基于響應(yīng)面法的跌坎消力池優(yōu)化設(shè)計研究

任 昱，刁明軍，蔣 雷，孫浩淼，黃桂兵

(四川大學(xué)水力學(xué)山區(qū)河流開發(fā)保護(hù)國家重點實驗室，四川成都 610065)

底流消能是常見的泄洪消能方式[1，2].它具有良好的消能效果、適應(yīng)性強，同時對周圍環(huán)境影響較小，因而被廣泛應(yīng)用于水利工程中[3].消力池的設(shè)計對于消能率、安全性和工程造價至關(guān)重要. 消力池經(jīng)常因為不合理的設(shè)計問題，導(dǎo)致底板失穩(wěn)、空化空蝕等不良后果[4，5].消力池從結(jié)構(gòu)形式上分為常規(guī)消力池、漸擴消力池、跌坎消力池等類型，常規(guī)消力池經(jīng)常面臨臨底流速大、底板荷載集中的問題，往往應(yīng)用于中小型水利工程.許多學(xué)者的研究表明，跌坎消力池可以將高流速的主體水流引離池底以射流的形式進(jìn)入消力池，可以有效的降低消力池臨底流速[6，7]，在工程上具有更為廣闊的適應(yīng)性.在跌坎消力池的結(jié)構(gòu)參數(shù)中，跌坎高度，消力池長對消力池的消能率和工程造價影響很大.跌坎高度不足、消力池池長過短都會導(dǎo)致消能效果不佳，相反又會導(dǎo)致工程量增加，因此優(yōu)化消力池的跌坎高度和消力池長度可以在節(jié)省工程造價的基礎(chǔ)上，最大程度的提高消力池的消能率.

Flow-3D 軟件近年來被廣泛應(yīng)用于數(shù)值模擬計算，王月華等[8]模擬閘下三級消能池方案驗證了該軟件模型具有可行性與實用性；張為等[9]采用FLOW -3D 軟件模擬了塊體與平底水墊塘內(nèi)水流的運動特性；王青等[10]對陡坡彎道段的急流進(jìn)行了三維數(shù)值模擬，并通過物理模型驗證.

傳統(tǒng)的試驗設(shè)計方法往往計算量大，優(yōu)化時間長，而且無法描述變量間的交互作用. 響應(yīng)面法是結(jié)合數(shù)學(xué)和統(tǒng)計方法的優(yōu)化設(shè)計方法，通過建立變量和響應(yīng)目標(biāo)之間的響應(yīng)面函數(shù)，最終達(dá)到優(yōu)化響應(yīng)目標(biāo)的目的[11].響應(yīng)面法在生物和化工領(lǐng)域已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用[12-14]，也有學(xué)者使用響應(yīng)面法優(yōu)化水輪機的設(shè)計參數(shù)[15]，因此可以采用響應(yīng)面法對消力池的設(shè)計參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，采用統(tǒng)計學(xué)方法以較少的試驗得到優(yōu)化目標(biāo)，以圖形的方式直觀的展示變量間的交互作用.本研究以消能率和工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，跌坎深度D和消力池長L為變量進(jìn)行13 組數(shù)值模擬試驗，建立變量與優(yōu)化目標(biāo)之間的響應(yīng)函數(shù)，求解最優(yōu)組合，對消力池的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.

1 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

消力池的理想設(shè)計效果是消能效果良好且投資較少.因此，本研究采用消力池的消能率，工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)兩項作為優(yōu)化目標(biāo).

1.1 消能率k

消力池消能率公式為：

式中：E1為隧洞末端斷面比能消力池躍后斷面比能，分別為隧洞末端和消力池后相對水深；v1、v2分別為隧洞末端和消力池后平均流速；α1、α2為動能修正系數(shù)，α1=α2= 1.

1.2 工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)m

本研究將工程量定義為消力池開挖方量.取消力池體積的倒數(shù)值為工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)，即消力池跌坎體積越小，投資越少，工程經(jīng)濟(jì)函越高，越符合實際需求.如圖1 所示為消力池體型參數(shù).其中設(shè)計變量為跌坎深度D和消力池長L，其他變量為常數(shù).

消力池經(jīng)濟(jì)函數(shù)公式：

式中：h為隧洞高度，h=12m ；H為消力池高度，H=(10 +h+D)m；d為消力池尾坎高度，d=6m；b為隧洞寬度，b=6m；l1為消力池尾坎斜坡段水平投影，l1=3m；l2為消力池尾坎長度，l2=3m；B為消力池寬度，D=18m.

1.3 綜合優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)Y

本研究為多目標(biāo)優(yōu)化問題，多目標(biāo)優(yōu)化是向量函數(shù)的優(yōu)化，對于多目標(biāo)優(yōu)化問題，常用的方法有兩種.一是直接法，直接求出非劣解，然后在選擇較好的解；另一種是間接法，構(gòu)造權(quán)函數(shù)將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題.本研究根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)的消能率k和工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)m重要程度采用不同的權(quán)重，將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題.

圖1 消力池體型參數(shù)圖Fig.1 Shape parameters of stilling basin

一般情況下提高消能率就需要加深跌坎深度、增加消力池長度，因此必然使得工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)增加，在工程中可以結(jié)合實際情況有所側(cè)重. 本研究綜合考慮，選取兩者權(quán)重比為3：2，使用Design Expert 軟件中的importance 功能定義最終綜合目標(biāo)函數(shù).其表達(dá)式為：

式中，Y為綜合目標(biāo)函數(shù)；ρ1、ρ2為各項的權(quán)重系數(shù)，分別為3、2.

1.4 歸一化處理

為了避免設(shè)計變量間的量綱影響或變量取值范圍的變化較大，對設(shè)計變量進(jìn)行歸一化處理，其計算公式為：

2 試驗設(shè)計

本研究中的水庫泄洪洞由導(dǎo)流洞改建，原導(dǎo)流洞寬6.0 m，采用龍?zhí)ь^的方式進(jìn)行改建，改建段隧洞寬度由6.0 m 漸變?yōu)?.0 m，其后隧洞寬8.0 m，隧洞全長372. 0 m，庫區(qū)水位至隧洞出口底板落差60.0 m，下泄水流采用底流消能.

采用響應(yīng)面法利用Design Expert 軟件進(jìn)行試驗設(shè)計.相比于正交試驗其優(yōu)點是可以用統(tǒng)計學(xué)的方法以較少的試驗得到想要的結(jié)果.根據(jù)設(shè)計規(guī)范和相關(guān)學(xué)者的研究，跌坎深度D取2 m ～8 m，消力池池長L取70 m ～100 m.表1 為各變量的水平取值，其中x1、x2分別為D、L的歸一化結(jié)果.

表1 響應(yīng)面優(yōu)化設(shè)計2 因素水平Table 1 Response surface optimization design 2 factor levels

試驗共計13 組(見表2 所示)，其中后5 組為中心點重復(fù)對照試驗.

表2 試驗設(shè)計及數(shù)值模擬結(jié)果Table 2 Test design and numerical simulation results

3 數(shù)學(xué)模型

數(shù)值計算域為從上游庫區(qū)至消力池出口后下游100m 的范圍.計算域網(wǎng)格采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分，并對泄水建筑物進(jìn)行局部加密，總網(wǎng)格數(shù)約300w，計算域和網(wǎng)格劃分如圖2 所示. 進(jìn)口邊界采用壓力進(jìn)口，上游水位為799.00m，出口邊界采用自由出流，左右采用固體邊界，頂部采用壓力進(jìn)口，壓力為正常大氣壓，底部采用固體邊界，這種計算方法已經(jīng)被許多學(xué)者證實有較高的可靠性和計算精度[8-10].

圖2 計算域網(wǎng)格劃分Fig.2 Grid generation of computing domain

4 顯著性分析與交互作用

消能率的試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行方差分析和顯著性檢驗結(jié)果見表3. 結(jié)果表明：消力池的跌坎深度D和消力池長L對消能率影響較大，前者的顯著性概率P ＜0.01 ，后者的顯著性概率P ＜0.05 .目標(biāo)函數(shù)Y的響應(yīng)面模型P值小于0.05，表明該響應(yīng)面模型對Y影響顯著.對數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸擬合，建立以消能率為響應(yīng)值的RSM 代理模型為：

表3 消能率方差分析表Table 3 Analysis of variance of energy dissipation rate

試驗設(shè)計區(qū)間內(nèi)，該代理模型回歸顯著(P＜0.05)，其決定系數(shù)Radj2=0.8072. 說明該模型能解釋80.72% 以上的響應(yīng)值變化.

對工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)的試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行方差分析和顯著性檢驗結(jié)果見表4.結(jié)果表明：消力池的跌坎深度D和消力池長L對工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)影響較大，兩者的顯著性概率P ＜0.01 ；目標(biāo)函數(shù)Y的響應(yīng)面模型P值小于0.01，表明該響應(yīng)面模型對Y影響極為顯著.對數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸擬合，建立以工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)為響應(yīng)值的RSM 代理模型為：

表4 工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)方差分析表Table 4 Analysis of variance of engineering economic function

試驗設(shè)計區(qū)間內(nèi)，該代理模型回歸顯著(P＜0.01)，其決定系數(shù)Radj2=0.9998. 說明該模型能解釋99.98% 以上的響應(yīng)值變化.

分析可知，跌坎深度和消力池長分別對消能率和工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)影響顯著，其的交互作用對工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)影響極為顯著，兩變量間的交互作用顯著性概率P＜0.01 ，這是因為同時增加跌坎深度和消力池長會使得消力池體積顯著增加.圖3 為跌坎深度和消力池長度對綜合目標(biāo)函數(shù)Y的交互作用.

由圖3 可知，當(dāng)D取較小值(2m ～ 5m)時，綜合目標(biāo)函數(shù)隨著L的增加先迅速增加后降低，當(dāng)D取較大值(5m ～8m)時，綜合目標(biāo)函數(shù)隨著L的增加而降低.這說明，當(dāng)?shù)哺叨刃∮?m 時，綜合目標(biāo)函數(shù)值波動不大，趨于中間水平；當(dāng)?shù)哺叨却笥?m 時，在消力池長取值范圍內(nèi)長度越小綜合目標(biāo)函數(shù)值越大.當(dāng)L取較小值(70m ～85m)時，綜合目標(biāo)函數(shù)隨著D的增加迅速增后趨于穩(wěn)定；當(dāng)L取較大值(85m ～100m)時，綜合目標(biāo)函數(shù)隨著D的增加而降低，且整體函數(shù)值偏低.說明綜合考慮消能率和工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)的情況下，在變量取值范圍內(nèi)跌坎深度的增加相比于消力池長的增加可以顯著提高消能率，跌坎深度的增加會使得工程量增大. 因此綜合考慮，優(yōu)化區(qū)間內(nèi)當(dāng)即D=7.07m、L=70.0m 時綜合目標(biāo)函數(shù)Y取最大值0.734.

圖3 跌坎和消力池長對綜合目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)Fig. 3 Response of drop sill and stilling basin length to comprehensive objective function

5 優(yōu)化結(jié)果分析

圖4 為優(yōu)化后消力池的整體流態(tài)，從圖中可以看出消力池流態(tài)良好，無明顯旋渦、翻滾，尾坎出流水流無明顯二次跌落.消力池消能率62.68%，最大出池流速5.27m/s.相比變量區(qū)間內(nèi)的消能率最差的體型，以工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)提高17.60%的情況下，消能率提高了20.88%；相比變量區(qū)間內(nèi)的工程量最大的體型，節(jié)省30.78%的工程量，消能率僅降低了6.91%. 可以看出經(jīng)過優(yōu)化，消力池可以在節(jié)省工程投資的前提下最大程度的提高消能率.

圖4 優(yōu)化體型消力池整體流態(tài)Fig.4 Overall flow pattern of optimized stilling basin

6 結(jié)論

本研究基于響應(yīng)曲面模型，研究了跌坎型消力池的跌坎深度和消力池池長對消力池消能率和工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)的響應(yīng)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上建立了一種基于響應(yīng)曲面模型的消力池參數(shù)優(yōu)化方法.

研究取得以下主要結(jié)論：

1)定義了計算域消能率k、工程經(jīng)濟(jì)函數(shù)m性能評價指標(biāo).以跌坎深度、消力池池長為優(yōu)化設(shè)計變量，建立了能夠表征消力池消能率、工程造價的加權(quán)目標(biāo)函數(shù)Y. 開展了基于響應(yīng)曲面模型的優(yōu)化設(shè)計，建立了基于二次多項式響應(yīng)面模型的函數(shù)關(guān)系式，并發(fā)現(xiàn)跌坎深度和消力池池長對目標(biāo)函數(shù)的交互作用顯著.

2)建立的二次多項式響應(yīng)面模型能夠較精確地表示消力池設(shè)計變量與目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系，基于該響應(yīng)曲面模型的優(yōu)化設(shè)計方法可有效用于消力池體型的優(yōu)化，大大改善流態(tài)，提高消能率和運行穩(wěn)定性.

3)本研究僅以跌坎型消力池為例，研究了基于響應(yīng)曲面模型的消力池參數(shù)優(yōu)化方法.該方法并不局限于跌坎型消力池，也適用于其他體型的消力池，可對消力池的優(yōu)化計算提供良好的參考.