π-正則半群的全π-正則子半群格

田振際, 馬存德

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

1951年,Tamura[1]發(fā)表了首篇關(guān)于半群及其子半群格的文章,代表半群代數(shù)系統(tǒng)及其子系統(tǒng)間的研究取得了新的進(jìn)展.1984年,Johnston等[2]得到了正則半群的全正則子半群格的分解定理.1994年以來(lái),田振際研究了π-逆半群與它的π-逆子半群格的性質(zhì),在此基礎(chǔ)上研究了π-逆子半群格是可補(bǔ)格,模格,0分配格,0模格,下半分配格和半模格的π-逆半群的結(jié)構(gòu)[3-7].田振際又研究了π-逆半群的全π-逆子半群格的性質(zhì),并得到了全π-逆子半群格是分配格和鏈的π-逆半群的結(jié)構(gòu),相關(guān)結(jié)果見(jiàn)文獻(xiàn)[3].

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文就π-正則半群的全π-正則子半群格進(jìn)行了研究,給出了π-正則半群的全π-正則子半群格的一些相關(guān)性質(zhì)及特征,進(jìn)一步得到π-正則半群的全π-正則子半群格是分配格的充分必要條件.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)S是半群,a∈S,若存在x∈S,使得axa=a,則稱a是正則的.若半群S中的任一元素都是正則的,則稱S是正則半群.若存在正整數(shù)n∈Z+,使得an∈RegS,則稱a是S中的π-正則元.同時(shí),把使得an∈RegS的最小自然數(shù)m稱為元素a在S中的正則指數(shù),且記其為r(a).半群S稱為π-正則的,如果S的每個(gè)元素是π-正則的.

設(shè)A為半群S的一個(gè)子半群,若ES?A,則稱A為S的全子半群.π-正則半群S的子集A稱為S的全π-正則子半群,如果A是S的全子半群,且A中的每個(gè)元素是π-正則的.由半群S的子集A生成的子半群表示為〈A〉.若S是π-正則半群,則由S的子集A生成的全π-正則子半群表示為《A》.用subπS表示S的全體π-正則子半群的集合,用subfπS表示S的全體全π-正則子半群的集合.容易證明,subπS,subfπS都是完全格,且subfπS是subπS的完全子格,且對(duì)任意的A,B∈subfπS,有

A∧B=A∩B,A∨B=〈A,B〉

顯然,如果S是群,則subfπS=subgS,其中subgS表示S的子群格.若S為正則半群,則顯然有subfπS=subfrS,其中subfrS表示正則半群S的全正則子半群格.若S為π-正則半群,則〈RegS〉和〈ES〉均為S的π-正則子半群,且〈ES〉為S的最小全π-正則子半群.π-正則半群S的子半群A是π-正則的,如果A∩RegS=RegA.

格L稱為分配格,若對(duì)任意的a,b,c∈L,有a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c).

設(shè)S是任意半群,若K-是格林關(guān)系L,R,J,H,D的一種,用Ka表示S的包含a的K類,其中a∈S.S/K表示K類的集合.

引理1[3]設(shè)S為任一半群,x∈RegS,且x=x1x2…xn,其中x1,x2,…,xn∈S.則存在e1,e2,…,en∈ES,使得

1)x=(e1x1)(e2x2)…(enxn);

2)xDeixi,eixi是正則的,其中i=1,2,…,n;

3)X′nenX′n-1en-1…X′1e1是x的逆元,其中Xi=eixi,x′為x的逆元,而X′i表示Xi的逆元,i=1,2,…,n.

引理2[4]設(shè)S為π-正則半群,J是S的包含一個(gè)冪等元的J類.則J中的每個(gè)元素都正則.此外,任一單(0單)的π-正則半群一定是正則半群.

設(shè)S為π-正則半群,J∈S/J.根據(jù)引理2.要么J?RegS,要么J∩RegS=?.因此,主因子PF(J)要么是正則半群,要么是零積半群.在前一種情況下,J被稱為正則J類,而在后一種情況下,J被稱為奇異J類.

本文沒(méi)有說(shuō)明的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)見(jiàn)文獻(xiàn)[3～7].

2 主要結(jié)論

引理3設(shè)S為π-正則半群,J∈S/J為S的正則J類,且A,B∈subfπS,則

(A∨B)∩J=〈A∩J,B∩J〉∩J

證明設(shè)x∈(A∨B)∩J,則存在x1,x2,…,xn∈A∪B,使得x=x1x2…xn,n∈Ζ+.由于J為正則J類,則x∈RegS.故由引理1,存在e1,e2,…,en∈ES,使得x=(e1x1)(e2x2)…(enxn),且xDeixi.又由ES?A∪B,故eixi∈(A∩J)∪(B∩J),所以x∈〈A∩J,B∩J〉∩J.從而(A∨B)∩J?〈A∩J,B∩J〉∩J.顯然(A∨B)∩J?〈A∩J,B∩J〉∩J.于是,等號(hào)成立.

推論1設(shè)S是π-正則半群,J∈S/J為S的正則J類,則subfπS上的關(guān)系

γJ:AγJB?A∩J=B∩J,A,B∈subfπS

是subfπS上的同余關(guān)系.

證明易見(jiàn),γJ是等價(jià)關(guān)系.設(shè)A,B,C∈subfπS,且AγJB,則A∩J=B∩J,所以A∩C∩J=B∩C∩J,故(A∩C)∩J=(B∩C)∩J,即(A∩C)γJ(B∩C).

又由引理3,(A∨C)∩J=〈A∩J,C∩J〉∩J=〈B∩J,C∩J〉∩J=(B∨C)∩J.即(A∨C)γJ(B∨C).所以γJ是同余.

設(shè)S是π-正則半群,J∈S/J,A,B∈subfπS,令N(J)=〈ES〉∪{K∈S/J:K

定理1如果S是π-正則半群,J∈S/J是S的正則J類,定義映射φJ(rèn): 對(duì)任意的A∈subfπS,AφJ(rèn)=(A∩J)∪{0}.那么φJ(rèn)是從subfπS到subfπPF(J)的滿同態(tài).

證明顯然φJ(rèn)是從[N(J),I(J)]到subfπPF(J)的映射.對(duì)任意的A,B∈subfπS,有

并且由引理3,又有

從而φJ(rèn)是同態(tài).

對(duì)任意的C∈subfπPF(J),記

任取x,y∈D.若x,y∈C{0},則要么Jxy

推論2如果S是π-正則半群,J∈S/J是S的正則J類,那么φJ(rèn)在區(qū)間[N(J),I(J)]上的限制是同構(gòu),因此

[N(J),I(J)]?subfπPF(J)?subfrPF(J)

證明由定理1,只需證φJ(rèn)在區(qū)間[N(J),I(J)]上的限制是單射即可.設(shè)A,B∈[N(J),I(J)],若AφJ(rèn)=BφJ(rèn),則A∩J=B∩J,所以AJ=BJ,又A,B∈[N(J),I(J)],則A=AJ=BJ=B?A=B.進(jìn)而,φJ(rèn)是單射.所以φJ(rèn)在區(qū)間[N(J),I(J)]上的限制是同構(gòu).

引理4設(shè)S是π-正則半群,且a∈SRegS.若存在x∈《a》,使得Jx>Ja,則x∈〈ES〉.

證明由a非正則,所以Ja∩RegS=?.令A(yù)=N(Ja)∪〈ES,a〉,則A為S的全子半群.又〈ES,a〉?I(Ja),進(jìn)而A?I(Ja).又Ja∩RegS=?,則

且顯然,A∩RegS?N(Ja)∩RegS.因此A∩RegS=N(Ja)∩RegS=RegN(Ja)?RegA.又RegA?A∩RegS,故A∩RegS=RegA,所以A∈subfπS.則《a》?A,進(jìn)而x∈A.若Jx>Ja,則x?(N(Ja)∪〈ES,a〉)〈ES〉,從而x∈〈ES〉.

引理5設(shè)S是π-正則半群,subfπS是分配格.如果a=a1a2…an∈SRegS,則存在ak(k=1,2,…,n),使得a∈《ak》.

證明由于a∈(《a1》∨《a2》∨…∨《an》)∩《a》.由subfπS的分配性,有

定理2設(shè)S是π-正則半群,則subfπS是分配格當(dāng)且僅當(dāng)

1) 對(duì)S的每個(gè)正則J類,subfπPF(J)是分配格;

2) 若a=a1a2…an∈SRegS,則存在ak(k=1,2,…,n),使得a∈《ak》.

證明必要性) 設(shè)subfπS是分配格,則由定理1和引理5,1)和2)成立.

充分性) 假設(shè)S滿足條件1)和2).并設(shè)A,B,C∈subfπS.只需證明A∩(B∨C)=(A∩B)∨(A∩C).顯然,A∩(B∨C)?(A∩B)∨(A∩C).下面證明A∩(B∨C)?(A∩B)∨(A∩C).

任取a∈A∩(B∨C),顯然《a》?A∩(B∨C).

若a∈RegS,則Ja為正則J類,由于φJ(rèn)a是從subfπS到subfπPF(Ja)的滿同態(tài),于是

進(jìn)而,由subfπPF(Ja)的分配性可得

從而,a∈(A∩B)∨(A∩C).

若a∈SRegS,則存在b1,b2,…,bn∈B∪C,使得a=b1b2…bn.由條件2),存在bk∈B∪C,使得a∈《bk》,由此可得

從而,A∩(B∨C)?(A∩B)∨(A∩C).

綜上,A∩(B∨C)=(A∩B)∨(A∩C),所以subfπS是分配格.

這樣,一般來(lái)說(shuō),為了研究具有某些類型全π-正則子半群格的π-正則半群的性質(zhì),可以轉(zhuǎn)化為研究它的正則J類對(duì)應(yīng)的主因子和奇異J類,而它的正則J類對(duì)應(yīng)的主因子PF(J)是正則半群,關(guān)于正則半群的全正則子半群格已在文獻(xiàn)[2]中分解.因此,主要研究其奇異J類即可.