大學生就業(yè)當中的數學原理及其應用

盧 鵬，王 璐，徐昌貴，張興元

(西南交通大學數學學院，四川成都 610031)

每一個大學生在畢業(yè)時都面臨著就業(yè)選擇這一問題，但大多數學生都覺得就業(yè)非常的困難，究其原因網絡上有這樣一個觀點就是大學擴招，我國從1999 年開始進行大學擴大招生，每年招收大學生的數量逐步增加，近兩年達到峰值[1].2019 年，全國高校畢業(yè)生人數約830 萬[2]，求職現場異?；鸨?但是這種觀點是片面的，隨著我國經濟的快速增長，各行各業(yè)需要的崗位數量也是相當多的，國家發(fā)展與改革委員會主任何立峰曾說：經濟每增長一個百分點，可創(chuàng)造新增就業(yè)崗位170 萬左右.而近5 年來我國經濟平均增長率[3]約為7%，每年足以提供上千萬新增崗位，所以并不是因為工作數量不夠，而是大學生在擇業(yè)時的不確定性和多變性，可以從以下兩點進行說明：①價值觀——很多大學生找工作時最關注就是年薪多少，工作所在地是否是大城市等等；②招聘制度——現有招聘方式是單位分批來校招人，很多大學生還沒等到最滿意的單位來就已簽約；久而久之我們的大學生就覺得就業(yè)非常的困難.

本文并不從定性方面考慮大學生的就業(yè)問題[4-9]，而是針對現有招聘制度，運用數學中概率論[10]的知識對大學生如何選擇工作這一過程進行數學建模[11-13]，得到大學生的最優(yōu)選擇策略，并對結果進了驗證、應用與改進.

1 問題分析

1.1 問題假設

(1)假設大學生參與若干個單位招聘，其中有部分單位以不同的先后順序向該學生提供就業(yè)協(xié)議.假定對提供就業(yè)協(xié)議單位按滿意度從小到大進行編號：1，2，…，N，即編號為N的單位最滿意. 每個學生根據自身條件，并結合以往經歷和經驗確定自己的N值.

(2)面對提供就業(yè)協(xié)議的單位，大學生只能做出接受和拒絕兩種選擇，已經被拒絕的單位不會再次招聘這位大學生.

1.2 具體分析

基于上述假設，想要找到這樣一種策略，使得大學生以最大的可能在第一次選擇接受的那個單位就是N.最簡單的一種策略：一旦有單位向該學生提供就業(yè)協(xié)議，學生就選擇接受.在此策略下以1/N的概率找到自己的N，顯然不是一種好的策略.我們提出這樣一種策略：對于先提供的M個單位，無論學生感覺如何都選擇拒絕；從第M+1 個單位開始，只要這個單位的比前面M個單位都好，那么選擇接受，否則選擇拒絕.

特殊情況：以N= 3 為例說明：三個單位招聘大學生，共有六種排列方式：

123，132，213，231，312，321

如果學生采用上述最簡單的策略，那么只有最后兩種排列方式選擇到“3”，概率為2/3! =1/3.采用剛剛提出的策略，并取M=1.基于這種策略，“132”、“213”、“231”這三種順序下學生都會在第一次做出選擇接受時遇到“3”，這樣就把概率增大到3/3! =1/2.

1.3 明確的數學問題

對于一般的N，什么樣的M才會使大學生選到最滿意單位的概率達到最大值?

2 模型的建立與求解

2.1 模型建立

1 到N個數字排列共有N!種可能.當在第i位置(M ＜i≤N)學生第一次選擇接受時遇到的就是最滿意單位(編號為N)，排列需要滿足下面兩個條件：

①N在第i位置：概率為1/N；

②從1 到i-1 個位置中的最大數字必須落在前面M個位置，概率為M/(i-1) ；

數學模型為：

2.2 模型求解

2.2.1 離散方式求解

先用數學軟件對模型進行簡單分析，利用N與M之間的關系畫出圖1，從圖中可以發(fā)現最優(yōu)解出現在N的中部，而且規(guī)律先增后減，單峰模式.

圖1 不同N 值下最優(yōu)解M 出現的位置Fig.1 The location of the optimal solution M under different N values

為了簡化方程組的計算，可等價為：M= min{M≥1：P(M)＞P(M+1)} ，

又由于當x ＞0 時， 有 ln(1+x)＜x，則

結果：當M取[N/e]時，該表達式取得最大值.

2.2.2 連續(xù)方式求解

令x等于M/N的值，并假設N充分大，這樣就把離散模型連續(xù)化，其幾何意義代表圖2 中的陰影面積，則上述概率公式可以近似表示為積分形式：

結果：1/e大約等于37%，即M/N= 37%

圖2 離散求和積分形式Fig.2 Discrete summation integral form

2.3 結果說明

經過對比可以發(fā)現，離散方式與連續(xù)方式求解結果相同.由此可得如下策略：如果招聘單位共有20 個，估計自己的N為10，則拒絕前3 個(37%原則，另外拒絕前四個最大概率稍小于拒絕前3 個)的招聘單位，從第4 個招聘單位開始選擇，如果比前面更滿意則接受，否則拒絕.其中出現了三個37%準則.

第一：前面37%的單位不選；

第二：選到最滿意單位的概率為37%(需把最優(yōu)解帶回模型算出最大概率)；

第三：一個單位都選不到的概率為37%.

2.4 結果檢驗

運用計算機仿真[14-15]來檢驗模型的正確性，取N= 20 ，則產生1 到20 隨機排列的整數數列，再取M為不同的值，利用提出的策略，模擬整個招聘過程，結果如表1 所示：

表1 取N=20，重復1000000 次，計算時間約130 秒Table 1 Take N = 20 and repeat 1000000 times. The calculation time is about 130 seconds.

圖3 P(M)與M 的直方圖Fig.3 Histograms of P(M) and M

根據表1 中的數據，畫出P與M的直方圖，由圖3 所示，圖3 中左邊圖形為模型計算結果，右邊圖形為仿真計算結果，從表格中可以看出最大絕對誤差為0.0006，非常的小.從圖形中也基本看不出兩副圖形之間的差別，所以結果是相當可靠的.

2.5 模型應用

2.5.1 鉆石問題(著名微軟面試題)

一到十樓每層電梯口都放著一顆大小不一的鉆石.你乘電梯從一到十樓，每層電梯門會開一次，并且你只能拿一次鉆石.請問你如何能拿到最大的一顆?

實施方案：電梯前三層不選，從第四層開始比較，如果比前面的都大就選擇，否則繼續(xù)下一層.這樣能選到最大鉆石的概率為40%左右.

2.5.2 旅游景點物品購買策略

隨著生活水平的不斷提高，出國旅游的人們是越來越多，大家來到一個陌生的地方(亞洲、非洲、歐洲)，想買些紀念品給國內的好友，如何進行購買呢?

策略方案：先不要著急在第一時間購買，而是先逛過去，了解一個大概的價錢，在差不多走過街道三分之一的時候才開始(比較)購買， 這樣最不容易被訛到.

2.5.3 相親節(jié)目中女嘉賓的最優(yōu)選擇

現在我國相親節(jié)目眾多，比較有影響力的有中國式相親、新相親時代、非誠勿擾，如果非誠勿擾的女嘉賓想讓我們給她一種選男嘉賓的策略，你會如何給她建議?

策略方案：如果女嘉賓打算上10 期節(jié)目，估計自己的N為20，則拒絕前7 個(37%)的追求者，從第8 個追求者開始選擇，如果比前面更適合則接受，否則拒絕.

3 模型的改進

由前面結果可知，雖然有37%的概率選到最滿意單位，但是也有37%的概率一個都選不到.為了降低選不到單位的概率，提出一種方案：降低對解的要求(如：次優(yōu)解也能接受).

當在第i位置第一次選擇接受時遇到的就是最滿意(編號為N)或次滿意單位(編號為N-1 )，排列需要滿足：

①N或N-1 在第i位置；

② 從1 到i-1 個位置中的最大數字必須落在前面M個位置；

③ 若選到N-1 ，還需滿足N落在i后面.

3.1 改進的數學模型

3.2 模型求解與結果說明

要直接理論解出這個數學模型比較困難，但利用Matlab 軟件可以很輕松的給出結果，如表2 所示.

表2 模型結果與原模型結果Table 2 Model results and original model results

結果說明(比較原方案)：

① 前30%不選，選中概率約為51.3%(增加1%)；

②空手而歸的概率約為30%(降低7%)；

③選中最滿意單位概率降低約0.6%；

④選中次滿意單位概率增加約1.6% .

從結果可以看出此模型降低了風險，但最優(yōu)概率降低卻不大，是一個好的改進方法.

3.3 模型驗證

使用Matlab 進行仿真檢驗，其中N= 50 ，重復1000000 次，計算時間約660 秒.

圖4 模型結果與仿真結果對比圖Fig.4 Comparisons between model results and simulation results

圖5 兩種方法計算結果殘差圖Fig.5 Residual diagrams of the calculated results of two methods

從圖4 中可以看出模型結果與仿真結果幾乎一樣，從圖5 中也可以看出兩種方法之間的最大殘差為0.001，結合兩者說明了模型的正確性.

3.4 更一般的數學模型

為了進一步減少空手而歸的概率，我們繼續(xù)改進模型，共N人，前M個單位不選，對于排名靠前的K個單位都可以接受的數學模型為

3.5 結果說明

表3 N 取100 時，不同K 值下的各項概率Table 3 N =100 Various probabilities under different K values

根據表中數據我們畫出了總的選中概率、最滿意單位選中概率與滿意單位個數之間的關系，如圖6 所示，也畫出了選不中的概率與滿意單位個數之間的關系，如圖7 所示.

從結果可以看出，隨著K值的增加空手而歸的概率逐步減少，例如當K為10 時，一個都選不到的概率約為15%；最優(yōu)概率隨著K值的增加而逐步減小，減小趨勢越來越慢；而選中的總概率隨著K值的增加而逐步增大，但增長趨勢也越來越緩慢.所以在實際應用當中也不能夠把K取得過于偏大.

圖6 總概率、最優(yōu)概率與K 之間的關系Fig.6 The relationship between total probability， optimal probability and K

圖7 空手而歸的概率與K 之間的關系Fig.7 The relationship between the probability of returning empty-handed and K

3.6 問題拓展

假設用人單位是一批一批來，每批來3 個，總共10 批，相同批次的單位可以同時考慮，不同批次的單位有順序之分，建立該問題的數學模型并得出最佳選擇方案.假設被拒絕的公司可能再次招聘這位大學生(原模型被再次招聘的概率為零)，加入此因素建立數學模型得出最佳選擇方案.這兩個問題留給大家繼續(xù)研究.

4 結束語

人的一生有許多重要的選擇，擇業(yè)便是其中之一.通過本文的模型和結果為同學們提供了一種擇業(yè)上的數學方法，希望對同學們今后有所幫助.也希望同學們在找工作時，除了理性選擇，實現自身價值外，更應該像老一輩科學家們學習，為了祖國的社會經濟發(fā)展貢獻自己的智慧和力量.