李導(dǎo)數(shù)一種新的講授方式

何孝凱,曹周鍵

(1. 湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410205; 2. 北京師范大學(xué) 天文系，北京 100875)

李導(dǎo)數(shù)(Lie derivative)是微分流形上的一類重要導(dǎo)數(shù)算子，它是一種對流形M上的張量場沿著某個(gè)給定方向求導(dǎo)的運(yùn)算.李導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)和物理中都有廣泛的應(yīng)用[1-8].在我們讀到過的教材中，學(xué)者們都是先介紹流形上光滑矢量場ξa給出的單參微分同胚群，再介紹流形上的推前映射和拉回映射，然后在此基礎(chǔ)上定義流形上的張量場Ta1…akb1…bl沿矢量場ξa的李導(dǎo)數(shù)ξTa1…akb1…bl[5-9].唯一不同的是有的教材使用主動語言，有的使用被動語言.主修物理和天文的學(xué)生大都沒有系統(tǒng)學(xué)過微分流形，對推前和拉回映射倍感抽象，對由此誘導(dǎo)的變換也會深感復(fù)雜、難懂.所以很多初學(xué)者覺得李導(dǎo)數(shù)的概念比較抽象，不易掌握.本文將給出一種關(guān)于李導(dǎo)數(shù)新的講授方式，該方式擺脫推前和拉回映射，便于初學(xué)者理解.

1 矢量場的適配坐標(biāo)系

(1)

(2)

2 李導(dǎo)數(shù)的定義

本節(jié)我們將用一種新的方式定義流形上張量場沿某給定矢量場的李導(dǎo)數(shù).這里我們只討論矢量場的李導(dǎo)數(shù),往其他任意張量場的推廣是直接的.設(shè)ξa是n維流形M上的一個(gè)給定光滑矢量場.對M上的任意光滑矢量場ua，我們定義ua沿ξa的李導(dǎo)數(shù)如下

(3)

其中{xμ}(μ=1，2,…,n)是矢量場ξa的適配坐標(biāo)系，uμ是矢量場ua在適配坐標(biāo)系{xμ}(μ=1，2,…,n) 坐標(biāo)基底下的分量.

從而

其中第二個(gè)等號我們用到了式(2).另一方面，還有性質(zhì)：

所以有

這就證明了流形上矢量場ua沿給定矢量場ξa的李導(dǎo)數(shù)(3)與所使用的適配坐標(biāo)系無關(guān),所以這個(gè)定義是良好的.

3 李導(dǎo)數(shù)在任意坐標(biāo)系下的表達(dá)式

上一節(jié)我們給出了n維流形上的矢量場ua沿給定矢量場ξa的李導(dǎo)數(shù).根據(jù)定義我們可以直接寫出在ξa的適配坐標(biāo)系下李導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式.本節(jié)我們將進(jìn)一步討論該李導(dǎo)數(shù)在任意坐標(biāo)系下的表達(dá)式,進(jìn)而我們會看到定義式(3)與通常教材中給出的矢量場李導(dǎo)數(shù)定義是一致的.

設(shè)ξa和ua是n流形M上的兩個(gè)光滑矢量場， {xμ}(μ=1，2,…,n)是矢量場ξa的適配坐標(biāo)系，{x′μ}(μ=1，2,…,n)是流形M上的任意一個(gè)坐標(biāo)系(不一定是ξa的適配坐標(biāo)系).在這兩組 坐標(biāo)系下，ξa和ua可被表示成：

接下來將證明Lξua在坐標(biāo)系{x′μ}下的表達(dá)式為

(4)

為了證明式(4)，首先注意到

(5)

其中第二個(gè)等號用到了式(1).于是從式(3)出發(fā)，有

(6)

直接計(jì)算給出

其中第二個(gè)等號用到了式(5).此外

其中倒數(shù)第二個(gè)等號用到了式(5).從而式(6)可化為

這樣就得到了n維流形上的矢量場ua沿給定 矢量場ξa的李導(dǎo)數(shù)在任意坐標(biāo)系下的表達(dá)式.當(dāng){x′μ}也是矢量場ξa的適配坐標(biāo)系時(shí)，有

從而式(4)化簡為

與上一節(jié)的定義式一致.

作為本節(jié)的結(jié)束，討論定義式(3)與通常教材中定義的李導(dǎo)數(shù)的一致性.在通常的教材中，矢量場ua沿給定矢量場ξa的李導(dǎo)數(shù)等于矢量場ua和ξa的對易子[5-9]，即

Lξua=[ξ,u]a

(6)

注意到在n維流形M上某坐標(biāo){x′μ}系下對易子的表達(dá)式為

此等式的右端與式(4)右端一致，可見我們 按定義式(3)引入的矢量場ua沿給定矢量場ξa的李導(dǎo)數(shù)滿足式(7)，與通常教材中的結(jié)果一致.

4 結(jié)語

本文中引入了一種新的方式來定義流形上的張量場沿給定矢量場的李導(dǎo)數(shù).首先引入矢量場ξa的適配坐標(biāo)系概念.實(shí)際上適配坐標(biāo)系的概念并不多余，因?yàn)樵趶V義相對論課程中講授Killing矢量場的時(shí)候也會引入適配坐標(biāo)系的概念,相當(dāng)于只是把這個(gè)概念的講解提前一點(diǎn).基于適配坐標(biāo)系，就可以給出流形上光滑矢量場ua沿ξa的李導(dǎo)數(shù)直觀定義.同時(shí)也很容易可以講清楚我們的定義與具體適配坐標(biāo)系的選擇無關(guān).在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出了矢量場的李導(dǎo)數(shù)在任意坐標(biāo)系下的表達(dá)式，與通常教科書講解的李導(dǎo)數(shù)輕松銜接.不同于通常教材從推前映射和拉回映射出發(fā)，用映射這一主動觀點(diǎn)或者用由映射誘導(dǎo)的無窮小變換這一被動觀點(diǎn)來定義李導(dǎo)數(shù)[5-10]，我們采用的定義方式更便于初學(xué)者理解和掌握.本文中重點(diǎn)討論了矢量場ua沿ξa的李導(dǎo)數(shù)定義，這一做法可自然推廣至流形上的任意張量場沿ξa的李導(dǎo)數(shù)，在此不再贅述.