改進(jìn)多目標(biāo)PSO算法優(yōu)化機(jī)器人軌跡跟蹤模糊PID控制器

蔣清澤，王宏濤

南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016

關(guān)節(jié)機(jī)器人是一個(gè)強(qiáng)耦合、高非線性的復(fù)雜系統(tǒng)，其軌跡跟蹤控制是調(diào)整每個(gè)關(guān)節(jié)電機(jī)輸出的控制扭矩，使得關(guān)節(jié)角度能夠達(dá)到期望值[1]。關(guān)節(jié)機(jī)器人軌跡跟蹤常用的控制方法主要有基于機(jī)器人模型的運(yùn)動(dòng)控制方法、PID控制、滑模控制和模糊控制等。其中PID控制技術(shù)成熟且易于實(shí)現(xiàn)，被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人軌跡跟蹤控制中，但PID算法難以實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的高精度控制[2]。因此，有學(xué)者提出利用模糊控制無(wú)須依靠精確數(shù)學(xué)模型便能對(duì)非線性系統(tǒng)良好逼近的特性，采用模糊PID控制實(shí)現(xiàn)機(jī)器人軌跡跟蹤控制[3]。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，控制器輸出力矩具有飽和性，如何設(shè)計(jì)模糊PID控制器使其在有限的輸出力矩下達(dá)到理想的控制效果是需要專業(yè)人員的經(jīng)驗(yàn)，存在設(shè)計(jì)不當(dāng)難以獲得最佳效果的不足。均衡評(píng)估控制力矩和軌跡跟蹤控制效果這2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)可以通過多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)模糊PID控制的隸屬函數(shù)和模糊規(guī)則進(jìn)行尋優(yōu)調(diào)整來(lái)實(shí)現(xiàn)[4?5]。粒子群算法(PSO)是一種模擬鳥群覓食的啟發(fā)式算法優(yōu)化技術(shù)，已成功應(yīng)用于多種優(yōu)化問題[6]。已有文獻(xiàn)證明PSO在單目標(biāo)優(yōu)化上具有較快的收斂速度和較好的優(yōu)化結(jié)果，在多目標(biāo)優(yōu)化問題上具有較大優(yōu)勢(shì)[7]。Mahmoodabadi等[8]用多目標(biāo)粒子群算法對(duì)非線性系統(tǒng)的模糊控制器進(jìn)行優(yōu)化，提高了模糊控制器對(duì)非線性系統(tǒng)的控制精度；進(jìn)一步以控制偏差和控制器輸出力矩作為2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，采用多目標(biāo)粒子群算法對(duì)雙足機(jī)器人軌跡跟蹤滑?？刂七M(jìn)行了優(yōu)化，驗(yàn)證了多目標(biāo)粒子群算法在多目標(biāo)優(yōu)化中的優(yōu)越性[9]。

本文以控制器輸出力矩和軌跡跟蹤偏差為2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)改進(jìn)多目標(biāo)PSO算法優(yōu)化模糊控制器的隸屬函數(shù)和模糊規(guī)則優(yōu)化調(diào)整。首先設(shè)計(jì)了機(jī)器人軌跡跟蹤模糊PID控制器；然后根據(jù)模糊PID控制器的多目標(biāo)優(yōu)化問題，設(shè)計(jì)改進(jìn)多目標(biāo)PSO算法；最后分別使用改進(jìn)多目標(biāo)PSO和基本多目標(biāo)PSO應(yīng)用于模糊PID控制的多目標(biāo)優(yōu)化問題，對(duì)比分析了2種優(yōu)化算法的優(yōu)化結(jié)果。

1 機(jī)器人軌跡跟蹤模糊PID控制

機(jī)器人軌跡跟蹤模糊PID控制系統(tǒng)如圖1所示，圖中qd和q分別表示六關(guān)節(jié)機(jī)器人各關(guān)節(jié)期望角度和實(shí)際角度；e表示qd與q的偏差,e=qd?q；ec表示偏差變化率，ec=de/dt；圖1虛線部分表示模糊控制器，其中e和ec是模糊控制器的輸入變量，ΔKP、ΔKI、ΔKD表 示PID調(diào)整參數(shù)，是模糊控制器的輸出變量；τ表示模糊PID控制器的輸出控制力矩?？刂七^程為：首先模糊控制器根據(jù)e和ec的值通過模糊化、模糊推理和解模糊得到PID調(diào)整參數(shù)；然后實(shí)現(xiàn)PID控制器3個(gè)參數(shù)的在線自適應(yīng)調(diào)整，如式(1)，根據(jù)式(2)輸出控制力矩；最后將控制力矩作用于機(jī)器人，得到實(shí)際關(guān)節(jié)角度，并反饋給比較器。

圖1 機(jī)器人軌跡跟蹤模糊PID控制系統(tǒng)

式中：KP0、KI0、KD0為 PID參數(shù)的初值；t為時(shí)間。

1.1 模糊PID控制器設(shè)計(jì)

模糊PID控制器中的模糊控制器輸入變量偏差e和偏差變化率ec以及輸出變量ΔKP、ΔKI、ΔKD的 模糊集個(gè)數(shù)均設(shè)計(jì)為7個(gè)，其模糊集取為{NL,NM, NS, ZE, PS, PM, PL}，即{負(fù)大, 負(fù)中, 負(fù)小, 零,正小, 正中, 正大}。模糊集隸屬函數(shù)選取三角形隸屬函數(shù)，根據(jù)隸屬函數(shù)的特性，某變量所有的模糊集的隸屬函數(shù)關(guān)于Y軸對(duì)稱，且將某一個(gè)三角隸屬函數(shù)的“左腳”和“右腳”分別設(shè)置為相鄰左右2個(gè)三角隸屬函數(shù)的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，如圖2所示。故在設(shè)計(jì)每一個(gè)變量的隸屬函數(shù)時(shí)，需要確定其論域，以及Y軸某一側(cè)3個(gè)參數(shù)X1、X2、X3。模糊PID控制器所有變量的隸屬函數(shù)具體參數(shù)如表1所示。

圖2 三角形隸屬函數(shù)

表1 模糊PID控制器輸入輸出變量隸屬函數(shù)設(shè)計(jì)

2個(gè)輸入變量e和ec的模糊集個(gè)數(shù)為7，可得輸出變量ΔKP、ΔKI、ΔKD的每一個(gè)變量所對(duì)應(yīng)的模糊規(guī)則均為49條，每條模糊規(guī)則的形式為

本文設(shè)計(jì)的ΔKP、ΔKI、ΔKD的 模糊規(guī)則如表2所示，數(shù)字1～7分別代表NL、NM、NS、ZE、PS、PM、PL。

表2 ΔKP/Δ KI/Δ KD的模糊規(guī)則表

1.2 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

忽略關(guān)節(jié)摩擦和末端負(fù)載，六關(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程可以寫成如下形式

為了對(duì)六關(guān)節(jié)機(jī)器人進(jìn)行仿真，根據(jù)上述建立的動(dòng)力學(xué)方程式(3)可計(jì)算方程中關(guān)節(jié)角加速度

由t時(shí)刻的關(guān)節(jié)角加速度，假設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)Δt內(nèi)不變化, 在初始條件為的情況下,對(duì)當(dāng)前t時(shí)刻關(guān)節(jié)信息qt和進(jìn)行數(shù)值積分, 計(jì)算出下一時(shí)刻t+Δt的角速度和關(guān)節(jié)角qt+Δt為

2 模糊PID控制的多目標(biāo)PSO優(yōu)化

2.1 模糊PID控制的多目標(biāo)問題

優(yōu)化機(jī)器人軌跡跟蹤模糊PID控制，需要將待優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行編碼形成一個(gè)決策向量。粒子群算法中的決策向量為某個(gè)粒子i的位置向量xi，具體表達(dá)為

式中：D為優(yōu)化問題中待優(yōu)化參數(shù)的個(gè)數(shù)。

PSO優(yōu)化模糊PID控制的粒子位置向量xi中的元素所代表的參數(shù)及參數(shù)取值范圍如表3所示，其中元素xi,1?xi,15分別表示輸入變量e、ec和輸出變量ΔKP、ΔKI、ΔKD的隸屬函數(shù)中心頂點(diǎn)值，每個(gè)變量需指定3個(gè)中心頂點(diǎn)值，故5個(gè)變量需要15個(gè)表示模糊PID控制器隸屬函數(shù)的設(shè)計(jì)參數(shù)；模糊PID控制器總共有3個(gè)規(guī)則表，每個(gè)規(guī)則表有49條模糊規(guī)則結(jié)果需要設(shè)計(jì)，故需要3×49=147個(gè)元素表示，即xi,16?xi,64、xi,65?xi,113、xi,114?xi,162分別表示ΔKP、ΔKI、ΔKD規(guī)則的49條模糊規(guī)則。故總共需要162位元素基來(lái)表示，D=162。

表3 粒子位置向量參數(shù)

模糊PID控制有2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，分別與軌跡跟蹤偏差和控制器輸出力矩有關(guān)，如式(7)所示，則目標(biāo)向量為f=(f1,f2)。

式中：e(t)為t時(shí)刻的機(jī)器人笛卡爾空間仿真軌跡與期望軌跡的偏差；τn(t)為t時(shí) 刻模糊PID控制器作用在第n個(gè) 關(guān)節(jié)的輸出力矩；T為運(yùn)行模糊PID控制器完成一次軌跡跟蹤控制仿真的總時(shí)間。

模糊PID控制器多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)，最小化控制器輸出力矩可能導(dǎo)致軌跡跟蹤誤差的提高，因此需要在這2個(gè)互相沖突的目標(biāo)中找到權(quán)衡的解，而這樣的解不唯一。2個(gè)粒子的位置向量x1和x2，若對(duì)于?k=1,2，有fk(x1)≤fk(x2)，且對(duì)于?k=1,2有fk(x1)＜fk(x2)，稱x1支配x2；否則稱x1與x2為非支配關(guān)系。多目標(biāo)優(yōu)化算法的任務(wù)是找到所有不被其他粒子位置向量支配的粒子所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)向量f=(f1,f2)的集合，這些目標(biāo)向量互為非支配關(guān)系，其集合稱為非支配解集。

2.2 改進(jìn)多目標(biāo)PSO算法

粒子群算法是通過各個(gè)粒子位置的不斷調(diào)整，使得粒子不斷向最優(yōu)位置移動(dòng)。算法中每個(gè)粒子均具有形如[xi,1(k),xi,2(k),···,xi,D(k)]的位置向量xi(k)和形如[vi,1(k),vi,2(k),···,vi,D(k)]的速度向量vi(k)，其中，i=1,2,···,S是粒子在粒子群中的序號(hào)，k為迭代次數(shù)，S是粒子群的個(gè)數(shù)。

改進(jìn)多目標(biāo)PSO算法優(yōu)化機(jī)器人軌跡跟蹤控制模糊PID控制器的流程如圖3所示，算法主要步驟如下。

圖3 多目標(biāo)粒子群算法優(yōu)化模糊PID控制器流程

1）生成初始粒子種群：根據(jù)表3，隨機(jī)生成S個(gè)形如[xi,1(0),xi,2(0),···,xi,162(0)]的粒子位置向量xi(0)，且初始種群為{x1(0),x2(0),···,xS(0)}，設(shè)置初始種群中所有粒子的速度向量vi(0)=0。

2）更新粒子群：設(shè)置第k代粒子群為當(dāng)前粒子群。

3）更新隸屬函數(shù)和模糊規(guī)則：讀取當(dāng)前粒子群中第j(j=1,2,···,S)個(gè)粒子的位置向量，根據(jù)編碼xi,1(k)?xi,10(k)生成新的輸入變量e、ec和輸出變量ΔKP、ΔKI、ΔKD的隸屬函數(shù)，更新隸屬函數(shù)；根據(jù)編碼xi,11(k)?xi,63(k)產(chǎn)生新的輸出變量ΔKP、ΔKI、ΔKD的 模糊規(guī)則，更新模糊規(guī)則。

4）計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值：運(yùn)行模糊PID控制器完成軌跡跟蹤控制仿真，獲得仿真控制中t時(shí)刻機(jī)器人仿真軌跡與期望軌跡的偏差e(t)和各關(guān)節(jié)控制器的輸出ui(t)，根據(jù)式(7)計(jì)算目標(biāo)向量f=(f1,f2)。

5）判斷是否遍歷S個(gè)粒子：若粒子數(shù)量j不滿足j＞S，則j+1，進(jìn)入步驟3）；若滿足j＞S，則進(jìn)入步驟6）。

6）更新個(gè)體檔案和全局檔案：個(gè)體檔案和全局檔案分別是存儲(chǔ)個(gè)體最佳位置和全局最優(yōu)粒子的非支配解集。每個(gè)粒子均有自己的個(gè)體檔案，而全局檔案為所有粒子共享。個(gè)體檔案和全局檔案是為步驟8中選擇pbest和gbest做準(zhǔn)備。若當(dāng)代粒子群中的粒子與檔案中的解集為非支配關(guān)系，則將該粒子添加到檔案中。

7）判斷是否終止優(yōu)化算法：判斷粒子迭代次數(shù)k是否達(dá)到設(shè)定值，若到達(dá)最大值，則結(jié)束優(yōu)化算法，返回當(dāng)前全局檔案中的粒子位置向量；若未到達(dá)，則進(jìn)入步驟8）。

8）選擇pbest和gbest：需從個(gè)體檔案和全局檔案中的非支配解集中分別選擇出來(lái)一個(gè)確定的值。選擇pbest和gbest的具體方法如下，首先對(duì)于每一個(gè)粒子均被賦予一個(gè)值σi，且對(duì)于個(gè)人檔案和全局檔案中的每個(gè)粒子也被賦予一個(gè)值σpi和σgi，目標(biāo)函數(shù)值為f=(f1,f2)的粒子值σ被定義為

然后將個(gè)體檔案和全局檔案中粒子σpi和σgi最接近粒子i的σi的檔案成員作為該粒子的向?qū)best和gbest。

9）計(jì)算速度向量所需參數(shù)：速度向量所需參數(shù)分別為第k代粒子的慣性權(quán)重ω(k)、正加速度系數(shù)c1(k)和c2(k)，其具體計(jì)算公式如式(9)—式(11)所示

式中：nk為算法設(shè)置的最大迭代次數(shù)；ω(0)和ω(nk)分別為初始慣性權(quán)重和最終慣性權(quán)重；ω(k)為第k代的慣性權(quán)重，且ω(0)≥ω(nk)。

式中：c1(0)和c1(nk)分別為c1的初值與終值；c2(0)和c2(nk)分別為c2的初值與終值，且c1(0)≥c1(nk)，c2(0)≤c2(nk)。

10）計(jì)算粒子速度向量：下一次迭代的速度向量vi(k+1)中第d維速度計(jì)算如式(12)所示

式中：Vmax,d為第d維上允許的最大速度；計(jì)算如式(13)所示

式中：xi,d(k)和vi,d(k)分別為在k時(shí)刻粒子i第d維上的位置和速度，d=1,2,···,D；ω為慣性權(quán)重系數(shù)；pbesti,d(k)為粒子i從個(gè)體檔案中選擇出來(lái)的pbest的第d維，gbestd(k)為在k時(shí)刻當(dāng)前全局檔案中選擇出來(lái)的gbest的第d維；系數(shù)r1、r2則為在區(qū)間[0,1]上服從均勻分布U(0,1)的隨機(jī)數(shù)。

11）更新粒子位置：根據(jù)式(14)更新粒子位置向量xi(k+1)：

12）粒子位置變異：根據(jù)式(15)對(duì)新粒子群中的粒子位置進(jìn)行變異，進(jìn)入步驟2）。

式中：xi,d為粒子i在第d維上的值；xd,max和xd,min分別為粒子在第d維上值的上界與下界；系數(shù)r為在區(qū)間[0,1]上服從均勻分布U(0,1)的隨機(jī)數(shù)。

3 仿真與結(jié)果分析

在機(jī)器人軌跡跟蹤控制仿真中，設(shè)笛卡爾空間的期望軌跡為一段螺旋線，其參數(shù)方程如下

式中：t為時(shí)間；Tc為周期時(shí)長(zhǎng)；x、y、z分別為笛卡爾空間的坐標(biāo)值。

六關(guān)節(jié)機(jī)器人的D-H參數(shù)如表4所示。根據(jù)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)可將笛卡爾空間的期望軌跡轉(zhuǎn)換成機(jī)器人關(guān)節(jié)空間各個(gè)關(guān)節(jié)的期望角度軌跡，如圖4所示。本文搭建的機(jī)器人軌跡跟蹤模糊PID控制的MATLAB仿真系統(tǒng)如圖5所示，仿真步長(zhǎng)Δt=0.01 s，仿真總時(shí)長(zhǎng)T=10 s。運(yùn)用該控制器可以得到各個(gè)時(shí)刻各關(guān)節(jié)角度的仿真值和輸出力矩值，用于計(jì)算優(yōu)化算法中式(7)的2個(gè)目標(biāo)函數(shù)值f1、f2，按照?qǐng)D3的流程圖，設(shè)置表5的優(yōu)化算法參數(shù)，運(yùn)行上述設(shè)計(jì)的控制仿真系統(tǒng)，完成關(guān)節(jié)機(jī)器人軌跡跟蹤模糊PID控制器的改進(jìn)多目標(biāo)PSO優(yōu)化。

表4 關(guān)節(jié)機(jī)器人D-H參數(shù)表

圖4 關(guān)節(jié)空間期望角度軌跡

圖5 機(jī)器人軌跡跟蹤模糊PID控制的MATLAB仿真系統(tǒng)

表5 NSGA II優(yōu)化算法參數(shù)

分別采用帶精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGA II)、多目標(biāo)基本粒子群算法(MOPSO)和改進(jìn)多目標(biāo)粒子群算法(Modify MOPSO)進(jìn)行軌跡跟蹤模糊PID控制器優(yōu)化。NSGA II優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)置如表5所示，2種粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)置如表6所示。通過3種優(yōu)化算法優(yōu)化后得到的非支配解集如圖6所示，解集中各個(gè)解的2個(gè)目標(biāo)函數(shù)值如表7所示。從圖6可以看出，Modify PSO的解集分布較廣且均勻，而通過MOPSO得到的部分解集在某一個(gè)區(qū)域比較集中，且涵蓋的范圍較小，由NSGA II所得到的解集雖然分布較廣，但分布不均勻。采用能夠同時(shí)評(píng)價(jià)解集收斂性和多樣性的超體積指標(biāo)來(lái)比較3種優(yōu)化算法獲得的非支配解集，超體積越大說(shuō)明算法綜合性能越好。設(shè)置超體積的計(jì)算參考點(diǎn)為(36.5,14 900)，NSGA II、MOPSO和Modify MOPSO的超體積分別為885.4、3 369.1和7 247.6，可見Modify PSO獲得的非支配解集最優(yōu)。

表6 MOPSO和Modify MOPSO優(yōu)化算法參數(shù)

表7 目標(biāo)函數(shù)值

圖6 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

綜上，改進(jìn)多目標(biāo)PSO算法應(yīng)用于關(guān)節(jié)機(jī)器人軌跡跟蹤模糊PID控制器的多目標(biāo)優(yōu)化問題，可以得到比基本多目標(biāo)PSO算法和NSGA II更優(yōu)的非支配解集，驗(yàn)證了該算法在機(jī)器人軌跡跟蹤模糊PID控制優(yōu)化上有效性和優(yōu)越性。

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一個(gè)模糊PID控制器應(yīng)用于六關(guān)節(jié)機(jī)器人軌跡跟蹤控制，以控制器輸出力矩和軌跡跟蹤偏差為2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)了改進(jìn)多目標(biāo)PSO算法優(yōu)化模糊控制器的隸屬函數(shù)和模糊規(guī)則優(yōu)化調(diào)整。對(duì)比改進(jìn)多目標(biāo)PSO和基本多目標(biāo)PSO算法、遺傳算法應(yīng)用于關(guān)節(jié)機(jī)器人軌跡跟蹤模糊PID控制器的多目標(biāo)問題，結(jié)果表明，改進(jìn)PSO獲得的非支配解集更好，驗(yàn)證了該算法應(yīng)用于機(jī)器人軌跡跟蹤模糊PID控制優(yōu)化的有效性和優(yōu)越性。進(jìn)一步的研究工作是繼續(xù)探索多目標(biāo)PSO算法與其他優(yōu)化算法（如蟻群算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等）實(shí)現(xiàn)機(jī)器人軌跡跟蹤控制器優(yōu)化的效果，進(jìn)行對(duì)比分析。