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    一類帶強(qiáng)阻尼Kirchhoff 型吊橋方程的長時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為

    2020-07-28 06:40:38呂鵬輝呂小俊
    關(guān)鍵詞:內(nèi)積吊橋有界

    呂鵬輝,騰 旭,呂小俊

    (云南大學(xué)旅游文化學(xué)院信息學(xué)院, 云南麗江 674199)

    1 引言

    本文研究一類帶強(qiáng)阻尼Kirchhoff 型吊橋方程的長時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為:

    其中Ω 是RN中具有光滑邊界的有界域,其光滑邊界為Γ,其中k2是彈性系數(shù),有關(guān)M(‖?u‖2),f(x) 的假設(shè)將會(huì)在后文中給出,函數(shù)

    吊橋方程是在1990 年,A.C.Lazer 和P.J.Mckenna 在研究非線性分析領(lǐng)域的問題時(shí),提出一新的模型,即吊橋方程.該模型提出來后,相當(dāng)多學(xué)者對該類吊橋方程進(jìn)行了相關(guān)研究,參見文獻(xiàn)[1 -7,10 -11]及相關(guān)文獻(xiàn).Ivana Bochicchio,Claudio Giorg 和Elena Vuk[1]研究了可延展吊橋方程的長時(shí)間阻尼動(dòng)力學(xué).2011 年,JONG-YEOUL PARK 和JUM-RAN KANG[2]得到了非線性阻尼吊橋方程的整體吸引子的存在性.2018 年,黃商商和馬巧珍[3]在使用了能量估計(jì)和收縮函數(shù)的方法的情況下,得到了在弱拓?fù)淇臻g下存在全局吸引子.2018 年,賈瀾和馬巧珍[5]運(yùn)用加強(qiáng)的平坦條件,在較弱的非線性項(xiàng)條件下,得到了基爾霍夫型吊橋方程的指數(shù)吸引子的存在性.受以上分析和相關(guān)參考文獻(xiàn)的啟示,在本文中,我們運(yùn)用算子半群分解的方法研究一類kirchhoff 型吊橋方程的長時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為.

    2 預(yù)備知識(shí)

    當(dāng)s= 0 時(shí),記H=L2(Ω );當(dāng)s= 2 時(shí),記V2=H2(Ω )∩H10 (Ω ),且其相應(yīng)的內(nèi)積和范數(shù)分別為

    ‖Au‖表示D(A)的范數(shù),其中A=Δ2.顯然V4?V2?H?V-2,其中V-2為V2的共軛空間.

    接下來定義Hilbert 空間并賦予范數(shù):

    為了得到問題(1.1) -(1.3)的長時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為,我們接下來給出相關(guān)概念:

    定義2.1[8](整體吸引子)設(shè)X為一Banach 空間,{S(t)}t≥0是一連續(xù)算子半群,若存在緊集A0?X滿足下列條件:

    (I)不變性:在算子半群{S(t)}t≥0的作用下是不變集,即S(t)A0=A0( ?t≥0);

    (II)吸引性:A0吸引X中的所有的有界集,即任意B?X是X中的有界集,則

    特別地,當(dāng)t→ ∞ 時(shí),從u0出發(fā)的一切軌道S(t)u0收斂于A0內(nèi),即有dist(S(t)u0,A0)→0(t→ ∞ ),

    則稱緊集A0為半群{S(t)}t≥0的整體吸引子.

    定義2.2[8,10](指數(shù)吸引子)設(shè){S(t)}t≥0是一完備度量空間X的算子半群,如果M?X滿足下列三個(gè)條件,則稱集合M?X為半群{S(t)}t≥0的指數(shù)吸引子:

    (Ⅰ)集合M在X中是緊的,并且存在有限維的分形維數(shù);

    (Ⅱ)集合M是正不變的,即S(t)M?M;

    (Ⅲ)集合M?X是半群{S(t)}t≥0的指數(shù)吸引集,即對每個(gè)有界集B?X,存在常數(shù)c=c(B),τ >0 ,使得dist(S(t)B,M)≤c(B)e-τt.

    定理2.1[9]在Banach 空間X中定義一連續(xù)算子半群{S(t)}t≥0,若滿足下列條件,則連續(xù)算子半群{S(t)}t≥0存在整體吸引子:

    (I)存在一有界吸收集B?X,使得對任何有界集B0?X, 滿足dist(S(t)B0,B) →0 (t→+ ∞ ).

    (II)S(t) 可分解為S(t)=P(t)+U(t) , 其中P(t) 是X→X的連續(xù)映射且對每個(gè)有界集B0?X, 使得

    當(dāng)t充分大時(shí),U(t) 為一致緊,即對任意一有界集B0?X,都存在T0=T0(B0),滿足在X中為相對緊.

    定理2.2[10]設(shè)X3?X1是一不變緊子集,而且X2緊嵌入X1,若存在時(shí)間t*,使得下列條件都成立:

    (Ⅰ)映射(t,z0)S(t)z0,即 [0 ,t*]×X3→X3是 Lipschitz 連續(xù)的;

    (Ⅱ)映射S(t*):X3→X3有如下分解形式:

    其中S0滿足其中C*>0 ,則半群{S(t)}t≥0存在指數(shù)吸引子.

    3 整體吸引子的存在性

    定理3.1假定

    (H1)這里λ1為 -Δ的第一特征值.

    問題 (1.1)- (1.3) 存在唯一整體解u∈L∞(0,+ ∞;V2) ,ut∈L∞(0,+ ∞;H) .

    注3.1 對于M(s)的假設(shè),允許M(s)退化,即M0= 0 ,問題(1.1)-(1.3) 也存在唯一整體解u∈L∞(0,+ ∞;V2) ,ut∈L∞(0,+ ∞;H) .

    證明:方程(1.1)分別與ut和作H內(nèi)積得到

    (3.1) +(3.2)得到

    由假設(shè)條件(H1) 、(H2) 得到:

    將(3.5)代入(3.3)得到

    我們應(yīng)用Gronwall 不等式,得到:

    接下來,證明解的唯一性.

    令u(t)和v(t)分別為初值為(u0,u1),(v0,v1)的兩個(gè)解,則w(t)=u(t)-v(t)滿足

    用wt和(3.10)作H內(nèi)積,得到

    結(jié)合假設(shè)條件及相關(guān)重要不等式(Young 不等式,Holder 不等式和Poincare 不等式),得到

    將(3.12) -(3.13)代入(3.11)得到

    運(yùn)用Gronwall 不等式,則得到

    證畢.

    由定理 3.1,令B= {(u,ut)∈X1:‖ut‖2+ ‖Δu‖2+k2‖u+‖2≤R2} ,則B是半群{S(t)}t≥0在X1中的有界吸收集.從而有下列定理:

    定理3.2在定理3.1 假設(shè)條件下,則球B=BX1(0 ,R2) 是問題(1.1)生成的解半群{S(t)}t≥0在X1中的有界吸收集,即對X1中任意有界集B1,存在t1=t1(B1),使得當(dāng)t≥t1(B1)時(shí),有S(t)B1?B.

    推論3.1在定理3.1 假設(shè)條件下,對任意R >0 和初值z0=(u0,u1),存在t1=t1(R),當(dāng) ‖z0‖ ≤R時(shí),‖S(t)z0‖X1≤R2,?t≥t1成立.

    接下來,利用解分解方法證明相關(guān)引理.

    設(shè)u=v+w, 其中

    引理3.1如果 (u0,u1) ∈B, (w,wt) 是(3.15)的解,則

    證明:(3.15)分別與與wt,εw作H- 內(nèi)積得到

    由假設(shè)條件,則存在正常數(shù)κ,ρ,使得

    通過Gronwall 不等式得到

    證畢.

    引理 3.2如果 (u0,u1) ∈B, (v,vt) 為(3.16)的解, 則存在緊集N(T) ?X1且 (v,vt) ∈N(T).

    (3.24)中的方程與η作H- 內(nèi)積得到

    由假設(shè)條件

    結(jié)合(3.26) -(3.29)得到

    其中H3(t)= ‖η‖2+ε2‖ξ‖2-ε‖ ?ξ‖2+ ‖Δξ‖ . 由H3(0)= 0 , (3.31)變換為

    隨后得到

    因?yàn)閂3×V1→X1是緊嵌入, 即說明V3×V1的有界集為X1的緊集.

    證畢.

    定理3.3在定理3.1 的假設(shè)條件下,由問題(1.1) -(1.3)生成的連續(xù)解半群{S(t)}t≥0在X1中存在緊的整體吸引子.

    證明:定義:P(t)(u0,u1)= (w(t),wt(t)),U(t)(u0,u1)= (v(t),vt(t)).

    則S(t)=P(t)+U(t) . 由引理 3.1 可知:任意的 (u0,u1) ∈B?X1, 算子P(t):X1→X1是連續(xù)的,并且滿足定理2.1 中的(Ⅱ). 同時(shí), 由引理3.2 可知:U(t) 是一致緊的. 再根據(jù)定理3.2,存在有界吸收集,所以{S(t)}t≥0在X1中具有緊的整體吸引子.

    證畢.

    4 指數(shù)吸引子的存在性

    定理4.1在滿足定理3.1 的假設(shè)條件下,則球B2=BX2( 0 ,R3)是由問題(1.1) -(1.3)生成的連續(xù)解半群{S(t)}t≥0在X2中的有界吸收集,即對X2中任意有界集B1,存在t1=t1(B1),使得當(dāng)t≥t1(B1)時(shí),有S(t)B1?B2.

    證明:由(1.1)分別與 -Δut和ε(-Δ)u作H內(nèi)積得到:

    結(jié)合假設(shè)條件和定理3.1 中的有界性及Holder 不等式、Young 不等式以及Poincare 不等式,得到

    結(jié)合(4.3) -(4.4),整理得到

    類似于定理3.1 處理方法,且結(jié)合定理3.1 的結(jié)論,存在κ得到

    則(4.5)化為

    利用Gronwall 不等式,得到

    所以,若u是方程(1.1) -(1.3)的解,令其中

    所以,B2是由問題(1.1) -(1.3)生成的連續(xù)解半群{S(t)}t≥0在X2中的有界吸收集.

    定理4.2對任意的初值z1=(u10,u11),z2=(u20,u21)∈X1和任意的R >0 ,使得 ‖zi‖X1≤R,那么存在常數(shù)P,有 ‖S(t)z1-S(t)z2‖X1≤ePt‖z1-z2‖X1,?t∈ [0,∞) ,其中P是與λ1、ε、k和R2有關(guān)的常數(shù).

    證明:此定理的證明過程與前文證明解的唯一性的過程相似,此處不再祥寫.

    定理4.3在定理3.1 假設(shè)條件下,存在常數(shù)C >0 ,使得

    其中z0=(u0,u1),z(t)=(u(t),ut(t))。

    結(jié)合定理3.1、定理3.2 和相關(guān)假設(shè),得到

    由(4.12) -(4.17),得到

    易得,存在κ,ρ:y5(t)≥κρH5(t),且

    故整理(4.18),并利用Gronwall 不等式,得到

    定理4.4對任意T >0 ,映射(t,z0)→S(t)z0,即 [0,T]×X3→X3是 Lipschitz 連續(xù)的,即

    對任意的z1,z2∈X3和t1,t2∈ [0,T],有

    證明:證明可詳見文獻(xiàn)[8].

    定理4.5設(shè)X3?X1是不變緊子集,且X2到X1是緊嵌入,則映射S(t*):X3→X3有如下分解形式:

    且S0和S1滿足下列不等式:

    證明:對z0∈X3,用S0z0表示方程(1.1)的線性齊次問題的解,則S(t)=S0(t)z0+S1(t)z0,假設(shè)z1=分別是以z1=(u10,u11),z2=(u20,u21)∈X3為初值的解。 令則將分解為

    由假設(shè)條件

    通過(H1) 和gronwall 不等式得到

    證畢.

    由定理2.2,定理4.4 和定理4.5 即可得到下列定理4.6.

    定理4.6 (指數(shù)吸引子)在滿足定理3.1 的假設(shè)條件下,則問題(1.1) -(1.3)生成的解半群{S(t)}t≥0在X3上存在指數(shù)吸引子.

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