含歧運(yùn)動(dòng)位平面機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究

曹惠，李春明,2，劉慶，李萬騰

1.中國石油大學(xué)(華東)中國石油大學(xué)勝利學(xué)院，山東 東營 257061

2.中國石油大學(xué)(華東)機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266580

3.山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250061

平面連桿機(jī)構(gòu)是多數(shù)機(jī)器的主機(jī)構(gòu)，其基本機(jī)構(gòu)為平面四桿(體)機(jī)構(gòu)。凸輪機(jī)構(gòu)和齒輪機(jī)構(gòu)可以視為將1個(gè)構(gòu)件(體)和2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副或移動(dòng)副(二約束副)用1個(gè)高副(一約束副)替代的四體機(jī)構(gòu)。采用串連、并連、封閉和裝載等方式[1?3]，平面四體機(jī)構(gòu)可組合出各種復(fù)雜機(jī)構(gòu)。平面四體機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究屬于機(jī)械原理的研究范疇。

當(dāng)曲柄作為從動(dòng)件時(shí)，存在曲柄壓力角(受力方向與運(yùn)動(dòng)方向之間的夾角)為90°的位置。該位置稱為歧運(yùn)動(dòng)位[4](卡位、死點(diǎn)[5?6])。根據(jù)從動(dòng)件與連桿共線的特征，歧運(yùn)動(dòng)位存在于曲柄搖桿機(jī)構(gòu)[7]、雙搖桿機(jī)構(gòu)、雙曲柄機(jī)構(gòu)和曲柄滑塊機(jī)構(gòu)當(dāng)中。運(yùn)動(dòng)如果可正可逆，也可稱為運(yùn)動(dòng)分岔，但是與非線性動(dòng)力學(xué)的仿真收斂性和響應(yīng)分岔無關(guān)。

歧運(yùn)動(dòng)位是多年來的研究冷點(diǎn)，在平面四體機(jī)構(gòu)當(dāng)中普遍存在，但一直沒有受到重視。在歧運(yùn)動(dòng)位，從動(dòng)件存在雙向運(yùn)動(dòng)可能性[8?9]。

曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的曲柄從動(dòng)件和搖桿從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)學(xué)程序化計(jì)算機(jī)仿真[10?12]涉及歧運(yùn)動(dòng)位，基于洛必達(dá)法則求取了歧運(yùn)動(dòng)位的從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)計(jì)算式。但是，對(duì)于特殊的、多歧運(yùn)動(dòng)位的滑塊機(jī)構(gòu)尚無研究。由于該計(jì)算式尚未公開發(fā)表，ADAMS等計(jì)算軟件是避開了歧運(yùn)動(dòng)位的計(jì)算，因此不做對(duì)比。

通常，對(duì)于連桿為最長桿的滑塊機(jī)構(gòu)，當(dāng)曲柄或搖桿作為主動(dòng)件時(shí)，從動(dòng)件的位置、速度、加速度與主動(dòng)件的存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，機(jī)構(gòu)沒有歧運(yùn)動(dòng)位[13]。但是，當(dāng)滑塊為主動(dòng)件，或連桿不是最長桿時(shí)，存在歧運(yùn)動(dòng)位。本文研究具有3個(gè)歧運(yùn)動(dòng)位的滑塊機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題。

1 具有3個(gè)歧運(yùn)動(dòng)位的滑塊機(jī)構(gòu)

搖桿滑塊機(jī)構(gòu)如圖1所示。

圖1 具有歧運(yùn)動(dòng)位的搖桿滑塊機(jī)構(gòu)

滑塊的導(dǎo)路為經(jīng)過另一運(yùn)動(dòng)副而與運(yùn)動(dòng)軌跡平行的直線或曲線。該導(dǎo)路距A點(diǎn)的距離為搖桿長度的一半。搖桿可在平角內(nèi)擺動(dòng)。機(jī)架(固定體)可視為由A指向滑塊導(dǎo)路垂線無窮遠(yuǎn)端的無限長桿；滑塊可延伸為由轉(zhuǎn)動(dòng)副C垂直于導(dǎo)路指向無窮遠(yuǎn)的無限長桿。以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立圖1的直角坐標(biāo)系x1Ax2。l1、l2分別為搖桿AB和連桿BC的矢徑，長度分別為l1、l2。θ1、θ2分別為l1、l2相對(duì)于x1軸正方向的夾角。d為A到滑塊導(dǎo)路的垂直距離。d和l2均為l1的一半。C點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的矢徑為l3。根據(jù)各構(gòu)件之間的幾何關(guān)系，以及矢量方程的幾何意義(等號(hào)兩邊的矢量分別首尾相接，形成2個(gè)矢量鏈，如果其起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)重合)，可得矢量方程

將式(1)分別向2個(gè)坐標(biāo)軸投影，可得投影方程組

式中θ2和x1,C為 未知量。

設(shè)搖桿按照正弦規(guī)律擺動(dòng)，T為周期，根據(jù)式(2)，θ1及其各階導(dǎo)數(shù)為

式(2)對(duì)時(shí)間依次求導(dǎo)，并整理成矩陣形式，可根據(jù)二階矩陣求逆運(yùn)算的簡(jiǎn)化公式求解出上述2個(gè)未知量的各階導(dǎo)數(shù)。

在歧運(yùn)動(dòng)位，θ2對(duì)時(shí)間的各階導(dǎo)數(shù)均為0/0型的不定式，可根據(jù)洛必達(dá)法則求解[14]。

2 連桿位置角的討論

對(duì)于圖1的機(jī)構(gòu)，θ1等于0、π/2、π的3個(gè)位置為機(jī)構(gòu)的歧運(yùn)動(dòng)位。在θ1等于π/2的位置，由于連桿被搖桿拉動(dòng)而沒有卡位的特征，屬于一般的歧運(yùn)動(dòng)位。而在另外2個(gè)位置，由于連桿被搖桿壓住，如果滑塊保持靜止并且受到的水平力F1,D= 0，則無論搖桿的驅(qū)動(dòng)力多么大，機(jī)構(gòu)均保持靜止，因此，這2個(gè)位置位置均為機(jī)構(gòu)的卡位。

根據(jù)式(2)，θ2有以下2個(gè)計(jì)算式：

考慮慣性力，計(jì)算滑塊受力F1,D和速度，在接下來θ1連續(xù)運(yùn)動(dòng)的范圍內(nèi)，θ2取式(4)計(jì)算的情況有

θ2取式(5)計(jì)算的情況有

機(jī)構(gòu)保持靜止的2個(gè)條件為

在θ1=π/2的位置，在接下來θ1連續(xù)運(yùn)動(dòng)的范圍內(nèi)，θ2取式(4)計(jì)算的情況有

θ2取式(5)計(jì)算的情況有

如果機(jī)構(gòu)滿足以下條件：

則機(jī)構(gòu)保持靜止。

3 各構(gòu)件的受力分析

分別取搖桿、連桿和滑塊為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析。如圖2所示，在每個(gè)體的輸入端令所受力的正方向與坐標(biāo)軸方向相同，在輸出端相反，則每個(gè)運(yùn)動(dòng)副處的作用力和反作用力可用相同的變量表示[15]。在圖2中沒有標(biāo)出慣性力和重力等。

圖2 各構(gòu)體的受力分析

設(shè)搖桿在驅(qū)動(dòng)力矩MAB的作用下按照式(3)的規(guī)律擺動(dòng)。忽略各運(yùn)動(dòng)副之間的摩擦力[16]。設(shè)滑塊在導(dǎo)路中受到阻尼系數(shù)為c的流體作用[17]，流體流速為vfluid，方向與x1軸正方向相同。根據(jù)圖2的受力分析，機(jī)構(gòu)的未知量為MAB、F1,A、F2,A、F1,B、F2,B、F1,C、F2,C、F2,D， 共8個(gè)，根據(jù)作平面運(yùn)動(dòng)物體的動(dòng)力學(xué)方程[18?19]，由3個(gè)體可分別列出3、3、2個(gè)方程，可得8個(gè)方程的方程組。方程數(shù)與未知量數(shù)相同，可解。該建模方法比拉格朗日方法[20]更直觀。如果考慮原動(dòng)機(jī)的機(jī)械特性[20?21]，則MAB是的函數(shù)，該未知量換為。

設(shè)3個(gè)體的質(zhì)量分別為m1、m2、m3。設(shè)質(zhì)心均在其幾何中心上，且質(zhì)量分布均勻，則搖桿和連桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為

設(shè)搖桿和連桿的輸入端到質(zhì)心的距離分別為l1a、l2a，則由搖桿可列出3個(gè)動(dòng)力學(xué)方程：

由連桿可列出3個(gè)動(dòng)力學(xué)方程：

由滑塊可列出2個(gè)動(dòng)力學(xué)方程

式(13)—式(20)組成的方程組寫成矩陣形式，則具有稀疏系數(shù)矩陣。如果采用計(jì)算量較大的方程組求解方法，則在歧運(yùn)動(dòng)位會(huì)由于其系數(shù)矩陣奇異而不能求出較準(zhǔn)確的未知量。分析各方程，可依照以下順序求解。

1)由式(19)求F1,C。

2)由式(16)求F1,B。

3)由式(13)求F1,A。

4)由式(17)和式(18)求F2,B和F2,C。

式中：

在歧運(yùn)動(dòng)位，由力矩平衡方程而得的B2為0/0型不定式，可由洛必達(dá)法則簡(jiǎn)化為

由式(21)和式(22)，可得式(28)中的力導(dǎo)數(shù)。

5)由式(20)求F2,D。

6)由式(14)求F2,A。

7)由式(15)求MAB。

4 計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果

4.1 機(jī)構(gòu)的基本參數(shù)

主動(dòng)搖桿的主要參數(shù)為：m1=5.0 kg；l1=1.0 m；l1a=0.5 m；J1=kg·m2。

連桿的主要參數(shù)為：m2=2.5 kg；l2=0.5 m；l2a=0.25 m、J2=kg·m2。

滑塊的主要參數(shù)為：m3=5 kg；d=0.5m。

滑塊所在導(dǎo)路的流體速度vfluid=1.0 m/s ，流體的阻尼系數(shù)c=0.1N/(m/s)。

搖桿的擺動(dòng)周期T=9.0 s ，計(jì)算機(jī)仿真步長δ=0.01 s 。

4.2 程序化仿真結(jié)果

搖桿的輸入端受力如圖3所示，滑塊的受力如圖4所示，連桿的輸入端受力如圖5所示。力存在突然變化的情況，說明存在柔性沖擊。

圖3 搖桿輸入端受力的時(shí)間歷程

圖4 滑塊受力的時(shí)間歷程

圖5 連桿輸入端受力的時(shí)間歷程

5 結(jié)論

1)本文研究的平面四體機(jī)構(gòu)具有3個(gè)歧運(yùn)動(dòng)位，其中2個(gè)是卡位。該機(jī)構(gòu)具有一定的代表性。

2)當(dāng)主動(dòng)搖桿按照正弦規(guī)律擺動(dòng)時(shí)，機(jī)構(gòu)平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，不出現(xiàn)速度突變和加速度突變，但是，垂直方向受力出現(xiàn)大趨勢(shì)突變，存在柔性沖擊。因此，該機(jī)構(gòu)宜用于儀器儀表等微小功率的應(yīng)用領(lǐng)域。

3)本文不涉及實(shí)踐研究，不分析該機(jī)構(gòu)及其相近機(jī)構(gòu)的實(shí)踐意義和可適用的工作場(chǎng)合。

4)位移表征物體的位置、姿態(tài)、運(yùn)動(dòng)軌跡，坐標(biāo)的三階及更高階導(dǎo)數(shù)不能用于類似于牛頓第二定律的計(jì)算式，但是其理論意義仍不可忽視。

5)基于洛必達(dá)法則研究的歧運(yùn)動(dòng)位運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)和力使動(dòng)力學(xué)仿真順利進(jìn)行。

6)提出的力導(dǎo)數(shù)概念具有較大的理論意義。