基于Simpson公式的灰色模型鋼軌大修周期研究

于 杰，王齊榮

(1.西南交通大學高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，成都 610031；2.西南交通大學土木工程學院，成都 610031)

鋼軌是軌道結(jié)構(gòu)的重要組成部分，是列車運行的基礎(chǔ)，其強度和狀態(tài)直接關(guān)系到鐵路列車運行安全[1]。2000年因斷軌引起的英國哈特菲德爾事故損失近7.3億英鎊[2]，因此對鋼軌的大修周期進行科學預測具有重要意義。影響直線段(R≥2 000 m)鋼軌使用壽命的關(guān)鍵因素是鋼軌滾動接觸疲勞傷損，而影響鋼軌接觸疲勞的因素除了材料自身材質(zhì)外還與外界條件密切相關(guān)，如：軌溫變化.運輸密度.養(yǎng)護打磨技術(shù).車輛軸重.雨天行車等因素[2]。目前，我國普通鐵路鋼軌的大修標準主要依據(jù)TG/GW 102—2019《普速鐵路線路修理規(guī)則》，但我國幅員遼闊不同地區(qū)的不同鐵路工務(wù)段的維修養(yǎng)護.運營條件差異較大，因此有必要針對不同地區(qū)的鋼軌實際運營情況制定相應(yīng)的大修周期。

國內(nèi)外學者對于鋼軌的修理周期進行了大量的研究，其主要分為兩大類：第1類從鋼軌病害發(fā)展機理分析的角度，采用斷裂力學.疲勞理論.斷裂理論.臨界平面法.Archard磨耗理論.建立車輛-軌道動力學仿真等方法，建立鋼軌型面磨耗及疲勞裂紋預測模型，預測鋼軌磨耗量進而預測鋼軌使用壽命及修理周期[4-7]；第2類從鋼軌傷損數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析角度，Bozyslaw Bogdaniuk等[8]依據(jù)鋼軌傷損的統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行多項式擬合，顏秉善.習年生.徐愛民.李軍等[9-12]，依據(jù)鋼軌傷損統(tǒng)計數(shù)據(jù)利用威布爾函數(shù)預測鋼軌大修周期；白文飛等[13]將鋼軌劃分為多個鋼軌單元，基于泊松-威布爾過程對鋼軌單元的修理周期進行預測；侯炳麟等[14]通過灰色模型以及模糊貼近法預測任意一段鋼軌的傷損趨勢，為線路修理周期的研究提供參考；田常海[15-16]利用鋼軌傷損加權(quán)統(tǒng)計法，結(jié)合經(jīng)濟學原理提出鋼軌最佳經(jīng)濟下道時機，提出累計通過總重與鋼軌傷損相結(jié)合的大修周期模式；張文生.王軍.劉勇等[17-19]對鋼軌傷損及更換數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，進而得到鋼軌大修周期及提出修理建議。

鋼軌傷損及使用壽命是一個古老而又基礎(chǔ)的問題，目前的計算機仿真模型多以輪軌靜態(tài)接觸模型為主，難以反映出輪軌在實際運營條件下的狀態(tài)，且線路上發(fā)生的主要傷損絕大多數(shù)與鋼軌的線路狀況.鋼軌養(yǎng)護維修和機車起動及制動等使用條件有關(guān)，并非是鋼軌母材所受應(yīng)力達到鋼軌材料疲勞極限造成的，不能應(yīng)用材料疲勞極限觀點確定大修周期[15]。本文通過Simpson公式的對灰色模型背景值進行改進并建立預測模型，再利用西南山區(qū)某多雨工務(wù)段的2條普通線路的鋼軌傷損統(tǒng)計數(shù)據(jù)驗證模型合理性，并與灰色模型預測結(jié)果進行對比分析。

1 研究方法

1.1 灰色模型GM(1，1)

1982年鄧聚龍教授提出灰色系統(tǒng)的概念，經(jīng)過30多年的發(fā)展灰色預測已經(jīng)成為一個特色鮮明的研究領(lǐng)域，并且成功應(yīng)用于各個領(lǐng)域[20]。

對原始數(shù)據(jù)進行累加后，弱化了原數(shù)據(jù)的隨機性，若原始數(shù)據(jù)X(0)和一階累加生成序列X(1)滿足準光滑性檢驗[21]

準指數(shù)規(guī)律檢驗

級比檢驗

則序列X(1)具有指數(shù)增長的規(guī)律，可進行建模。若原始數(shù)據(jù)不滿足上述條件，則還需對原始數(shù)據(jù)進行預處理，弱化序列的隨機性，可以首先施加常用的對數(shù)算子或冪函數(shù)算子，使其滿足條件，獲得預測值后再用逆運算還原[22]，具體處理方法見下一節(jié)預測實例。本文根據(jù)文獻[20]對系統(tǒng)的研究，建立GM(1，1)的預測模型，首先建立灰微分方程

(1)

(2)

則公式(2)可以化為

x(0)(k)+a1z(1)(k)=b1

(3)

若u1=[a1，b1]T為參數(shù)列，則利用最小二乘法參數(shù)列滿足

(4)

矩陣B1可以表示為：B1=[-(Z1)(n-1)×n，e(n-1)×1]，e(n-1)×1表示(n-1)×1的單位矩陣，其中Z1表示為

則GM(1，1)模型的時間序列為

k=1，2，…，n

(5)

還原后x(0)的預測值為

1.2 基于Simpson公式的灰色模型[20]

公式(1)考慮在[k-1，k+1]上積分則有

(6)

利用Simpson數(shù)值積分公式可得

4x(1)(k)+x(1)(k+1)]

(7)

則公式(6)可轉(zhuǎn)化為

4x(1)(k)+x(1)(k+1)]=2b2

(8)

設(shè)u2=[a2，b2]T為參數(shù)列，利用最小二乘法參數(shù)列滿足

(9)

矩陣B2可以表示為：B2=[-(Z2)(n-1)×n，e(n-1)×1]e(n-1)×1表示(n-1)×1維的單位矩陣，則Z2表示為

1.3 模型檢驗[20]

為了檢驗模型的預測精度，采用預測值與實際值的相對誤差檢驗。PRE記作預測值與實際值的相對誤差；APRE為預測值與實際值的相對平均誤差，則

(10)

(11)

2 預測實例

2.1 鋼軌傷損數(shù)據(jù)統(tǒng)計及相關(guān)性分析

我國西南山區(qū)某工務(wù)段管轄線路地形復雜，鐵路線路等級偏低，橋隧占比高，坡度大，空氣潮濕，陰雨天氣占全年天氣的7成，因此雨天行車的占比大。研究表明：若在車輪碾壓前裂紋中存在部分液體(如雨水)，當車輪經(jīng)過時，進入裂紋的雨水在裂紋口處形成“進液加壓”，使裂紋表面承受垂直壓力阻止裂紋閉合，進而加速裂紋擴展，影響鋼軌使用壽命，此結(jié)論已經(jīng)得到了有限元仿真結(jié)果的證實[23]。因此，針對不同的運營情況對鋼軌大修周期進行預測研究十分有必要。

為防止單一數(shù)據(jù)具有偶然性，本文選取同一工務(wù)段的2條普通鐵路線路作為研究對象。為確保自然地理條件一致，兩條線路均為客貨共線，有砟軌道，有縫鋼軌，允許通過速度為80 km/h，其他參數(shù)均保持一致，鋼軌的具體參數(shù)信息見表1。

表1 線路鋼軌基本參數(shù)

文獻[24]依照鋼軌傷損程度將鋼軌傷損分成輕傷.重傷和折斷三類。其中鋼軌折斷是重傷的進一步發(fā)展。因此，鋼軌的失效體現(xiàn)主要為重傷和折斷。大量的觀察結(jié)果表明，隨著列車車速.列車軸重.行車密度的提高和高強耐磨鋼軌的應(yīng)用，鋼軌表面的波狀磨耗和鋼軌側(cè)磨耗逐漸減輕，而由接觸疲勞損傷導致的塊狀剝落現(xiàn)象日益加重[11]。因此，本文選取的兩段典型客貨共線且行車密度較大的普通鐵路線路，使其鋼軌使用壽命受限于鋼軌的接觸疲勞壽命。工務(wù)實踐表明，直線段(R≥2 000 m)的鋼軌壽命取決于疲勞壽命，小半徑曲線段主要受磨損壽命控制，加之直線段與小半徑曲線段的鋼軌材質(zhì)和加工方式本就不同，因此，僅對實測數(shù)據(jù)的直線段鋼軌的重傷與折斷進行統(tǒng)計分析。

以我國西南山區(qū)某工務(wù)段內(nèi)2條普通線路2009年～2018年的鋼軌傷損.累計通過總重以及雨天行車數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，其中天氣數(shù)據(jù)來源于國家氣象科學數(shù)據(jù)中心，得到表2數(shù)據(jù)。

表2 2條線路鋼軌重傷統(tǒng)計

影響鋼軌大修周期的因素較多，選取列車累計通過總重與累計雨天行車2個因素，作為影響鋼軌傷損的主要因素，引入皮爾森(Pearson)相關(guān)系數(shù)用以度量累計通過總重.累計雨天行車天數(shù)與鋼軌重傷數(shù)的相關(guān)程度。利用MATLAB軟件進行Pearson相關(guān)性分析，得到相關(guān)系數(shù)(表3)。

表3 Pearson相關(guān)系數(shù)

Pearson相關(guān)系數(shù)通過以下取值范圍判斷變量之間的相關(guān)強度：0.8～1.0極強相關(guān)，0.6～0.8強相關(guān)，0.4～0.6中等程度相關(guān)，0.2～0.4弱相關(guān)，0.0～0.2極弱相關(guān)或無相關(guān)。根據(jù)表3可知，計算獲得的相關(guān)系數(shù)值均在0.8～1.0，可見累計通過總重.雨天行車天數(shù)均與鋼軌的重傷數(shù)具有極強相關(guān)性。由累計通過總重于與鋼軌的重傷數(shù)的相關(guān)系數(shù)可知，使用累計通過總重作為鋼軌大修周期的度量標準是科學的；由雨天行車天數(shù)與鋼軌重傷數(shù)的相關(guān)系數(shù)可知，對多雨鐵路工務(wù)段的鋼軌制定相應(yīng)的大修周期具有重要意義。

2.2 預測模型

2.2.1 GM(1，1)灰色模型求解

本文以線路Ⅰ的詳細計算過程為例，線路Ⅱ的計算同理。

首先，對原始數(shù)據(jù)進行檢驗，即原始數(shù)據(jù)X(0)和一階累加生成的序列X(1)是否滿足級比.準指數(shù)規(guī)律.準光滑性的要求，計算獲得的參數(shù)數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 原始數(shù)據(jù)合理性驗證

線路Ⅰ原始數(shù)據(jù)需滿足σx(k)∈(0.846，1.181)，δk∈[1，1.5]，ρk<0.5，由表4可以看出原始數(shù)據(jù)并不滿足建模條件，因此需對原始數(shù)據(jù)添加合適的算子進行弱化處理。原始數(shù)值中存在數(shù)值1，不適合采用對數(shù)算子，且原始數(shù)據(jù)的差異性較大，因此采用冪函數(shù)算子對原始數(shù)據(jù)預處理，令X(0)′=(X(0))0.1處理后各項參數(shù)數(shù)值見表5。

表5 處理后的數(shù)據(jù)合理性驗證

處理后的原始數(shù)據(jù)，級比數(shù)值滿足σx(k)∈(0.846，1.181)，且在k>3時，δk.ρk均滿足建模取值要求。

對線路數(shù)據(jù)建立灰色模型，得到線路Ⅰ.Ⅱ的發(fā)展系數(shù)和灰色作用量分別為：a1=-0.055 8，-0.044 4，b1=1.031 7，1.125 7；線路Ⅰ.Ⅱ的GM(1，1)的時間序列分別為

k=1，2，3，…，n

2.2.2 Simpson公式的GM(1，1)模型求解

計算獲得線路Ⅰ.Ⅱ的發(fā)展系數(shù)a2=-0.059，-0.048 8；灰色作用量b2=1.018 6，1.092 8；線路Ⅰ.Ⅱ基于Simpson公式的GM(1，1)的時間序列分別為

2.2.3 預測結(jié)果及精度檢驗

將GM(1，1)與基于Simpson公式的GM(1，1)模型的計算數(shù)值進行逆運算，得到相應(yīng)累計通過總重分組的重傷數(shù)量，換算為累計重傷率并與實際值進行比較得到表6。

表6 預測值與實際累計重傷率比較

由表6分析可得，線路ⅠSimpson-GM(1，1)相對誤差(RPE)小于GM(1，1)的相對誤差數(shù)量占比為73%，計算獲得GM(1，1)的平均相對誤差(ARPE)為19.106%，Simpson-GM(1，1)的平均相對誤差為16.575%；線路ⅡSimpson-GM(1，1)的相對誤差小于GM(1，1)的相對誤差數(shù)量占比為75%，且計算獲得GM(1，1)的平均相對誤差為33.462%，Simpson-GM(1，1)的平均相對誤差為20.654%?？梢娀赟impson公式的改進灰色模型預測精度有明顯提高。

為了便捷直觀地展示2個模型的預測效果，圖1給出了鋼軌累計重傷率實際值與預測值之間的關(guān)系，以及隨著累計通過總重不斷增加的后續(xù)預測曲線。

圖1 基于不同模型預測效果

從圖1可以看到，在累計通過總重0～300 Mt時，由于鋼軌累計重傷率的實際值與預測值自身數(shù)值較小且均介于0～0.2，因此兩模型預測值與實際值的數(shù)值差距在圖中表現(xiàn)不明顯；在350～600 Mt時，預測值與實際值的差距逐漸顯現(xiàn)?；赟impson公式的改進灰色模型的預測曲線相較于GM(1，1)與實際值更為接近，具有更高的預測精度；且基于Simpson公式的改進灰色模型的預測曲線更陡峭，則相應(yīng)轉(zhuǎn)換為以累計通過總重度量的鋼軌大修周期的數(shù)值也更保守。

鋼軌疲勞可靠度取97.5%時，對應(yīng)累計重傷率F(t)=(0.025)×80=2處/km，符合TG/GW 102—2019《普速鐵路線路修理規(guī)則》規(guī)定：當鋼軌每千米重傷數(shù)量達到2～4處時，應(yīng)及時更換鋼軌的要求數(shù)值下限；因上述預測公式的輸入值是以每50 Mt為一組的分段鋼軌重傷數(shù)值，為使得到鋼軌預測傷損量為整數(shù)2，采用在相應(yīng)預測區(qū)間線性內(nèi)插的方式獲得對應(yīng)的鋼軌累計通過總重，結(jié)果見表7。

表7 鋼軌重傷率達到2處/km時累計通過總重 Mt

工務(wù)實踐中鋼軌大修周期通常以100的整數(shù)倍形式表示，為確保鐵路運營的安全，數(shù)值應(yīng)取下限500 Mt。TG/GW 102—2019《普速鐵路線路修理規(guī)則》規(guī)定：碎石混凝土枕的60 kg/m普通線路鋼軌大修周期為600 Mt。依據(jù)兩種預測模型的綜合結(jié)果表明：本文鐵路工務(wù)段的鋼軌大修周期應(yīng)調(diào)整為500 Mt。

3 結(jié)論

在現(xiàn)有鋼軌大修周期的研究基礎(chǔ)上，為防止單一數(shù)據(jù)的偶然性，對西南山區(qū)2條普速鐵路鋼軌傷損數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析。首先，引入Pearson相關(guān)系數(shù)，驗證以累計通過總重度量鋼軌大修周期的科學性，以及雨天行車對鋼軌修理周期的影響。其次，驗證原始數(shù)據(jù)合理性，對不滿足建模條件的原始數(shù)據(jù)引入冪函數(shù)算子弱化原數(shù)據(jù)序列的隨機性，再代入基于Simpson公式改進背景值的灰色模型的中計算，將結(jié)果逆運算還原進而預測普通鐵路鋼軌大修周期。結(jié)論如下。

(1)對比兩線路的Pearson相關(guān)系數(shù)可知，累計通過總重和雨天行車兩個因素與鋼軌重傷數(shù)量存在著極強的相關(guān)性，因此以累計通過總重來度量鋼軌大修周期的是科學的，對多雨工務(wù)段應(yīng)結(jié)合實際情況調(diào)整鋼軌的大修周期。

(2)對比兩線路基于Simpson公式的改進灰色模型與GM(1，1)的預測結(jié)果表明，基于Simpson公式的改進灰色模型將兩線路的平均相對誤差(ARPE)由原來的19.106%.33.462%下降至16.575%和20.654%，可見改進后的模型具有較高的預測精度，能夠充分挖掘鋼軌傷損數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律性。

(3)兩種預測模型的綜合結(jié)果表明，多雨地區(qū)鐵路工務(wù)段的普速鐵路鋼軌大修周期應(yīng)調(diào)整為500 Mt。