保對(duì)稱矩陣張量積冪等的線性映射*

鄧 琳，鄭克禮，徐金利

(東北林業(yè)大學(xué))

0 引言

設(shè)Mm和Sm分別是復(fù)數(shù)域C上m×m全矩陣和對(duì)稱矩陣全體，Pm是Sm中全體冪等矩陣構(gòu)成的子集，即Pm={A∈Sm:A2=A}. Chan最早研究了Mm上保持矩陣冪等性映射的結(jié)構(gòu)[1]，之后佟鑫和曹重光研究了對(duì)稱矩陣空間之間保持矩陣冪等性的映射結(jié)構(gòu)[2]，得到了以下定理：

定理1.1[2]設(shè)m≥n，線性映射Ψ:Sm→Sn保持矩陣冪等性，即

A∈Pm?φ(A)∈Pn

當(dāng)且僅當(dāng)φ=0或m=n且存在正交矩陣T∈Mmm使得

φ(X)=TXT-1,?x∈Sm.

近年來，李志光教授將矩陣保持問題與量子信息科學(xué)聯(lián)系起來，提出矩陣張量積空間上的保持問題.該問題將不變量的范圍縮小到純張量的范圍，其潛在的物理意義是通過僅測(cè)試純態(tài)的特點(diǎn)來刻畫通道的性質(zhì).可以參看文獻(xiàn)[3-7]了解更多與量子信息科學(xué)相關(guān)的保持問題.

該文刻畫具有性質(zhì)保持對(duì)稱矩陣張量積冪等的線性映射φ:Sm?Sn→Smn，即

A?B∈Pmn?φ(A?B)∈Pm

該文的主要結(jié)果是：

定理1.2 設(shè)m,n≥2，則線性映射φ:Sm?Sn→Smn滿足

A?B∈Pmn?φ(A?B)∈Pmn

(1)

當(dāng)且僅當(dāng)φ=0或存在正交矩陣T∈Mmn使得

φ(X)=TXT-1,?X∈Sm?Sn.

1 預(yù)備結(jié)果

在該節(jié)給出幾個(gè)預(yù)備引理：

引理1.1 設(shè)U,V∈Mn是可逆矩陣，如果對(duì)任意的X∈Sn有UX=XV則U=V=λIn，其中λ≠0.

證明分別取X=Eii,i=1,…,n，由UEii=EiiV可得U與V都是對(duì)角陣，再取X=Eij+Eji,1≤i

引理1.2[8]設(shè)t是一個(gè)正整數(shù)，P1,…,Pt∈Pmn滿足Pi+Pj∈Pmn，1≤i

ri=rank(Pi)，i=1,…,t,則存在正交陣T∈Mmn使得

Pi=Tdiag(0r1,…,0ri-1Iri,0mn-r1-…-ri)T-1,

i=1,…,t.

為了方便定理1.2的證明，在該節(jié)最后再給出兩個(gè)通過冪等條件刻畫矩陣的引理：

引理1.3 設(shè)正整數(shù)r,s滿足r+s≤mn，如果P∈Pr及X，0s⊕P⊕0mn-r-s-X∈Pmn，則存在Xr∈Pr使得

X=0s⊕Xr⊕0mn-r-s.

證明類似于文獻(xiàn)[4]，直接驗(yàn)算即可.

引理1.4 設(shè)A=Pr⊕0s⊕0mn-r-s∈Pmn，B=0r⊕Ps⊕0mn-r-s∈Pmn，x∈Smn. 如果

(2)

及

(3)

則X2=A+B并且

其中X12∈Mr×s

證明顯然有AB=BA=0，再由(2)可以直接算出

于是

X2=A+B

進(jìn)而

類似的，由(3)得

這表明

X=AX+XA=BX+XB

由上式，并注意到A,B的形式，可得

其中X12∈Mr×s

2 保對(duì)稱矩陣張量積冪等線性映射的刻畫

該節(jié)給出定理1.2的證明.

定理1.2充分性是顯然的，下面證明必要性.為了使定理其余的證明過程清晰，分成以下三個(gè)命題：

命題2.1 設(shè)P∈Pm.如果

φ(P?In)=0s⊕Ir⊕0mn-r-s

(4)

其中r,s是非負(fù)整數(shù)，則存在線性映射ψ:Sn→Sr使得

φ(P?X)=0s?ψ(X)⊕0mn-r-s,?X∈Sn

并且

B∈Pn?ψ(B)∈Pr

(5)

證明任取Sn中的冪等矩陣B，由

P?(In-B)∈Pmn

得到

φ(P?In-B))∈Pmn

因此有

0s⊕Ir⊕0mn-r-s-φ(P?B)∈Pmn

再由φ(P?B)∈Pmn應(yīng)用引理1.3，得到φ(P?B)具有形式

φ(P?B)=0s⊕ψ(B)⊕0mn-r-s

由B的任意性，可知

φ(P?X)=0s⊕ψ(X)⊕0mn-r-s,?X∈Sn

并且ψ是Sn→Sr保持對(duì)稱矩陣的冪等性的線性映射.

命題2.2 如果某個(gè)i，有rankφ(Eii?In)

證明因?yàn)?/p>

Eii?In,i=1,…,m

及

(EiiEjj)?In,1≤i

都是可寫成純張量的對(duì)稱冪等陣，由φ的性質(zhì)(1)得

φ(Eii?In)∈Pmn,i=1,…,m

和

φ(Eii?In)+φ(Ejj?In)∈Pmn,

1≤i

記

ri=rankφ(Eii?In),i=1,…,m

由引理1.2可知存在正交陣T使得

φ(Eii?In)=Tdiag(0r1,…,0ri-1Iri,0mn-r1-…-ri)T-1,i=1,…,m.

φ(Eii?In)=diag(0r1,…,0ri-1Iri,0n-r1-…-ri),i=1,…,m.

如果存在某個(gè)1≤i≤m使得ri

φ=0，不失一般性，設(shè)r1

φ(E11?In)=Ir1⊕0mn-r1

應(yīng)用命題2.1知，存在從Sn到Sr1滿足(5)的映射ψ使得

φ(E11?X)=ψ(X)⊕0mn-r1,?X∈Sn

因?yàn)閞1

φ(E11?X)=0,?X∈Sn

(6)

任取B∈Pn，因?yàn)?/p>

及

都是可寫成純張量的對(duì)稱冪等陣，由φ的性質(zhì)(1)和引理1.4得

φ((E1j+Ej1)?B)=0,j=2,…,m

及

φ(Ejj?B)=0,j=2,…,m

同理可得

φ((Eij+Eji)?B)=0,1≤i

由φ的線性可知

φ(A?B)=0,?A∈Sm.

由B的任意性，得到φ=0.

下面總假定φ=0.

命題2.3 設(shè)A1,…,Am∈Pm,如果rankAi=1,1≤i≤m，并且Ai+Aj∈Pm，1≤i

φ(Ak?X)=Q(Ekk?X)Q-1,?X∈Sn,

k=1,…,m.

證明由于假定φ=0，由命題2.2有

rankφ(Ak?In)=n,k=1,…,m.

事實(shí)上，如果某個(gè)rankφ(Ak?In)>n，則一定有1≤i≤m使得rankφ(Ai?In)

再由引理1.2知，存在正交陣T∈Mmn使得

φ(Ak?In)=T(Ekk?In)T-1,k=1,…,m.

再應(yīng)用命題2.1得

φ(Ak?X)=T(Ekk?ψk(X))T-1,?X∈Sn,k=1,…,m

其中ψk≠0且滿足(5).

由定理1.1，存在正交陣Pk∈Mn使得

令Q=T(P1⊕…⊕Pm),則有

ψ(Εkk?X)=Q(Ekk?X)Q-1,?X∈Sn,

k=1,…,m.

由命題2.3，不失一般性，可以設(shè)

φ(Ekk?X)=Ekk?X,?X∈Sn,k=1,…,m.

(7)

為了表述方便，對(duì)1≤i

Dij=Eij+Eji.

容易看出，Ekk,1≤k≤m,Dii,1≤i

余下的證明分為3步：

第1步 存在λij∈C,1≤i

證明為了方便，僅對(duì)i=1,j=2時(shí)給出證明，其他情況的證明是類似的.令

Ak:=Ekk,k=3,…,m(m≥3)

由命題2.3，存在正交陣Q∈Mmn使得對(duì)任意的X∈Sn有

φ(Ak?X)=Q(Ekk?X)Q-1,k=1,…,m.

(8)

由(7)和(8)可得

Ekk?X=Q(Ekk?X)Q-1,k=3,…,m

(9)

記Q=[Qij]m×m，其中Qij∈Mn，取X=In，由(9)得

(Ekk?In)Q=Q(Ekk?In),k=3,…,m

因此

(10)

記

其中T11,T12,T21,T22∈Mn，由(7)，(8)和(10)知對(duì)任意的X∈Sn有

φ(D12?X)=

(11)

及

φ(D12?X)=

(12)

任取B∈Pn，因?yàn)?/p>

及

都是可寫成純張量的對(duì)稱冪等陣，由φ的性質(zhì)(1)和引理1.4得

其中Y∈Mm.再由B的任意性，可得

(13)

其中*代表一個(gè)與X有關(guān)的m階矩陣.

取X=In,由(11)，(12)和(13)可得

2Q11T11=2Q22T22=2Q21T21=2Q12T12=In.

這表明T11,T21和Q22是可逆陣.再由(11)，(12)和(13)可得

由引理1.1得(T11)-1T21=λ12In.再由(11)可得

?X∈Sn.

第2步 如果m≥3，則對(duì)1≤i

證明

是可寫成純張量的對(duì)稱冪等陣，由φ的性質(zhì)(1)和(7)結(jié)合第1步所得結(jié)果可知

(14)

由(14)得λijλjk=λik.

第3步 令

則

φ(A?B)=T(A?B)T-1,?A∈Sm,B∈Sn.

這就證明了定理1.2的必要性.