基于Griffith斷裂準(zhǔn)則的根系固土力學(xué)模型

眭子凡，易 文

（中南林業(yè)科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410004）

公路建設(shè)過程中，土體填挖會產(chǎn)生大量穩(wěn)定性差、易引發(fā)地質(zhì)災(zāi)害的邊坡，對人類生命及財(cái)產(chǎn)安全產(chǎn)生嚴(yán)重威脅。因此，制定科學(xué)合理、經(jīng)濟(jì)有效的公路護(hù)坡方案是公路建設(shè)的重要內(nèi)容。早期，常采用建擋土墻、加錨桿或噴射混凝土等傳統(tǒng)施工手段穩(wěn)固公路邊坡的坡體，以減少水土流失防止邊坡失穩(wěn)，但存在成本高、易失效及不可持續(xù)發(fā)展等問題。利用植被涵水固土功能的生態(tài)護(hù)坡技術(shù)，在穩(wěn)固邊坡的基礎(chǔ)上，兼顧著生態(tài)脆弱區(qū)的景觀恢復(fù)與重建，具有更好的經(jīng)濟(jì)效益及景觀效果[1]。

生態(tài)護(hù)坡主要是利用植物莖葉減緩雨水對邊坡沖刷的水文效應(yīng)，以及植物根系與土體間產(chǎn)生的附著力[2]，增強(qiáng)土體的抗剪強(qiáng)度，從而加強(qiáng)邊坡的長期穩(wěn)定性[3]。目前，國內(nèi)外學(xué)者建立了一些力學(xué)模型分析根系固土的原理，其中最具代表性的模型主要包括：Wu 氏模型、Riproot 纖維束模型（又稱為FBM 模型，F(xiàn)iber Bundle Model）[4-5]。然而，植物根系的力學(xué)特性尚未完全明確，根土間相互作用理論仍不夠完善，Wu 氏模型抗剪強(qiáng)度的計(jì)算結(jié)果普遍偏大[6-7]，精度不高。FBM 纖維束模型利用復(fù)合材料理論提高了計(jì)算精度，但其概率密度函數(shù)的擬定復(fù)雜，計(jì)算結(jié)果受植物根密度參數(shù)影響較大，可靠性不足。

繼Porter 首次將斷裂力學(xué)原理應(yīng)用于植物材料后，國內(nèi)外科研人員發(fā)現(xiàn)該理論在分析生物復(fù)合材料斷裂性質(zhì)相關(guān)問題時具有指導(dǎo)作用[8]。本研究基于材料力學(xué)與斷裂力學(xué)理論，探討植物根系在斷裂過程中可能發(fā)生的損傷斷裂模式，建立植物根系斷裂物理模型，估算根土復(fù)合材料在失效破壞過程中所消耗的能量，基于Griffith 斷裂準(zhǔn)則，運(yùn)用功能轉(zhuǎn)換原理構(gòu)建精確的根-土復(fù)合體力學(xué)模型，求解根-土復(fù)合體的抗剪強(qiáng)度增量。利用已發(fā)表的霸王Zygophyllum xanthoxylon、檸條錦雞兒Caragana korshinskii根-土復(fù)合體的直剪試驗(yàn)數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)?zāi)芰糠Ｐ偷目煽慷燃坝行?，為預(yù)測根系固土力學(xué)效應(yīng)及評價(jià)生態(tài)邊坡穩(wěn)定性提供理論依據(jù)。

1 Wu 氏模型與FBM 模型分析

1.1 Wu 氏模型

20世紀(jì)70年代，基于材料力學(xué)和結(jié)合極限平衡理論，Wu 等[9]首次建立了植物根土相互作用的力學(xué)模型。該模型假設(shè)植物根系垂直分布于坡面，具有足夠的錨固長度，受力過程中，不會被拔出只會被拉斷，且所有根系斷裂發(fā)生在同一時刻。土體受剪時，根系錯動拉長產(chǎn)生拉應(yīng)力，從而提高根土復(fù)合體抗剪強(qiáng)度。根系對土體的這種“加筋”作用主要體現(xiàn)在粘聚力的增加上，其抗剪強(qiáng)度增量計(jì)算式為：

式中：Ti為各根系的抗拉強(qiáng)度；ni為不同橫截面積對應(yīng)根的個數(shù)；ai為各根系的橫截面積；As為根土復(fù)合體的橫截面積；θ為根系錯動后傾斜面與豎直方向夾角。

Wu 等[9]和Waldron 等[10]的試驗(yàn)研究的結(jié)果表明，傾角θ與摩擦角φ分別處于45°～90°、25°～40°之間，因此1.0≤sinθ+cosθ·tanφ≤1.3，可簡化取為1.2。

Wu 氏模型是通過力學(xué)分析來實(shí)現(xiàn)剪切強(qiáng)度的求解，分析簡單，使用方便。對于精度要求不高的情況下，適用于植物護(hù)坡抗剪強(qiáng)度的計(jì)算。由于Wu 氏模型建立過程中，假定所有根系同時發(fā)生斷裂，簡化了根系與土體間互作關(guān)系。實(shí)際情況，當(dāng)根系與土體間接觸力不足時，根系存在未達(dá)到斷裂強(qiáng)度被拔出的現(xiàn)象，這將高估根土復(fù)合體抗剪能力而低估邊坡穩(wěn)定性分析時的安全系數(shù)。Waldron 等[10]考慮到植物根系同時被拉斷及拔出的情形，對Wu 氏模型進(jìn)行了改進(jìn)，同時探討了與剪切面斜交的植物根系模型，但計(jì)算過程復(fù)雜，限制了其應(yīng)用范圍。

1.2 FBM 模型

Gray 等[11]認(rèn)為，植物根系類似纖維材料，通過與土壤摩擦、咬合實(shí)現(xiàn)兩者緊密結(jié)合。根系在抵抗剪切破壞時的拉伸斷裂過程，可通過線彈性力學(xué)進(jìn)行分析?；趶?fù)合材料理論，Pollen 和Simon[12]提出并驗(yàn)證了根土相互作用纖維束模型，這類模型更契合土體受力時根系的實(shí)際破壞過程，計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。該模型可反映土體中根系受力破壞的完整情況[13]，Riproot 模型動態(tài)過程的控制方程可以表示為[14]：

式中：ti為初始荷載下第i根根系抗拉力；tn為所有根系所受的總拉力；p(σth)為荷載的分布函數(shù)。

其中纖維束模型中，荷載的分布函數(shù)的選擇決定著模型的精度以及計(jì)算復(fù)雜程度，常用的兩種分布函數(shù)為均勻分布函數(shù)和Weibull 分布函數(shù)[15]。

纖維束模型摒棄了Wu 氏模型中根系同時瞬間斷裂的假設(shè)條件，較符合實(shí)際剪切過程。選擇合適的分布函數(shù)后，計(jì)算的抗剪強(qiáng)度與試驗(yàn)結(jié)果間差別較小，精度高。但纖維束模型假設(shè)根系承受所有剪切面上的力，估算的抗剪強(qiáng)度受根系密度影響較大。當(dāng)根系密度過大或過小時，估算的偏差較大。同時概率密度函數(shù)中的各項(xiàng)參數(shù)受植種樹齡等因素影響，是不斷發(fā)生變化的，這將導(dǎo)致FBM 模型計(jì)算復(fù)雜，實(shí)際應(yīng)用受限。

2 基于Griffith 斷裂準(zhǔn)則下能量模型的構(gòu)建

2.1 根系拔出功與斷裂功

裂紋體的受力狀態(tài)及裂紋的擴(kuò)展方式存在張開型、滑開型和撕開型3 種典型情況（如圖1），在斷裂力學(xué)中，張開型裂紋為最危險(xiǎn)的狀態(tài)，最具代表性。根土復(fù)合體中植物根系的失效破壞可看作一種張開、滑開復(fù)合型裂紋產(chǎn)生的過程，隨剪切力的增大，土體間出現(xiàn)錯動，根系將呈現(xiàn)出根系斷裂及根系拔出兩種狀態(tài)，在此過程中將產(chǎn)生能量的轉(zhuǎn)換。

圖1 裂紋形式Fig.1 Crack form

根土復(fù)合體受力時，體系吸收的外力功將轉(zhuǎn)變成體系的彈性能，隨著外力的不斷增大，裂紋萌生，此時，裂紋體的彈性能降低，裂紋間表面能增加。結(jié)合植物材料斷裂力學(xué)可知，若根系斷裂長度為l，儲藏在長度為dx的根系的彈性能Uf為：

根系斷裂后，根系相對土體錯動u(x)所做的功Ufm為：

剪切過程中，根系先被拉長隨后在薄弱處或缺陷處斷裂，回縮釋放出彈性變形能，隨后土體內(nèi)應(yīng)力重新分布根系發(fā)生錯動。因此，單位橫截面上N根根系斷裂的斷裂功Gfu可表示為：

式中：σ為根系斷裂時的最大拉應(yīng)力；E為根系的彈性模量；Rf根系平均半徑；τ為土體中根系界面剪應(yīng)力；u(x)為根系相對土體移動距離；Vf為土體中根系體積分?jǐn)?shù)。

根系拔出時，土體中根系斷口距斷裂面的距離為l/2，則根系被拔出阻力為πRf(l/2-x)τ，坡面破裂面處根系受力為T，如圖2所示。此時拉力與阻力平衡，處于臨界狀態(tài)時，因此，根據(jù)剪滯理論，根系拉力T可表示為：

圖2 根系拉拔受力分析Fig.2 Root pulling force analysis

忽略根系在受力過程中變形，設(shè)單位斷裂面上有N根根系被拔出，則根系拔出所需要做的功Gf為：

2.2 根-土復(fù)合體的斷裂韌性

作為一種纖維增強(qiáng)材料的植物根系，其性能和斷裂破壞規(guī)律取決于組分材料性質(zhì)和細(xì)觀結(jié)構(gòu)特征，其斷裂是多種損傷模式相互作用的失效過程（如基體開裂、界面脫黏、纖維斷裂及分層）[16]，因此根系斷裂發(fā)生時將有多種能量的變化，可表示為：

式中：Gm為根系斷裂時單位面積基體組織開裂所吸收的能量；Gi是根系斷裂時界面分層開裂所吸收的能量；Gfu是根系在斷裂時單位面積所吸收的能量；Gf為根系拔出時單位面積吸收的能量。

顯然，由以上轉(zhuǎn)換關(guān)系可知，通過分析根系在受剪過程中多種能量對其斷裂韌性的貢獻(xiàn)率，可求得根-土復(fù)合體的抗剪強(qiáng)度增量。根據(jù)Shao等[17]的相關(guān)研究可知，根系的斷裂能和拔出能在材料的整個失效過程中占主導(dǎo)作用，而基體組織開裂及分層開裂產(chǎn)生的能量消耗相對小的多，為簡化計(jì)算在此暫不考慮。

2.3 根系固土力學(xué)模型的構(gòu)建

自然界中的能量總量保持不變，只在形式和物體間發(fā)生轉(zhuǎn)換。植物加固邊坡過程中，根-土復(fù)合體發(fā)生破壞的過程即是根系與土體中產(chǎn)生裂紋并進(jìn)一步擴(kuò)展的過程。結(jié)合斷裂力學(xué)中斷裂韌性概念[18]可知，隨荷載增大，根系會被拔出或拉斷，產(chǎn)生拔出功和斷裂功，而根系與土體的韌性則吸收了材料在脆性破壞過程中的能量，使整個過程中能量達(dá)到守恒，其公式可表示為：

式中：Gc為復(fù)合體斷裂韌性；Gs為素土的斷裂韌性；Gp為植物根系抗橫斷的斷裂韌性。

在邊坡穩(wěn)定性分析中斷裂韌性是指在荷載作用下，土體或復(fù)合體軟弱破壞層上的裂紋發(fā)生失穩(wěn)擴(kuò)展，其應(yīng)力達(dá)到抗剪強(qiáng)度，能量達(dá)到極限值，邊坡發(fā)生剪切破壞，故可知：

式中：?U為裂紋擴(kuò)展能量消耗；?A為裂紋擴(kuò)展截面面積；τcm、τsm分別為根-土復(fù)合體、素土的抗剪強(qiáng)度；L為剪切位移；?τ為根-土復(fù)合體抗剪強(qiáng)度增量。

在實(shí)際根土復(fù)合體受剪破壞時，斷裂和拔出兩種情況是同時出現(xiàn)的，因此應(yīng)根據(jù)土體中所有根系失穩(wěn)情況進(jìn)行分配后代入上式(12)求抗剪強(qiáng)度增量，可表示為：

3 模型驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

試驗(yàn)區(qū)位于青島東北部西寧盆地，選取30°及45°邊坡上種植的霸王和檸條錦雞兒為研究對象，生長期為2～4 a[19–22]。通過對抗拉力、抗拉強(qiáng)度與根徑的定量分析，建立其回歸方程曲線，并對擬合優(yōu)度進(jìn)行了相關(guān)檢驗(yàn)，結(jié)果如圖3所示。

由圖3可知，隨植物根系直徑的增加，其抗拉力基本呈線性增加，抗拉強(qiáng)度則表現(xiàn)為冪函數(shù)遞減，不同植物類型擬合結(jié)果不完全相同，但變化趨勢基本一致。該擬合結(jié)果可用于確定不同根徑下植物根系的抗拉力大小。根-土復(fù)合體受剪破壞過程中，一部分根系將被拉斷，一部分將被拔出（完全拔出或略微滑移）。為計(jì)算根系的斷裂韌性，即根系拔出功和斷裂功，對余芊芊試驗(yàn)結(jié)果[23]中霸王根及檸條錦雞兒根的根系分布及斷裂模式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，剪切面上根系分布情況見表1，斷裂模式分布情況如圖4所示。

由表1可知，不同坡度下植物根系的分布情況存在較大差異，種植于30°邊坡上的植物根系較為發(fā)達(dá)，其根系粗長。而同一坡度上，霸王根根系直徑普遍較大，檸條錦雞兒根的分布則相對并不均勻，根系的粗細(xì)變化較大。剪切破壞后，對根-土復(fù)合體剪切面上失效破壞的植物根系數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，由圖4可知，兩種植物的側(cè)根多表現(xiàn)為被拔出或斷裂，而主根主要為滑移，極少發(fā)生斷裂。

表1 根-土復(fù)合體剪切面根系分布情況Table 1 Root-soil complex shear surface root system distribution

3.2 新模型驗(yàn)證

以30°坡上種植的霸王為例，根系平均直徑為Rf=2.88 mm，根據(jù)圖3中霸王抗拉強(qiáng)度與根徑關(guān)系y=14.171x-0.75擬合可知其平均拉應(yīng)力σ=6.65 Mpa。根系彈性模量E=13.6 Mpa，根系斷裂長度l=7.5 mm。通過圖4中多統(tǒng)計(jì)霸王根斷裂情況可知，根土剪切長度L=7 cm，剪切過程中斷裂數(shù)為21 根，拔出根數(shù)為40。運(yùn)用Griffith 能量法模型求解根系斷裂時Gfu=49.59 N/m，根系拔出時Gf=72.24 N/m，根-土復(fù)合體抗剪強(qiáng)度增量?S=1.74 Kpa，剪切試驗(yàn)測得霸王根-土復(fù)合體抗剪強(qiáng)度增量為1.6 Kpa，模型預(yù)測增長率為8.75%。同理將其他幾類情形下試驗(yàn)與理論計(jì)算結(jié)果計(jì)算匯入表2，并與最常用Wu 氏模型結(jié)果對比。

圖3 根系抗拉力、抗拉強(qiáng)度與根徑關(guān)系曲線Fig.3 Root tensile resistance,tensile strength and root diameter relationship curves

由表2可知，兩種植物根系都能有效提高土體抵抗剪切破壞的能力。其中，Wu 氏模型在一定程度上可對根系的加固效果進(jìn)行預(yù)測，但基于該模型對根土間相互作用機(jī)理研究匱乏，其結(jié)果存在著較大的誤差，尤其對于拔出及滑移根系較多斷裂根系較少的情形誤差相對更大。反觀Griffith準(zhǔn)則下的能量法模型預(yù)測結(jié)果則較為準(zhǔn)確，與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合，模型誤差值保持在15%左右，具有較高精度。通過驗(yàn)算表明本研究所構(gòu)建的植物根系固土力學(xué)模型是合理可靠的。

4 討論與結(jié)論

4.1 討 論

趙玉姣、喬娜、李臻和張喬艷等[19–22]對霸王和檸條錦雞兒兩種植物的力學(xué)性能開展了大量的試驗(yàn)研究。分析了不同生長期、不同剪切角、不同根徑以及不同化學(xué)成分下的兩種植物根系對土體抗剪強(qiáng)度的增強(qiáng)效果，并對根系的抗拉力大小進(jìn)行了記錄，得到了較為全面準(zhǔn)確數(shù)據(jù)及相關(guān)規(guī)律，因此，本文選用這兩種植物作為研究對象具有代表性，所得結(jié)論準(zhǔn)確。

分析發(fā)現(xiàn)，植物根系的抗拉力、抗拉強(qiáng)度與根徑分別呈線性關(guān)系和指數(shù)關(guān)系，不同植物類型其線性擬合結(jié)果存在差異，但變化趨勢基本一致，均表現(xiàn)為根系的抗拉力隨根徑的增大而增大，抗拉強(qiáng)度隨根徑的增大而減小。同時，根系固土本質(zhì)是將土體所受剪力轉(zhuǎn)化為根系所受拉力[24]，因此根系抗拉力的大小也將對其穩(wěn)固邊坡的效果起決定作用。當(dāng)復(fù)合體受剪破壞時，根系并不會全部發(fā)生斷裂，將出現(xiàn)拉斷、拔出及滑移3 種情形，其中側(cè)根多表現(xiàn)為拔出或斷裂，主根主要為滑移，極少發(fā)生斷裂。

Wu 氏模型在評價(jià)、預(yù)測根-土復(fù)合體抗剪強(qiáng)度時，對根系作用方式和物理特性等方面研究存在缺陷，Wu 假設(shè)在土體破壞時所有根系發(fā)生斷裂，導(dǎo)致模型的精度不高，計(jì)算結(jié)果往往偏大。為避開對根系力學(xué)特性研究，Gray 建立了FBM 模型，又稱為纖維束模型，該模型計(jì)算結(jié)果相對精確，但模型建立過程中分布函數(shù)的選擇以及相關(guān)參數(shù)的擬定較為復(fù)雜，雖具有研究價(jià)值但應(yīng)用并不廣泛。而本文將根系與土體視為一類由纖維束和基體組成的復(fù)合材料，在此基礎(chǔ)上引入斷裂韌性和功能原理，建立根-土復(fù)合體抗剪強(qiáng)度增量與植物根系斷裂韌性間轉(zhuǎn)換關(guān)系，其力學(xué)模型中關(guān)鍵的斷裂韌性Gp只需通過根徑、彈性模量以及根-土復(fù)合體截面積等少量參數(shù)確定，此方法在求解抗剪強(qiáng)度增量時既充分考慮了根系各種破壞失效模式又保證了計(jì)算過程的簡便。

通過驗(yàn)證，基于Griffith 斷裂準(zhǔn)則所構(gòu)建的模型計(jì)算誤差值保持在15%左右，反觀同樣情形下采用Wu 氏模型計(jì)算平均誤差高達(dá)342%。新模型可有效適用于不同坡度、不同植物類型以及不同含根量下根-土復(fù)合體抗剪強(qiáng)度問題的分析，具有較好的應(yīng)用前景。但由于植物根系生長具有顯著的空間特征及隨機(jī)性，導(dǎo)致運(yùn)用理論模型定量分析根系固土問題時存在一定局限性。植物根系的斷裂韌性不但與根系直徑相關(guān)，還與植物根系的生長齡期有關(guān)，不同齡期植物根系內(nèi)的木質(zhì)素和纖維束含量不同，其抗拉性能也不盡相同[25]。本文選擇生長期為2～4 a 的霸王和檸條錦雞兒為試驗(yàn)對象驗(yàn)證模型，其樣本數(shù)依然不夠充分，考慮到植物的發(fā)展屬性，在后續(xù)的研究中應(yīng)該選擇更多類型及更長生長齡期的植物開展全面的研究，對該理論模型做進(jìn)一步驗(yàn)證和改良。

4.2 結(jié) 論

以寒旱環(huán)境下護(hù)坡植物為研究對象，結(jié)合理論分析與試驗(yàn)結(jié)果，對已有的根-土復(fù)合體抗剪強(qiáng)度力學(xué)機(jī)制模型進(jìn)行了定性分析與定量計(jì)算，同時應(yīng)用基本斷裂功方法表征護(hù)坡植物根系的斷裂韌性，用于根系的阻裂增強(qiáng)機(jī)理研究，得到以下結(jié)論：

1）植物根徑與抗拉力呈線性關(guān)系，與抗拉強(qiáng)度呈冪指數(shù)關(guān)系。霸王、檸條錦雞兒根系單根平均抗拉力與根徑間關(guān)系可表示為y=25.039x-16.038、y=32.851x-7.249，抗拉強(qiáng)度與根徑間關(guān)系可表示為y=14.171x-0.75、y=34.952x-1.028。

2）植物根-土復(fù)合體剪切破壞過程中，根系將呈現(xiàn)3 種失效模式。30°及45°邊坡上，霸王根發(fā)生斷裂、拔出、滑移的比例分別為31%、28%、41%和30%、20%、50%，檸條錦雞兒根發(fā)生斷裂、拔出、滑移的比例分別為10%、18%、72%和0%、16%、84%。

3）基于Griffith 斷裂準(zhǔn)則提出了根系固土力學(xué)模型?S=kGp，其對霸王、檸條錦雞兒根-土復(fù)合體抗剪強(qiáng)度增量?S的預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值的誤差保持在8%～35%之間。