基于記憶多項(xiàng)式模型的選擇自適應(yīng)預(yù)失真系統(tǒng)

易勝宏，張紅升，孟 金，馬小東

（重慶郵電大學(xué) 光電工程學(xué)院，重慶400065）

功率放大器（power amplifier，PA）是無(wú)線通信系統(tǒng)中的重要模塊，其性能特點(diǎn)備受學(xué)者們的研究，其中比較熱門的研究方向是功率放大器的線性化技術(shù)，即預(yù)失真技術(shù)（pre-distortion，PD）。由香農(nóng)定律可知，要提高數(shù)據(jù)傳輸速率，勢(shì)必要提高數(shù)據(jù)傳輸帶寬，為了提高頻譜利用率，當(dāng)今對(duì)于數(shù)字基帶信號(hào)的調(diào)制方式幾乎都是高階調(diào)制方式，比如8PSK，16QAM，64QAM，OFDM 等。這些調(diào)制方式都是非恒定包絡(luò)的，并且其調(diào)制載波數(shù)量高達(dá)幾十個(gè)甚至上千個(gè)，因此在調(diào)制之后會(huì)產(chǎn)生較高的均峰比[1]（peak to average power ratio，PAPR）。高PAPR 信號(hào)通過(guò)功放時(shí)，由于功放器件的記憶性和非線性特性，其輸出信號(hào)幅度曲線將產(chǎn)生比低PAPR 信號(hào)更嚴(yán)重的非線性畸變[2]，信號(hào)頻譜將展寬至自身頻帶寬度的3倍及以上，嚴(yán)重影響相鄰頻帶的傳輸效率。

解決這種非線性失真的方法包括功率回退法、模擬預(yù)失真法和數(shù)字預(yù)失真法等，其中，數(shù)字預(yù)失真法（digital pre-distortion，DPD）由于其靈活性和低成本性，已被廣泛地應(yīng)用在工程設(shè)計(jì)中。目前，常用的數(shù)字預(yù)失真結(jié)構(gòu)包括直接型與間接型[3]，直接型結(jié)構(gòu)的收斂速度較快，但收斂后的信號(hào)較原始信號(hào)的誤差較大；間接型結(jié)構(gòu)的收斂誤差較小，但收斂速度較慢，且容易引入噪聲干擾預(yù)失真效果。針對(duì)上述結(jié)構(gòu)的不足，本文采用記憶多項(xiàng)式（memory polynomial，MP）模型，提出新型選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)。通過(guò)Matlab 仿真，本文所提出的選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在提高系統(tǒng)收斂速度的同時(shí)，降低了系統(tǒng)的收斂誤差。

1 數(shù)字預(yù)失真的基本原理

功率放大器的非線性失真是電子元器件的物理特性所導(dǎo)致的，非線性失真即功放的輸出信號(hào)相對(duì)于輸入信號(hào)產(chǎn)生的非線性形變。通常情況下，可以通過(guò)降低輸入功率來(lái)保持輸入輸出功率的線性關(guān)系，但這會(huì)大大降低功放的效率[4]。數(shù)字預(yù)失真的原理是，預(yù)先將輸入信號(hào)進(jìn)行畸變處理，即數(shù)字信號(hào)處理，使得畸變后的信號(hào)通過(guò)功放時(shí)，與功放所造成的畸變相補(bǔ)償，使得輸入-輸出信號(hào)整體呈現(xiàn)出線性的品質(zhì)。數(shù)字預(yù)失真的原理如圖1所示。

圖1 數(shù)字預(yù)失真原理圖Fig.1 Principle of DPD

圖中，x（n）為預(yù)失真器輸入信號(hào)；y（n）為經(jīng)過(guò)預(yù)失真處理后的輸出信號(hào)；z（n）為功放輸出信號(hào)。

式中：h（x）為功放的傳輸函數(shù)，預(yù)失真器的傳輸函數(shù)和功放的傳輸函數(shù)互為反函數(shù)，記為h-1（x），所以預(yù)失真器的輸出可以表示為

將公式（2）代入公式（1）中，得到公式（3）為

式中：g為常量，表示的是功放的增益因子，可以看出，經(jīng)過(guò)預(yù)失真器后，功放的輸出信號(hào)相對(duì)于輸入信號(hào)是整體線性放大的。

2 新型數(shù)字預(yù)失真結(jié)構(gòu)

2.1 現(xiàn)有結(jié)構(gòu)

目前，數(shù)字預(yù)失真系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)包括直接型與間接型，直接預(yù)失真模型的原理如圖2所示。

圖2 直接型預(yù)失真結(jié)構(gòu)原理圖Fig.2 Schematic diagram of direct structure

此模型的基本思想是將代價(jià)函數(shù)定義為衰減后的功放輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之間的誤差，通過(guò)自適應(yīng)算法模塊不斷迭代，替換模型系數(shù)，更新預(yù)失真器的參數(shù)，使得衰減后的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之間的誤差（代價(jià)函數(shù)）值最小化。在理想情況下，預(yù)失真處理和功放的行為是互逆的兩個(gè)過(guò)程，但此結(jié)構(gòu)存在不穩(wěn)定性，如果均方誤差（mean square error，MSE）不是關(guān)于功放擬模型參數(shù)的二次函數(shù)，容易造成局部收斂的情況，導(dǎo)致系統(tǒng)的局部收斂情況[5]。其中x（n）為預(yù)失真器的輸入信號(hào)；y（n）為功率放大器的輸出信號(hào)；e（n）為x（n）與y（n）經(jīng)過(guò)衰減后的誤差信號(hào)。

間接型預(yù)失真模型的原理如圖3所示。間接預(yù)失真結(jié)構(gòu)是一種開(kāi)環(huán)式的預(yù)失真結(jié)構(gòu)，計(jì)算功放輸入與訓(xùn)練模塊輸出之間的誤差，其中z1（n）為功放輸出經(jīng)過(guò)自適應(yīng)算法訓(xùn)練后的輸出，使得預(yù)失真模塊的輸出信號(hào)向自適應(yīng)算法輸出信號(hào)逼近。間接預(yù)失真模型的優(yōu)點(diǎn)是不需要提前了解功率放大器的非線性特點(diǎn)和估算非線性函數(shù)，即可準(zhǔn)確和穩(wěn)定的建立預(yù)失真模型，能穩(wěn)定得到系統(tǒng)全局的最優(yōu)解；缺點(diǎn)是由于間接預(yù)失真結(jié)構(gòu)求取的是功放的后置逆，功放輸出反饋回來(lái)的信號(hào)經(jīng)過(guò)下變頻和AD 轉(zhuǎn)換后會(huì)引入噪聲，其預(yù)失真后的輸出信號(hào)線性度較差[6]，模型參數(shù)會(huì)產(chǎn)生一定程度的偏移。

圖3 間接型預(yù)失真結(jié)構(gòu)原理圖Fig.3 Schematic diagram of indirect structure

2.2 改進(jìn)結(jié)構(gòu)

根據(jù)兩種結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點(diǎn)，本文提出一種閉環(huán)的選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)，其原理如圖4所示。

圖4 選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)原理圖Fig.4 Schematic diagram of selective structure

圖中：x（n），y（n），z（n）分別為系統(tǒng)輸入信號(hào)、主預(yù)失真模塊輸出信號(hào)、系統(tǒng)輸出信號(hào)；PA 為功率放大器；z1（n）為系統(tǒng)輸出衰減后的信號(hào)；e1（n）為系統(tǒng)輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)延遲后與z1（n）的誤差信號(hào)；e2（n）為主預(yù)失真器的輸出信號(hào)與z1（n）經(jīng)過(guò)副預(yù)失真器處理后的輸出信號(hào)的誤差信號(hào)。比較器計(jì)算e1（n）與e2（n）的幅度大小，并與零值相比較，更靠近零值的誤差信號(hào)所對(duì)應(yīng)的自適應(yīng)模塊輸出會(huì)通過(guò)二選一選擇器輸出，作為主預(yù)失真器的復(fù)增益系數(shù)w（n+1），來(lái)替代自適應(yīng)模塊1 的迭代復(fù)增益系數(shù)w1（n+1），其中，w2（n+1）為自適應(yīng)模塊2 的迭代復(fù)增益系數(shù)。

2.3 數(shù)學(xué)分析

預(yù)失真系統(tǒng)的輸入信號(hào)為x（n），根據(jù)3 條路線的處理途徑，可以得出e1（n）和e2（n）的公式為

式中：P2（.）為預(yù)失真模塊2 的非線性基函數(shù)；N為結(jié)構(gòu)1 延遲的采樣點(diǎn)數(shù)；M為結(jié)構(gòu)2 延遲的采樣點(diǎn)數(shù)，對(duì)于y（n）與z（n），有：

式中：P1（.）為預(yù)失真模塊1 的非線性基函數(shù)；P（.）為功率放大器的非線性基函數(shù)。

輸入延遲信號(hào)與輸出信號(hào)的誤差信號(hào)通過(guò)NLMS 算法實(shí)現(xiàn)對(duì)主預(yù)失真模塊的參數(shù)調(diào)整，由于結(jié)構(gòu)1 的模塊較少，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，延遲較小，故收斂速度較快，但對(duì)于非線性特性很強(qiáng)的功率放大器，誤差信號(hào)較大，故收斂后的NMSE 也較大[7]。其迭代公式為

其中：a為一個(gè)固定的收斂因子，使算法收斂的a值范圍為0＜a＜2；φ 是一個(gè)很小的常數(shù)，一般取0；d1（n）為xatt（n）經(jīng)過(guò)抽頭系數(shù)為w1的FIR 濾波器后的輸出信號(hào)；xatt（n）為輸出衰減后的反饋信號(hào)；x（n-N）為輸入信號(hào)的延遲，其中N為延遲項(xiàng)數(shù)；u為可變步長(zhǎng)因子；w1為主預(yù)失真模塊的模型系數(shù)，可以表示為

式中：Q為預(yù)失真模型的記憶深度；K為其非線性階數(shù)。同理，將式（5）中的預(yù)失真模塊2 的輸出帶入至自適應(yīng)算法中，則結(jié)構(gòu)2 的自適應(yīng)算法表達(dá)式為

在系統(tǒng)收斂后，e1（n）≈e2（n）≈0，主預(yù)失真模塊與副預(yù)失真模塊均為功率放大器的逆模型，即：

根據(jù)結(jié)構(gòu)2 的特性，其數(shù)據(jù)流動(dòng)的模塊較多，故收斂速度較慢，但根據(jù)后續(xù)仿真的結(jié)果可以看出，其結(jié)構(gòu)的收斂后的誤差信號(hào)相較于結(jié)構(gòu)1 減小了0.5 個(gè)數(shù)量級(jí)。通過(guò)結(jié)合結(jié)構(gòu)1 與結(jié)構(gòu)2 能更好地實(shí)現(xiàn)數(shù)字預(yù)失真系統(tǒng)的收斂，通過(guò)1 個(gè)比較器與1 個(gè)選擇器就能實(shí)現(xiàn)該結(jié)構(gòu)。

2.4 模型選擇

Volterra 級(jí)數(shù)是由意大利數(shù)學(xué)家Vito Volterra的泛函理論演變而來(lái)的，它被稱為“有記憶效應(yīng)的泰勒級(jí)數(shù)”，是因?yàn)樗司哂凶宰兞康母叽雾?xiàng)和延遲項(xiàng)，這兩種特點(diǎn)使得此級(jí)數(shù)與功放的非線性和記憶性等物理特性不謀而合[8]，Volterra 級(jí)數(shù)的表達(dá)式為

式中：y（n）與x（n）分別為通信系統(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)；M為模型的記憶深度；P為非線性階數(shù)；kp為對(duì)應(yīng)的記憶項(xiàng)系數(shù)。Volterra 模型包含延遲項(xiàng)和高次項(xiàng)，表現(xiàn)出功放特有的記憶性和非線性，能夠?qū)斎胄盘?hào)的記憶非線性的特征描述得十分準(zhǔn)確。但是，考慮到記憶深度為3，非線性階數(shù)為5 時(shí)，整個(gè)模型的系數(shù)個(gè)數(shù)已經(jīng)高達(dá)526 個(gè)，可以看出，Volterra 級(jí)數(shù)的模型系數(shù)隨著記憶深度和非線性階數(shù)的增加而急劇增加，復(fù)雜度過(guò)高。

本文的主預(yù)失真模塊與副預(yù)失真模塊均采用記憶多項(xiàng)式模型，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

記憶多項(xiàng)式模型由于其較少的模型參數(shù)與延遲項(xiàng)，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到數(shù)字預(yù)失真技術(shù)的仿真與實(shí)現(xiàn)中，由于本文所提出的新型結(jié)構(gòu)包含2 個(gè)預(yù)失真模塊，故為了降低模型的復(fù)雜度，本文采用此模塊進(jìn)行仿真，大大降低了以Volterra 級(jí)數(shù)為模型的仿真計(jì)算量，并且由于非線性階數(shù)為偶數(shù)時(shí)，MP模型產(chǎn)生的非線性失真頻段距離中心頻段較遠(yuǎn)，可以用一個(gè)設(shè)計(jì)良好的帶通濾波器濾除[9]，功放產(chǎn)生非線性失真的主要因素是其模型的奇數(shù)階所產(chǎn)生的頻譜混疊和互調(diào)失真，故在使用MP 模型時(shí)，可以忽略其偶數(shù)階的影響。式（14）可以重寫(xiě)為

3 仿真分析

本文所提出的選擇數(shù)字預(yù)失真結(jié)構(gòu)采用Matlab進(jìn)行建模仿真。輸入信號(hào)采用的是由DMB 信號(hào)發(fā)生器所生成的符合國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的DMB 基帶信號(hào)，其符號(hào)速率為3.072 MHz，采樣率為8.192 MHz，信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)為40000 個(gè)，設(shè)置收斂因子的值為0.2，預(yù)失真結(jié)構(gòu)采用提出的選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)。在整個(gè)仿真過(guò)程中，其模型系數(shù)是從實(shí)際的功放中提取出來(lái)的[10]。在記憶深度為3，非線性階數(shù)為5 的條件下，提取出的模型參數(shù)如下：

根據(jù)提取的模型系數(shù)，本文對(duì)直接預(yù)失真模型、間接預(yù)失真模型和選擇結(jié)構(gòu)預(yù)失真模型在Matlab中進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，并通過(guò)以下幾個(gè)方面進(jìn)行比較和分析：①在記憶深度為3 和非線性階數(shù)為5 的仿真條件下對(duì)以上3 種結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真；②在輸入功率為2 dBm 的條件下，對(duì)3 種結(jié)構(gòu)的收斂速度與收斂后的功率譜密度（power spectrum density，PSD）進(jìn)行分析；③比較每種結(jié)構(gòu)的收斂后的歸一化均方誤差大小。歸一化均方均方誤差的公式為

式中：N表示對(duì)輸入信號(hào)的采樣個(gè)數(shù)；y（n）為輸入信號(hào)；y（n）mean為輸入信號(hào)的均值。下面采用3 種結(jié)構(gòu)，對(duì)比輸入信號(hào)功率為2 dBm 的仿真結(jié)果，其中N取4096。其誤差信號(hào)比較如圖5所示。

圖5 誤差信號(hào)比較Fig.5 Error comparison

采用選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)的預(yù)失真系統(tǒng)，約在第25000 個(gè)采樣點(diǎn)收斂，其收斂速度與直接型預(yù)失真結(jié)構(gòu)相差無(wú)幾，但其收斂后的誤差信號(hào)大小遠(yuǎn)小于直接型預(yù)失真結(jié)構(gòu)收斂后的誤差大小，約為0.1 個(gè)單位，且比間接型預(yù)失真結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)誤差要小約0.01 個(gè)單位。其收斂后的3 種結(jié)構(gòu)的功率譜密度如圖6所示。

圖6 收斂后3 種結(jié)構(gòu)的功率譜密度Fig.6 Power spectrum densities of three structures

功率譜密度圖能夠非常直觀的描述預(yù)失真系統(tǒng)的效果，其中歸一化頻率的單位為MHz；幅度單位為dB，可以從圖中基帶信號(hào)頻段以外的頻段觀察信號(hào)的衰減狀況，根據(jù)圖6所示，選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)的帶外抑制效果要好于直接型預(yù)失真結(jié)構(gòu)約3 dB，而與間接預(yù)失真結(jié)構(gòu)的帶外抑制效果相差無(wú)幾。下面對(duì)3 種結(jié)構(gòu)的歸一化均方誤差進(jìn)行仿真，測(cè)試次數(shù)為8 次，仿真結(jié)果如表1所示。

表1 NMSE 測(cè)試結(jié)果Tab.1 Test results of NMSE

本文提出的選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)的收斂后歸一化均方誤差值均小于直接型結(jié)構(gòu)和間接型結(jié)構(gòu)，分別為7 dB 與2 dB 左右，對(duì)于功放模型的擬合度更好。

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種新型的選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，功放模型采用的是記憶多項(xiàng)式模型。第一個(gè)改進(jìn)是合并了兩種結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，利用收斂速度更快的NLMS 自適應(yīng)算法調(diào)節(jié)2 個(gè)預(yù)失真模塊的復(fù)增益系數(shù)；第二個(gè)改進(jìn)是提出了一種通過(guò)比較器與一個(gè)二選一選擇器所構(gòu)成的新的數(shù)據(jù)迭代方法，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，延遲小。仿真結(jié)果表明，相較于現(xiàn)有的預(yù)失真結(jié)構(gòu)，改進(jìn)后的預(yù)失真結(jié)構(gòu)的收斂速度與直接預(yù)失真結(jié)構(gòu)相差無(wú)幾，但其收斂后的誤差比直接型與間接型兩種結(jié)構(gòu)都小，分別為0.15 個(gè)單位與0.03 個(gè)單位，且?guī)庖种菩Ч茫瑤馑p相較于以上兩種結(jié)構(gòu)提高了約2 dB。