng)a=b 時(shí),圖中的正方形將匯聚成一個(gè)點(diǎn),此時(shí)不等式取到等號(hào);而觀察不等式的結(jié)構(gòu),可以看到式子可以變形為a2+b2-2ab ≥0,左邊是大家熟悉的完全平方公式(a-b)2 的展開形式,故從代數(shù)的角度來理解,上述不等式表達(dá)的實(shí)際上就是平方大于等于0.設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)回顧上節(jié)課的重要不等式,從幾何與代數(shù)兩個(gè)角度幫助學(xué)生加深理解,為接下來學(xué)習(xí)基本不等式做準(zhǔn)備.環(huán)節(jié)2公式探究,深化理解問題在不等式a2-2ab+b2 ≥0(a,b ∈R)中,如果a ＞0,b ＞0,我們用a,b 分別替代a,b,可以得到什么不等關(guān)系?師生活動(dòng)生:ab ≤a+b 2,師引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)充不等式取等條件.追問可否嘗試?yán)貌坏仁降男再|(zhì)對(duì)上述不等式給出證明呢?師引導(dǎo)學(xué)生給出證明:法一:比較兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系,常用到作差法.a+b(ab=a+b-2ab a-b)2 2-2≥0,即a+b 2 ≥images/BZ_9_314_1529_369_1580.png=ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)取等,得證.法二:類比于利用完全平方公式(a-b)2 ≥0,證明a2+b2 ≥2ab 的過程,利用平方的非負(fù)性進(jìn)行說明.因?yàn)?a-b)2≥0,即a-2ab+b ≥0,移項(xiàng)得a+b ≥2ab,整理有a+b ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)取等,得證.法三:利用重要不等式a2+b2 ≥2ab,∵a2+b2 ≥2ab(a ＞0,b ＞0),∴a2+b2+2ab ≥4ab,∴(a+b)2 ≥4ab,∴(a+b)2 2 ≥師生活動(dòng)4≥ab,兩邊開方得a+b 2 ≥ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)取等,得證.法四:分析法(“執(zhí)果索因”)要證ab ≤a+b 2①,只要證2ab ≤a+b ②;要證②,只要證2ab-a-b ≤0 ③;要證③,只要證-(a-b)2≤0 ④;(要證④,只要證a-b)2≥0 ⑤.顯然,⑤成立,當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí),⑤中的不等式成立.師:通常稱不等式ab ≤a+b ab 與a+b 2 為基本不等式,其中ab 叫做正數(shù)a,b 的幾何平均數(shù).基本不等式表明:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均數(shù).進(jìn)一步觀察基本不等式,可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)兩個(gè)正數(shù)和為定值時(shí),乘積有最大值;乘積為定值時(shí),和有最小值.這為我們使用基本不等式解決最值問題提供了一定的線索,我們可以概括為“一正二定”.2 叫做正數(shù)a,b 的算術(shù)平均數(shù),設(shè)計(jì)意圖從代數(shù)角度對(duì)基本不等式給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明,幫助學(xué)生理解推導(dǎo)過程,形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).環(huán)節(jié)3探究感知,以形助數(shù)師生活動(dòng)在下圖2 中,AB 是圓的直徑,點(diǎn)C 是AB 上一點(diǎn),AC=a,BC=b.過點(diǎn)C 作垂直于AB 的弦DE,連接AD,BD.你能利用這個(gè)圖形,得出基本不等式的幾何解釋嗎?

images/BZ_33_405_349_672_604.png圖2師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn): a+b 是直徑AB,則a+b 2 表示圓的半徑;另可通過證明ΔACD∽ΔDCB,得AC CD=CD CB,則CD2=AC·CB=ab,因而ab 代表線段CD 長(zhǎng)度,由于CD 是半弦長(zhǎng),故小于或等于圓的半徑,用不等式表示為ab ≤a+b 2.師:上式中等號(hào)何時(shí)成立?生:當(dāng)且僅當(dāng)DE 為直徑時(shí)相等,此時(shí)點(diǎn)C 與圓心重合,半弦長(zhǎng)等于半徑,a=b,不等式的等號(hào)成立.師:利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示點(diǎn)C 在線段AB 上動(dòng)態(tài)移動(dòng)的過程,讓學(xué)生觀察線段CD 和半徑長(zhǎng)之間的關(guān)系,直觀感受ab 與a+b 2 之間的關(guān)系隨著a,b 大小關(guān)系的變化而發(fā)生的變化.設(shè)計(jì)意圖此探究環(huán)節(jié)類比之前由數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽抽象出重要不等式a2+b2 ≥2ab 的過程,利用幾何圖形研究代數(shù)不等式,從圖形的動(dòng)態(tài)變化過程中引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)基本不等式中包含的“相等”與“不等”的內(nèi)在聯(lián)系.為充分培養(yǎng)不同思維層次思維學(xué)生的直觀想象素養(yǎng),教師可先讓學(xué)生自行想象不等式取等時(shí)對(duì)應(yīng)的幾何圖形位置,再借助于結(jié)合畫板直觀演示.例1:已知x ＞0,求x+1 x 的最小值.解析:觀察x+1 x,求解的是和的最小值,但x 與1師生活動(dòng)x 乘積是一個(gè)定值;又考慮到x 與1 x 都是正數(shù),故可聯(lián)想到基本不等式,利用兩個(gè)正數(shù)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系,得到x+1√x=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1 x ≥2 x+1 x,即x2=1,x=1 時(shí),等號(hào)成立,因此所求最小值為2.例1 中x+1追問1 x ≥1 是否成立?若成立,可否認(rèn)為x+1 x 最小值是1?如果不能,請(qǐng)說明理由.師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),通過例題1 的證明可知x+1 x ≥1 顯然成立,但不能認(rèn)為x+1 x=1 的正數(shù)x 的取值.為幫助學(xué)生更好地理解考慮取等條件的必要性,教師可以引導(dǎo)學(xué)生拓展學(xué)習(xí)“函數(shù)的基本性質(zhì)”一節(jié)里對(duì)于函數(shù)最小值的定義:“一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M 滿足:(1)?x ∈I,都有f(x)≥m;(2)?x0 ∈I,使得f(x0)=m.那么我們稱m 是y=f(x)的最小值.”明確最小值除了要求滿足最小,也需要在定義域內(nèi)取得到.x 最小值是1,這是因?yàn)檎也坏娇梢宰寈+1師生活動(dòng)更一般地,如果y0 ＜2 時(shí),x+1 x ≥y0 成立嗎?這時(shí)能說y0 是x+1追問2 x(x ＞0)的最小值嗎?設(shè)計(jì)意圖通過例題熟悉使用基本不等式,通過兩次追問,由特殊到一般,引導(dǎo)學(xué)生思考“最小值”定義需要滿足“最小”以及“取得到”兩點(diǎn),認(rèn)識(shí)到在利用基本不等式解決最值問題時(shí)需關(guān)注等號(hào)是否可以取得、何時(shí)取得.即使用基本不等式需驗(yàn)證條件“一正、二定、三相等”.目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)當(dāng)堂演練.1.下列不等式證明過程正確的是()A.若a,b ∈R,則b √a+ a b=2 B.若x ＞0,y ＞0,則lg x+lg y ≥2√b ≥2 b a·a lg x·lg y C.若x ＜0,則x+4√x=-4 D.若x ＜0,則2x+2-x ＞2x ≥-2 x· 4 2x·2-x=2檢測(cè)目標(biāo):注意使用基本不等式的三個(gè)前提條件“一正、二定、三相等”,忽略某個(gè)條件,就會(huì)出錯(cuò).

2.已知x,y 都是正數(shù),求證:(1)如果積xy 等于定值P,那么當(dāng)x=y 時(shí),和x+y 有最小值2P;(2)如果和x+y 等于定值S,那么當(dāng)x=y 時(shí),積xy 有最大值1 4S2.3.證明(1)已知a,b ∈R,求證ab ≤(a+b 2)2.(2)已知a,b ∈R,求證(a+b 2.檢測(cè)目標(biāo):應(yīng)用基本不等式和不等式的性質(zhì)證明一些常用的變形形式,對(duì)利用不等式性質(zhì)進(jìn)行合理變形、運(yùn)算.2)2 ≤a2+b2 4.已知直角三角形面積等于50m2,當(dāng)兩條直角邊的長(zhǎng)度各為多少時(shí),兩條直角邊的和最小?最小值是多少?檢測(cè)目標(biāo):利用基本不等式理解和識(shí)別實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系,解決實(shí)際問題.設(shè)計(jì)意圖:通過練習(xí),提升學(xué)生熟練應(yīng)用基本不等式解決數(shù)學(xué)問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

3 教學(xué)反思

由于經(jīng)過長(zhǎng)期的專業(yè)訓(xùn)練,教師對(duì)教學(xué)的內(nèi)容非常熟悉,對(duì)學(xué)科的知識(shí)框架和各個(gè)知識(shí)模塊間的關(guān)系也爛熟于胸;而學(xué)生初次接觸知識(shí),雖懷有好奇心和求知欲,但由于學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、理解能力存在差異,他們不可避免地會(huì)產(chǎn)生畏難心理.師生在學(xué)習(xí)經(jīng)歷和認(rèn)知水平上的差異,往往會(huì)導(dǎo)致在理解新知上的矛盾和沖突,學(xué)生可能會(huì)對(duì)教師覺得順理成章的知識(shí)感到突兀,對(duì)教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)的知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生混淆,學(xué)習(xí)時(shí)感到困惑.教與學(xué)的起點(diǎn)不同,教師如果對(duì)學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平、學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等沒有更準(zhǔn)確地掌握,而僅僅根據(jù)自身的知識(shí)積累設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié),課堂效率必然不高.為了使學(xué)生充分理解知識(shí)的來龍去脈,并熟練地加以應(yīng)用,教師不妨稚化自身的思維,即有意模仿學(xué)生的思維模式,從初學(xué)者的角度出發(fā),發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能遇到的思維的困難點(diǎn),進(jìn)而運(yùn)用自身的專業(yè)知識(shí)與專業(yè)技能,基于學(xué)情和教學(xué)實(shí)際,精心創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境、安排合理的課堂活動(dòng)、巧設(shè)問題串、適當(dāng)延伸拓展等,突破重難點(diǎn).

在本節(jié)課的教學(xué)片段設(shè)計(jì)中,筆者嘗試了稚化思維.在設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)的過程中,充分了解了學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn);仔細(xì)推敲了新教材當(dāng)中的哪些內(nèi)容是學(xué)生理解起來感到困難抽象的,以及他們覺得困難的原因是什么,并在此基礎(chǔ)上對(duì)教學(xué)過程做出適當(dāng)補(bǔ)充、調(diào)整.例如學(xué)生之前未接觸過用分析法進(jìn)行證明,教師可積極肯定、嘗試學(xué)生用作差法證明基本不等式的思路,或類比重要不等式的證明;在探究基本不等式的幾何解釋時(shí),教師可適當(dāng)使用幾何畫板工具,動(dòng)態(tài)演示,直觀揭示“相等”與“不等”的內(nèi)在聯(lián)系;為便于學(xué)生理解例1 解答中引入的抽象的符號(hào)語(yǔ)言y0,可先讓學(xué)生思考y0=1 的特殊情形,再過渡到一般……

核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的課堂教學(xué)應(yīng)該突出培養(yǎng)適應(yīng)學(xué)生個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)需要的人的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì),注重突出以學(xué)生主體、合作參與.教師在設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí),要“既見樹木又見森林”,除了關(guān)注本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn),也要知其所以然,理得清知識(shí)的來龍去脈、前后聯(lián)系,知曉該節(jié)課在所處的知識(shí)單元中的地位和作用,從整體上把握教材,幫助學(xué)生形成整體知識(shí)系統(tǒng)意識(shí),關(guān)注知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系.同時(shí),教師也需要在學(xué)生已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上,對(duì)教學(xué)環(huán)節(jié)作出適當(dāng)調(diào)整,準(zhǔn)確把握學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),以新舊知識(shí)的連接點(diǎn)作為教學(xué)起點(diǎn),充分估計(jì)其認(rèn)知障礙,講在關(guān)鍵處,充分挖掘?qū)W生的錯(cuò)解;需要教師深刻理解教學(xué)過程,避免“填鴨式”的教法,而應(yīng)從課程特征出發(fā),以訓(xùn)練學(xué)生思維為目的,給予學(xué)生更多嘗試、探索的機(jī)會(huì),成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的引導(dǎo)者、組織者,讓學(xué)生學(xué)會(huì)合作、學(xué)會(huì)交流,發(fā)展能力、提升素養(yǎng).

章建躍老師認(rèn)為:“從數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學(xué)生思維過程的合理性上加強(qiáng)思考,這是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn).”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過程,它有賴于教師對(duì)于核心素養(yǎng)的深刻理解和對(duì)教學(xué)環(huán)節(jié)的精心設(shè)計(jì).如何以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體,基于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)確定教學(xué)目標(biāo)、設(shè)計(jì)教學(xué)過程、開展教學(xué)活動(dòng)、設(shè)置科學(xué)的評(píng)價(jià)方式,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力,將是我們一線教師在今后教學(xué)中不斷思考與研究的的問題.