深度思考：教師必備的思維品質
——由“小徑分綠地問題”引發(fā)的思考

□葉勤軍

（杭州師范大學附屬未來科技城學校，浙江杭州 311100）

小徑分綠地問題（以下簡稱“綠地問題”）是七年級數學的常見題型.這類問題對學生掌握并運用平移知識，培養(yǎng)空間想象能力具有重要價值.在教學中，教師通常會引導學生用“整體減部分”的方法（以下簡稱“面積法”）或者平移法來求解.需要注意的是，平移法不能簡單運用于所有的此類問題.請看《中學數學》2021年1 月刊中《利用平移解決的幾個問題》一文中的一道例題:

例如圖（圖1）所示是一塊草地，這塊草地中間有一個十字小道，其中橫向小道的寬度為1個單位，縱向小道的寬度為2 個單位長度，你能求出除十字小道外剩余草地的面積嗎？

圖1

作者給出的解析是這樣的:

把陰影部分剪去后，空白部分平移后可以組成一個新矩形，這個矩形的長為（a-2），寬為（b-1），所以空白部分的面積為（a-2）（b-1）=ab-a-2b+2.

但是，當我們對四塊空白部分進行平移，發(fā)現在拼成一塊矩形后，內部出現了重合部分.由圖2、圖3 可以發(fā)現，重合部分是由①號和②號圖形產生的.可見，圖中空白部分的面積等于（a-2）（b-1）+S重合部分.

圖2

圖3

為什么會出現這樣的情況？筆者在深入思考和細致研究的基礎上，梳理了解答綠地問題的系統(tǒng)方法，進而獲得了有關教師素養(yǎng)提升的一些啟示.

一、解答綠地問題的方法梳理

《中小學數學》2015 年10 月刊刊發(fā)的《運用平移求綠地面積不能被簡單推廣》一文，對解答綠地問題進行了較詳細的分析，為綠地問題的求解提供了解題的思路和方向，但文章存在一些不足.在分析“斜路與斜路相交”時，文章先用面積法求出綠地的面積；而對于平移法，文章則認為，綠地平移后出現的中間空隙部分（如圖4）是一個平行四邊形，所以“若用平移，無多大實際意義，故不再求解”.然而，事實并非如此.首先，兩條斜路相交，平移后所組成的圖形，不一定存在空隙，也可能出現重合.其次，用平移法計算“空隙”或者“重合”部分平行四邊形的面積時，探求該平行四邊形邊長的過程，其實也就是明確該平行四邊形由來的過程，并非像文章所說的“無多大實際意義”.

圖4

此外，文章將兩條小徑相交的情況分成“直與直、直與斜”“斜與斜垂直”“斜與斜不垂直”三種，但沒有找到不同情況的聯系和共同點.其實，我們只需將情況分成“至少有一直”、“斜與斜”兩種.前者用面積法或平移法計算都比較簡單，若用平移法，也不會出現重合或空隙部分.后者計算稍煩瑣，需要借助三角函數的相關知識，但是，用不同方法來求解，最終所得的結果是一致的，且最后得出的面積表達式，對于上述“至少有一直”“斜與斜”兩者都是成立的.這就是變化當中蘊含的不變性，是問題隱含的普遍規(guī)律.

在綠地問題中，小徑的數量以1條、2條的情況比較常見.1條小徑的問題比較簡單（其意義在于揭示了解決“綠地”問題的基本思路是轉化，即將曲線和折線轉化為直線，將不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形，化繁為簡），而如果小徑有多條，則可轉化為2 條來解答.鑒于這樣的情況，以下筆者試對兩條小徑相交的“至少有一直”和“斜與斜”這兩種情況進行闡釋.

（一）至少有一直

“至少有一直”又可分為兩種情況:①兩條都為直（如圖5）；②一直一斜（如圖6）。

圖5

圖6

對于此兩種情況，若用面積法求解，兩條小徑重合部分，都是底和高分別為c1和c2的平行四邊形，面積相等；若用平移法求解，可將原圖平移成長和寬分別為（a-c1）和（b-c2）的矩形，化簡得:S草地=ab-ac2-bc1+c1c2.兩種方法結果相同.

（二）斜與斜

此種情況下，重合部分的平行四邊形的底和高不再是c1和c2，為了求出重合部分的面積，我們需要知道傾斜小徑與長方形兩邊的夾角α和β.

如圖7，解得:

圖7

當α=90°，β=90°，即圖5 所示情況，S綠地=c1c2；當β=90°，即圖6所示情況，S綠地=c1c2.

由此可見，“至少有一直”只是“斜與斜”的特殊情況.下面，用平移法來研究.

通過平移拼接我們發(fā)現:當β＜90°，拼成的矩形有重合部分（如圖8）；當β＞90°，拼成的矩形有空白部分（如圖9）；當β=90°，恰好拼成一個矩形（如圖10）.

圖8

圖9

圖10

下面，我們僅就β＜90°的情形進行分析.當我們將四塊綠地平移至如圖8所示位置，發(fā)現，四塊綠地組成的圖形為一塊矩形，內部有一塊重合部分，易證，重合部分是一個平行四邊形，產生重合部分的原因是:①號四邊形向右平移c1個單位長度，此時，AA'＞BB'，而AA'-BB'=QR；②號四邊形向下平移c2個單位長度，此時，CC'＞BB''，而CC'-BB''=CR，故①號和③號四邊形出現了重合部分.下面，我們來求解綠地的面積:

當β＞90°時，求得結果相同；當β=90°時，“斜與斜”就變成了“至少有一直”的情況，從而找到了一致性.同時可以發(fā)現，運用面積法和平移法求得的結果相同.

二、從對綠地問題的深入探索中得出的啟示

養(yǎng)成深度思考的習慣和能力是一線教師必不可少的思維品質.

（一）要熟知并能夠應用更高學段的知識來分析和解決問題

有人說，教師教什么年齡段就把自己限定在什么年齡段，初中教師只有初中生的知識水平和思維方式.隨著筆者教齡的增加，這樣的感受日趨強烈.教師平時接觸到的問題涉及的知識點和方法局限在初中階段，且思考問題時難免要顧及如何表述方能更易被學生接受，用目前學生已經掌握的知識成為必然.久而久之，許多高中大學階段的知識逐漸遺忘，思維方式被局限.

這樣的局面會造成什么弊端？第一，不利于問題的深入研究.教師要想對某一些問題展開探究，進行深入本質的分析，所要借助的知識往往是綜合性、多方面的，僅僅依靠初中階段的知識就會捉襟見肘，難以有效施展.第二，不利于數學知識的系統(tǒng)性學習.數學知識與思想是根據學段的提升逐步加深的，且彼此之間存在密切的邏輯上的聯系，如果教師無法認識到一節(jié)課在以后的學段中起到的基礎性作用，備課時就會產生偏差，會忽略一節(jié)課的某些重要價值，也很難做到從數學史的角度來定位和詮釋一節(jié)課.這樣將不利于學生對數學的系統(tǒng)性學習.第三，不利于教師的專業(yè)成長和自身發(fā)展.時代發(fā)展迅速，知識日新月異，要想成為一名合格的教師，我們必須具有較高的數學知識素養(yǎng)和文化內涵，通過終身學習，才能不與時代和學生脫節(jié).教師如果將高中、大學的知識逐步遺忘，那么，如何對問題進行深入研究呢？自身的成長和發(fā)展必然受挫.

（二）對于問題的思考要嚴謹、深入和實事求是

數學研究忌諱想當然、憑感覺，即便再顯而易見的問題，我們也要具備“程序化”分析的品質和能力，通過觀察發(fā)現規(guī)律，通過猜想提出規(guī)律，再通過推理驗證規(guī)律，這樣得出的結論，才是有效和可靠的.否則，教師自己容易出錯，也會誤導學生.這就要求教師在研究問題時，應具備學術氣質，要多方查證、深入思考，不可淺嘗輒止.在深入的探究過程中，可以展露出問題的細枝末節(jié)，原先的諸多疑惑也會逐步明朗.對于一個乃至一類數學問題的分析，教師不僅要能展開，也要能夠收回.一題多解、分類討論，可以培養(yǎng)學生思維的嚴密性和創(chuàng)新性，但是多解歸一、尋找通性通法才是返璞歸真、抓住本質，才能切實提高學生的解題能力，減少其學習負擔.