基于t分布變換的新變步長LMS算法

伍彩云，李汶東

(沈陽理工大學 裝備工程學院，沈陽 110159)

自適應濾波器在許多信號處理應用中起著非常重要的作用[1]，如回波抵消、線路增強、信道均衡、系統(tǒng)識別和時延估計[2]等。由于橫向結(jié)構FIR濾波器實施方便，最小均方(Least Mean Squares，簡稱LMS)算法運算簡單，因而基于LMS算法的橫向自適應濾波器在信號處理領域獲得廣泛應用[3]。然而隨著實際應用條件的不斷變化，LMS算法越來越難以滿足實際需求，原因是經(jīng)典LMS算法自身存在著諸多缺陷，如隨著輸入自相關矩陣最大特征值與最小特征值之比的增大，算法收斂速度會降低。研究者們提出了一些解決這一問題的方法，其中二維最小均方誤差(Two Dimensional Least Mean Square，TDLMS)算法是較流行的一種，其利用正交變換和功率歸一化對輸入信號進行去相關，改善了輸入自相關矩陣的特征值分布，從而提高了收斂速度[4]。經(jīng)典LMS算法還有一大缺陷，步長一旦選定即不能再改變，步長一旦過大，收斂速度雖會加快，但穩(wěn)態(tài)誤差同時也會增大，收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差不能同時得到滿足[5]；所以產(chǎn)生多種改進方法和思路，如步長隨誤差變化而變化的可變步長類LMS算法。除此之外，還有如文獻[6]提到的一種改進的收斂LMS濾波器，其將兩個不同步長的基本LMS濾波器并行結(jié)合，稱為CLMS(Convex Combination of Least Mean Square)算法；該濾波器被認為是收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的最佳組合，其要求濾波器系數(shù)從一個LMS濾波器轉(zhuǎn)移到另一個LMS濾波器，但該復合結(jié)構的實現(xiàn)成本既包括LMS濾波器單元的成本，也包括系數(shù)傳遞方案的成本。現(xiàn)有的各類改進LMS算法雖然取得了一定成效，但仍難以在不同的應用條件下繼續(xù)發(fā)揮良好的作用，所以針對LMS算法的改進仍是目前的研究熱點之一。

在不顯著增加計算量及復雜程度的前提條件下，初始收斂速度、系統(tǒng)突變后的跟蹤能力及穩(wěn)態(tài)失調(diào)是衡量自適應濾波算法優(yōu)劣的三個最重要的技術指標[7]?？紤]到現(xiàn)有的變步長LMS算法依然存在的收斂速度慢、跟蹤能力弱、穩(wěn)定性能不足等實際效果不理想這類問題，有必要研究新的變步長算法，以實現(xiàn)更加理想的實際應用效果。本文對多種變步長算法的基本原理進行分析研究，在此基礎上提出基于變換的t分布變步長最小均方(Base On Various T-Distribution Least Mean Square，BVTLMS)算法，進一步優(yōu)化算法的收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差，使得該算法在實際數(shù)據(jù)條件下具有更好的性能。

1 LMS算法

LMS算法是一種根據(jù)期望與輸出之間的誤差來不斷調(diào)整權系數(shù)矩陣，從而進一步控制均方誤差達到最小的自適應控制算法。基于經(jīng)典固定步長LMS算法的濾波器原理如圖1所示，其中s(n)代表干擾信號。

經(jīng)典的固定步長LMS的遞推公式為

W(n)=[b0(n)，b1(n)…bM-1(n)]T

(1)

X(n)=[x(n)，x(n-1)…x(n-M+1)]T

(2)

Y(n)=WT(n)X(n)

(3)

e(n)=d(n)-Y(n)

(4)

W(n+1)=W(n)+2μ(n)X(n)e(n)

(5)

(6)

式中：n為系統(tǒng)采樣點；X(n)和Y(n)分別代表輸入和輸出信號；W(n)代表權值系數(shù)矩陣；d(n)為期望信號，即最終需要抵消的信號；e(n)代表期望信號與輸出信號的誤差；式(6)是步長因子μ的收斂條件；λmax為輸入信號的自相關矩陣的最大特征值。LMS算法的缺點是步長因子μ(n)固定不變，所以實現(xiàn)對步長的控制是變步長算法研究中的關鍵問題。

2 變步長算法研究

2.1 變步長算法原理

變步長算法基本原理是指算法在初始收斂階段設置較大的步長，然后誤差e(n)動態(tài)調(diào)整步長的大小，在誤差e(n)接近0處，步長減小到一個較小的值以盡量減小穩(wěn)態(tài)誤差[8]。如基于雙曲正弦函數(shù)[9]、對數(shù)函數(shù)[10]、指數(shù)函數(shù)[11]、反正切函數(shù)[12]等多種變步長算法，都能做到符合基本原理，但在誤差e(n)趨于0時，穩(wěn)態(tài)時的步長依然很大，穩(wěn)態(tài)失調(diào)量不能維持在較低的水平；其它變步長算法同樣具有類似的問題，導致這些算法在實際更為復雜的應用環(huán)境中表現(xiàn)得并不十分理想。

2.2 基于t分布的變步長算法

2.2.1 t分布概率密度函數(shù)特征簡析

t分布概率密度函數(shù)表達式在實數(shù)域上為

(7)

式中：k為自由度，且k>0；Gam是伽馬(Gamma)函數(shù)，即

(8)

當y>0時，Gam(y)>0。由式(7)和式(8)可以得到自由度k=1時的t分布概率密度函數(shù)圖像，如圖2所示。

圖2 k=1時t分布概率密度函數(shù)圖像

圖2中t分布概率密度函數(shù)的圖像先是呈現(xiàn)出關于e(n)=0左右對稱的基本特征；當誤差e(n)靠近0時，f(n)函數(shù)值變化速率越來越快；當誤差e(n)遠離0時，f(n)函數(shù)值變化速率越來越緩慢，具有中間高、兩邊低的特點。因此，可利用t分布概率密度函數(shù)來構造變步長算法中的函數(shù)或變量，滿足步長先快后慢的特點。

2.2.2 變換后的變步長算法

由于已知伽馬函數(shù)在y>0時恒為正的特性，所以直接對式(7)取倒數(shù)，得到

(9)

為使式(9)在變量e(n)為0時收斂到0，再對其變換，得到

(10)

由于伽馬函數(shù)涉及到積分運算，導致算法計算量增大，因此利用式(10)以及Gam函數(shù)的特性，得到式(11)，其中α為與Gam函數(shù)相關的參數(shù)；β為新的自由度。

(11)

由式(6)的收斂條件可知，步長必須控制在最大值以內(nèi)，所以對式(11)再次變換，得到函數(shù)為

(12)

將式(11)帶入到式(12)中，得式(13)。

(13)

(14)

因為函數(shù)Q(n)影響變步長因子γ(n)，從而影響算法的收斂速度，所以，接下來分別研究Q(n)中的參數(shù)α、β和η不同取值時對于Q(n)的影響，即α、β和η對算法的影響。

2.2.3 參數(shù)α、β和η對算法的影響

由式(10)和式(11)可知α的表達式為

(15)

參數(shù)α隨t分布中的自由度k的變化曲線如圖3所示。

由圖3可以看出，隨著自由度k的變化，α的取值范圍在2.5～7之間。

圖3 α隨k的變化曲線

對于式(13)，分析當α、β和η中的某兩個參數(shù)取固定值時，剩余一個變量和誤差e(n)對函數(shù)Q(n)的影響，得到如圖4所示的結(jié)果。

圖4 三個參數(shù)對曲線的影響

如圖4a所示，當β=3、η=1、-3

從圖4b可以看出，當α=3，η=3和-3

當α=3，β=3和-3

由以上分析可得參數(shù)的變化對收斂速度的影響，如表1所示。

表1 參數(shù)變化對算法收斂速度的影響

3 算法的仿真與對比

3.1 新算法與已有算法的仿真性能對比

首先，選擇固定步長算法和被廣泛使用的文獻[8]中的SVSLMS算法作為對照組算法，固定步長LMS的取值根據(jù)文獻[8]選擇0.1；SVSLMS算法的最優(yōu)參數(shù)為α=1、β=1.5；BVTLMS算法經(jīng)綜合考慮，選取的最優(yōu)參數(shù)為：α=3，β=2，η=0.0001。

其次，為充分檢驗BVTLMS算法的性能，再增加兩種新型步長算法作為對比。由于式(13)在形式上接近分式函數(shù)，所以選用文獻[13]中基于分式函數(shù)改進的VXLMS算法作為對比。另一方面，由于t分布在自由度接近于無窮時近似于正態(tài)分布，所以再選用文獻[14]中的基于正態(tài)分布函數(shù)算法作為對比。文獻[13]的最優(yōu)參數(shù)為a=5、b=1、c=0.12，文獻[14]的最優(yōu)參數(shù)為α=1、β=0.13、A=0.3。

利用Matlab工具對BVTLMS算法進行仿真。設定采樣點數(shù)為1000(采樣點數(shù)即為迭代次數(shù))，擬定一種余弦信號作為輸入信號，將輸入信號與另一正弦信號混合后的信號作為期望信號。傳遞路徑系數(shù)擬為[0.5，0.4]，在第500個采樣點處，傳遞路徑發(fā)生突變，系數(shù)變?yōu)閇0.9，0.3]。選取的濾波器階數(shù)為2，仿真次數(shù)為100并取平均值。在此條件下，分別得到基于固定步長算法、SVSLMS算法、基于正態(tài)分布算法、VXLMS算法和BVTLMS算法的仿真結(jié)果，如圖5a～圖5e所示，據(jù)圖5分析各種算法的收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和跟蹤能力。

圖5 各種算法的仿真結(jié)果

由圖5可以看出，在未知系統(tǒng)未發(fā)生突變前，圖5e算法在第200次迭代附近收斂到穩(wěn)態(tài)；圖5b算法在第400次迭代接近收斂到穩(wěn)態(tài)；而圖5a算法、圖5c算法及圖5d算法未收斂到穩(wěn)態(tài)。從穩(wěn)態(tài)誤差角度分析，圖5e算法在進入穩(wěn)態(tài)后，基本沒有明顯的波動；而圖5b算法在第400次迭代后穩(wěn)態(tài)失調(diào)量較大。從跟蹤能力角度分析，當未知系統(tǒng)在第500次迭代時發(fā)生突變后，圖5e算法繼續(xù)維持了突變前的優(yōu)勢性能，重新快速收斂后保持了較低的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量；圖5b算法反應也較快，在第700次迭代附近接近于收斂，但穩(wěn)態(tài)失調(diào)量相較于圖5e算法還是較大；而圖5a算法和圖5c算法及圖5d算法依然難以判斷是否收斂到穩(wěn)態(tài)。所以，從仿真結(jié)果可以看出，本文提出的BVTLMS算法效果明顯好于對照組中的其它算法。

3.2 使用實際數(shù)據(jù)檢驗算法性能

為檢驗新算法在實際條件下的效果，實際數(shù)據(jù)采用某型號的發(fā)動機2000r/min噪聲數(shù)據(jù)作為輸入信號x(n)，傳遞路徑在試驗過程中不發(fā)生空間位置的變化；期望信號d(n)為經(jīng)過傳遞路徑的輸入信號與中途突然加入的復合音頻干擾噪聲s(n)的混合信號；采樣點數(shù)為500，采樣點數(shù)也是迭代次數(shù)；傳遞路徑系數(shù)經(jīng)測試可知為[0.556，0.178，0.324，0.897，0.445，0.664]，實際信號數(shù)據(jù)如圖6所示。

圖6 輸入信號、期望信號和干擾噪聲信號

圖7a～圖7c分別是基于正態(tài)分布算法、VXLMS算法和BVTLMS算法的實驗結(jié)果。在收斂速度方面，圖7c算法在第180次迭代附近收斂；圖7b和圖7a算法則未進入到穩(wěn)態(tài)。在穩(wěn)態(tài)誤差方面，7c的新算法波動幅度極小。在追蹤能力方面，盡管干擾信號在中間第100次迭代附近開始發(fā)生顯著變化，但圖7c算法保持了良好的跟蹤控制能力，相比較之下跟蹤誤差更小。對比結(jié)果表明圖7c算法更為優(yōu)異。

圖7 三種算法實驗結(jié)果對比

4 結(jié)束語

針對自適應濾波算法進行了研究。為提高LMS算法的性能，分析了多種變步長算法的基本原理，對t分布概率密度函數(shù)變換后提出了改進的變步長BVTLMS算法，進一步分析了參數(shù)α、β和η對算法的影響，利用仿真驗證了改進后的算法具有較高的精度和較快的收斂速度，最后通過實驗進一步表明了本文提出的BVTLMS算法性能優(yōu)于已有的兩種新型變步長LMS算法。