一類帶強(qiáng)阻尼Kirchhoff 型吊橋方程的長時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為

呂鵬輝，騰 旭，呂小俊

(云南大學(xué)旅游文化學(xué)院信息學(xué)院， 云南麗江 674199)

1 引言

本文研究一類帶強(qiáng)阻尼Kirchhoff 型吊橋方程的長時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為：

其中Ω 是RN中具有光滑邊界的有界域，其光滑邊界為Γ，其中k2是彈性系數(shù)，有關(guān)M(‖?u‖2)，f(x) 的假設(shè)將會(huì)在后文中給出，函數(shù)

吊橋方程是在1990 年，A.C.Lazer 和P.J.Mckenna 在研究非線性分析領(lǐng)域的問題時(shí)，提出一新的模型，即吊橋方程.該模型提出來后，相當(dāng)多學(xué)者對該類吊橋方程進(jìn)行了相關(guān)研究，參見文獻(xiàn)[1 -7，10 -11]及相關(guān)文獻(xiàn).Ivana Bochicchio，Claudio Giorg 和Elena Vuk[1]研究了可延展吊橋方程的長時(shí)間阻尼動(dòng)力學(xué).2011 年，JONG-YEOUL PARK 和JUM-RAN KANG[2]得到了非線性阻尼吊橋方程的整體吸引子的存在性.2018 年，黃商商和馬巧珍[3]在使用了能量估計(jì)和收縮函數(shù)的方法的情況下，得到了在弱拓?fù)淇臻g下存在全局吸引子.2018 年，賈瀾和馬巧珍[5]運(yùn)用加強(qiáng)的平坦條件，在較弱的非線性項(xiàng)條件下，得到了基爾霍夫型吊橋方程的指數(shù)吸引子的存在性.受以上分析和相關(guān)參考文獻(xiàn)的啟示，在本文中，我們運(yùn)用算子半群分解的方法研究一類kirchhoff 型吊橋方程的長時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為.

2 預(yù)備知識(shí)

當(dāng)s= 0 時(shí)，記H=L2(Ω )；當(dāng)s= 2 時(shí)，記V2=H2(Ω )∩H10 (Ω )，且其相應(yīng)的內(nèi)積和范數(shù)分別為

‖Au‖表示D(A)的范數(shù)，其中A=Δ2.顯然V4?V2?H?V-2，其中V-2為V2的共軛空間.

接下來定義Hilbert 空間并賦予范數(shù)：

為了得到問題(1.1) -(1.3)的長時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為，我們接下來給出相關(guān)概念：

定義2.1[8](整體吸引子)設(shè)X為一Banach 空間，{S(t)}t≥0是一連續(xù)算子半群，若存在緊集A0?X滿足下列條件：

(I)不變性：在算子半群{S(t)}t≥0的作用下是不變集，即S(t)A0=A0( ?t≥0)；

(II)吸引性：A0吸引X中的所有的有界集，即任意B?X是X中的有界集，則

特別地，當(dāng)t→ ∞ 時(shí)，從u0出發(fā)的一切軌道S(t)u0收斂于A0內(nèi)，即有dist(S(t)u0，A0)→0(t→ ∞ )，

則稱緊集A0為半群{S(t)}t≥0的整體吸引子.

定義2.2[8，10](指數(shù)吸引子)設(shè){S(t)}t≥0是一完備度量空間X的算子半群，如果M?X滿足下列三個(gè)條件，則稱集合M?X為半群{S(t)}t≥0的指數(shù)吸引子：

(Ⅰ)集合M在X中是緊的，并且存在有限維的分形維數(shù)；

(Ⅱ)集合M是正不變的，即S(t)M?M；

(Ⅲ)集合M?X是半群{S(t)}t≥0的指數(shù)吸引集，即對每個(gè)有界集B?X，存在常數(shù)c=c(B)，τ ＞0 ，使得dist(S(t)B，M)≤c(B)e-τt.

定理2.1[9]在Banach 空間X中定義一連續(xù)算子半群{S(t)}t≥0，若滿足下列條件，則連續(xù)算子半群{S(t)}t≥0存在整體吸引子：

(I)存在一有界吸收集B?X，使得對任何有界集B0?X， 滿足dist(S(t)B0，B) →0 (t→+ ∞ ).

(II)S(t) 可分解為S(t)=P(t)+U(t) ， 其中P(t) 是X→X的連續(xù)映射且對每個(gè)有界集B0?X， 使得

當(dāng)t充分大時(shí)，U(t) 為一致緊，即對任意一有界集B0?X，都存在T0=T0(B0)，滿足在X中為相對緊.

定理2.2[10]設(shè)X3?X1是一不變緊子集，而且X2緊嵌入X1，若存在時(shí)間t*，使得下列條件都成立：

(Ⅰ)映射(t，z0)S(t)z0，即 [0 ，t*]×X3→X3是 Lipschitz 連續(xù)的；

(Ⅱ)映射S(t*)：X3→X3有如下分解形式：

其中S0滿足其中C*＞0 ，則半群{S(t)}t≥0存在指數(shù)吸引子.

3 整體吸引子的存在性

定理3.1假定

(H1)這里λ1為 -Δ的第一特征值.

問題 (1.1)- (1.3) 存在唯一整體解u∈L∞(0，+ ∞；V2) ，ut∈L∞(0，+ ∞；H) .

注3.1 對于M(s)的假設(shè)，允許M(s)退化，即M0= 0 ，問題(1.1)-(1.3) 也存在唯一整體解u∈L∞(0，+ ∞；V2) ，ut∈L∞(0，+ ∞；H) .

證明：方程(1.1)分別與ut和作H內(nèi)積得到

(3.1) +(3.2)得到

由假設(shè)條件(H1) 、(H2) 得到：

將(3.5)代入(3.3)得到

我們應(yīng)用Gronwall 不等式，得到：

接下來，證明解的唯一性.

令u(t)和v(t)分別為初值為(u0，u1)，(v0，v1)的兩個(gè)解，則w(t)=u(t)-v(t)滿足

用wt和(3.10)作H內(nèi)積，得到

結(jié)合假設(shè)條件及相關(guān)重要不等式(Young 不等式，Holder 不等式和Poincare 不等式)，得到

將(3.12) -(3.13)代入(3.11)得到

運(yùn)用Gronwall 不等式，則得到

證畢.

由定理 3.1，令B= {(u，ut)∈X1：‖ut‖2+ ‖Δu‖2+k2‖u+‖2≤R2} ，則B是半群{S(t)}t≥0在X1中的有界吸收集.從而有下列定理：

定理3.2在定理3.1 假設(shè)條件下，則球B=BX1(0 ，R2) 是問題(1.1)生成的解半群{S(t)}t≥0在X1中的有界吸收集，即對X1中任意有界集B1，存在t1=t1(B1)，使得當(dāng)t≥t1(B1)時(shí)，有S(t)B1?B.

推論3.1在定理3.1 假設(shè)條件下，對任意R ＞0 和初值z0=(u0，u1)，存在t1=t1(R)，當(dāng) ‖z0‖ ≤R時(shí)，‖S(t)z0‖X1≤R2，?t≥t1成立.

接下來，利用解分解方法證明相關(guān)引理.

設(shè)u=v+w， 其中

引理3.1如果 (u0，u1) ∈B， (w，wt) 是(3.15)的解，則

證明：(3.15)分別與與wt，εw作H- 內(nèi)積得到

由假設(shè)條件，則存在正常數(shù)κ，ρ，使得

通過Gronwall 不等式得到

證畢.

引理 3.2如果 (u0，u1) ∈B， (v，vt) 為(3.16)的解， 則存在緊集N(T) ?X1且 (v，vt) ∈N(T).

(3.24)中的方程與η作H- 內(nèi)積得到

由假設(shè)條件

結(jié)合(3.26) -(3.29)得到

其中H3(t)= ‖η‖2+ε2‖ξ‖2-ε‖ ?ξ‖2+ ‖Δξ‖ . 由H3(0)= 0 ， (3.31)變換為

隨后得到

因?yàn)閂3×V1→X1是緊嵌入， 即說明V3×V1的有界集為X1的緊集.

證畢.

定理3.3在定理3.1 的假設(shè)條件下，由問題(1.1) -(1.3)生成的連續(xù)解半群{S(t)}t≥0在X1中存在緊的整體吸引子.

證明：定義：P(t)(u0，u1)= (w(t)，wt(t))，U(t)(u0，u1)= (v(t)，vt(t)).

則S(t)=P(t)+U(t) . 由引理 3.1 可知：任意的 (u0，u1) ∈B?X1， 算子P(t)：X1→X1是連續(xù)的，并且滿足定理2.1 中的(Ⅱ). 同時(shí)， 由引理3.2 可知：U(t) 是一致緊的. 再根據(jù)定理3.2，存在有界吸收集，所以{S(t)}t≥0在X1中具有緊的整體吸引子.

證畢.

4 指數(shù)吸引子的存在性

定理4.1在滿足定理3.1 的假設(shè)條件下，則球B2=BX2( 0 ，R3)是由問題(1.1) -(1.3)生成的連續(xù)解半群{S(t)}t≥0在X2中的有界吸收集，即對X2中任意有界集B1，存在t1=t1(B1)，使得當(dāng)t≥t1(B1)時(shí)，有S(t)B1?B2.

證明：由(1.1)分別與 -Δut和ε(-Δ)u作H內(nèi)積得到：

結(jié)合假設(shè)條件和定理3.1 中的有界性及Holder 不等式、Young 不等式以及Poincare 不等式，得到

結(jié)合(4.3) -(4.4)，整理得到

類似于定理3.1 處理方法，且結(jié)合定理3.1 的結(jié)論，存在κ得到

則(4.5)化為

利用Gronwall 不等式，得到

所以，若u是方程(1.1) -(1.3)的解，令其中

所以，B2是由問題(1.1) -(1.3)生成的連續(xù)解半群{S(t)}t≥0在X2中的有界吸收集.

定理4.2對任意的初值z1=(u10，u11)，z2=(u20，u21)∈X1和任意的R ＞0 ，使得 ‖zi‖X1≤R，那么存在常數(shù)P，有 ‖S(t)z1-S(t)z2‖X1≤ePt‖z1-z2‖X1，?t∈ [0，∞) ，其中P是與λ1、ε、k和R2有關(guān)的常數(shù).

證明：此定理的證明過程與前文證明解的唯一性的過程相似，此處不再祥寫.

定理4.3在定理3.1 假設(shè)條件下，存在常數(shù)C ＞0 ，使得

其中z0=(u0，u1)，z(t)=(u(t)，ut(t))。

結(jié)合定理3.1、定理3.2 和相關(guān)假設(shè)，得到

由(4.12) -(4.17)，得到

易得，存在κ，ρ：y5(t)≥κρH5(t)，且

故整理(4.18)，并利用Gronwall 不等式，得到

定理4.4對任意T ＞0 ，映射(t，z0)→S(t)z0，即 [0，T]×X3→X3是 Lipschitz 連續(xù)的，即

對任意的z1，z2∈X3和t1，t2∈ [0，T]，有

證明：證明可詳見文獻(xiàn)[8].

定理4.5設(shè)X3?X1是不變緊子集，且X2到X1是緊嵌入，則映射S(t*)：X3→X3有如下分解形式：

且S0和S1滿足下列不等式：

證明：對z0∈X3，用S0z0表示方程(1.1)的線性齊次問題的解，則S(t)=S0(t)z0+S1(t)z0，假設(shè)z1=分別是以z1=(u10，u11)，z2=(u20，u21)∈X3為初值的解。 令則將分解為

由假設(shè)條件

通過(H1) 和gronwall 不等式得到

證畢.

由定理2.2，定理4.4 和定理4.5 即可得到下列定理4.6.

定理4.6 (指數(shù)吸引子)在滿足定理3.1 的假設(shè)條件下，則問題(1.1) -(1.3)生成的解半群{S(t)}t≥0在X3上存在指數(shù)吸引子.