基于里德伯超級(jí)原子快速制備三粒子單重態(tài)*

計(jì)彥強(qiáng) 王潔 劉穎莉 張大偉 肖瑞杰 董莉 修曉明?

1) (渤海大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 錦州 121013)

2) (長(zhǎng)春理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 長(zhǎng)春 130022)

3) (營(yíng)口理工學(xué)院電氣工程學(xué)院, 營(yíng)口 115014)

1 引 言

量子糾纏體現(xiàn)了多個(gè)系統(tǒng)之間的非定域非經(jīng)典的關(guān)聯(lián)特性, 這種特性使量子糾纏成為了量子信息科學(xué)中的基本資源.因此, 量子糾纏被廣泛地應(yīng)用在了量子信息處理任務(wù)中.最常見的量子糾纏態(tài)有Bell態(tài)、GHZ態(tài)以及W態(tài)等.不同的糾纏態(tài)有著各自的優(yōu)點(diǎn), 例如, GHZ態(tài)是最大糾纏態(tài)并且能夠最大程度地違背Bell不等式; 對(duì)于一個(gè)N粒子W態(tài), 其任意一個(gè)粒子被測(cè)量之后, 剩下的粒子會(huì)以 (N-1)/N的概率仍然保持糾纏的特性, 也就是說W態(tài)的糾纏特性對(duì)于量子比特的丟失具有很好的魯棒性.在2002年, Cabello[1]提出了一種新型糾纏態(tài)—N粒子N能級(jí)單重態(tài).這種糾纏態(tài)可以表示為

式中,?n1,···,nN表示列維-奇維塔符號(hào),{nl}表示排列, |qnl〉 表示一個(gè)量子比特的基矢.這類糾纏態(tài)不僅違反了Bell不等式[2], 而且還可以構(gòu)建無消相干子空間, 用于抵抗集體的退相干[3], 因此, 單重態(tài)成為了量子秘密共享、測(cè)謊技術(shù)等的關(guān)鍵資源[1,4].近年來, 學(xué)者們已經(jīng)提出了一些理論方案用于制備單重態(tài)[5-10].例如, Jin等[6]在腔量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中基于原子-腔共振相互作用制備了單重態(tài),但是該方案中需要三個(gè)原子依次通過三個(gè)不同的腔, 因此, 單重態(tài)的保真度對(duì)腔的衰減比較敏感;Lin等[7]的方案中由于沒有涉及到腔中光子的布居, 因此對(duì)腔的衰減并不敏感, 但是當(dāng)考慮到原子的自發(fā)輻射和腔的衰減時(shí), 方案的成功概率將變成概率性的; Shao等[8]利用量子Zeno動(dòng)力學(xué)將兩原子單重態(tài)轉(zhuǎn)化成三原子單重態(tài)并將方案進(jìn)行了拓展, 但是在轉(zhuǎn)化過程中需要精確地控制系統(tǒng)的演化時(shí)間.此外, 在大部分的方案中, 學(xué)者們都利用了原子的激發(fā)態(tài)進(jìn)行量子信息的編碼, 而激發(fā)態(tài)的衰減往往會(huì)對(duì)方案的實(shí)現(xiàn)造成一定的影響.

作為實(shí)現(xiàn)量子信息處理和量子計(jì)算的理想載體之一的中性里德伯原子, 由于最外層電子被激發(fā)到了高能級(jí), 隨著主量子數(shù)的增加, 其環(huán)繞半徑也會(huì)增加, 導(dǎo)致電子的運(yùn)動(dòng)軌道距離原子實(shí)很遠(yuǎn), 使里德伯原子擁有了很多與普通原子不同的特性: 里德伯原子的體積很大, 很容易受到外電場(chǎng)的電離,對(duì)外界的電場(chǎng)變化很敏感, 因此, 可以通過改變外電場(chǎng)的方式來改變里德伯原子間相互作用的強(qiáng)度;里德伯態(tài)是一種高激發(fā)態(tài), 在不受外界影響的情況下, 其輻射衰減很小, 輻射壽命可以達(dá)到毫秒量級(jí)甚至更長(zhǎng); 原子實(shí)與最外層電子間的距離比較遠(yuǎn),電子受到的庫侖作用很弱, 電偶極矩大.其中, 里德伯原子大的電偶極矩能夠產(chǎn)生長(zhǎng)程的偶極-偶極相互作用, 在這種強(qiáng)的偶極-偶極相互作用下, 當(dāng)一個(gè)原子躍遷到里德伯態(tài)的時(shí)候, 會(huì)使在一定范圍內(nèi)的其他里德伯原子的激發(fā)態(tài)能級(jí)產(chǎn)生若干微米的移動(dòng), 形成類似大失諧的情況, 一定范圍內(nèi)的其他里德伯原子的激發(fā)得到了抑制, 即里德伯阻塞效應(yīng)[11-13].2009年的兩組實(shí)驗(yàn)分別證實(shí)了相距4 μm[14]和10 μm[15]的兩個(gè)獨(dú)立里德伯原子之間存在偶極阻塞效應(yīng).然而, 利用同時(shí)驅(qū)動(dòng)的失諧補(bǔ)償法[16,17]、分步驅(qū)動(dòng)的失諧補(bǔ)償法[18]以及同時(shí)驅(qū)動(dòng)的幅值調(diào)制法[19-21], 可以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)基態(tài)和兩個(gè)里德伯態(tài)之間的同時(shí)躍遷, 即里德伯反阻塞效應(yīng).如今, 里德伯原子已廣泛地應(yīng)用在了量子信息處理任務(wù)中[16-29].

然而, 關(guān)于包含n個(gè)里德伯原子的系綜研究仍然是個(gè)挑戰(zhàn), 這是因?yàn)殡S著系綜中原子數(shù)的增加,系綜的維度將會(huì)指數(shù)式地增加.幸運(yùn)的是, 當(dāng)里德伯原子系綜位于阻塞球范圍內(nèi)的時(shí)候, 系綜表現(xiàn)出的行為就像是一個(gè)多能級(jí)的系統(tǒng), 即超級(jí)原子.此時(shí), 超級(jí)原子的基態(tài)和激發(fā)態(tài)之間的躍遷與場(chǎng)的耦合強(qiáng)度將會(huì)增加倍[30,31].這些特色使超級(jí)原子成為了量子模擬的基本模塊[32-39].例如, Lukin等[32]提出了一種方案用于操作存儲(chǔ)于系綜集體態(tài)上面的量子信息并制備了可擴(kuò)展的量子邏輯門.Beterov等[38]基于里德伯超級(jí)原子數(shù)值模擬了單量子比特和雙量子比特量子態(tài)的量子層析.Paris-Mandoki等[39]實(shí)現(xiàn)了自由空間中的單個(gè)里德伯超級(jí)原子和傳播光場(chǎng)的相干耦合.

受到其他學(xué)者的啟發(fā), 本文主要利用絕熱捷徑方法制備了三個(gè)里德伯超級(jí)原子單重態(tài).在本方案中, 將四能級(jí)倒“Y”型結(jié)構(gòu)的里德伯原子系綜放置在里德伯阻塞球內(nèi)使其形成超級(jí)原子, 然后將三個(gè)超級(jí)原子放置在腔中, 在弱腔場(chǎng)近似下, 超級(jí)原子的集體態(tài)將會(huì)簡(jiǎn)化為一個(gè)新的四能級(jí)倒“Y”型結(jié)構(gòu).在系統(tǒng)演化的過程中, 超級(jí)原子的躍遷不僅與腔場(chǎng)耦合而且還與經(jīng)典激光場(chǎng)耦合, 利用量子Zeno動(dòng)力學(xué)和絕熱捷徑的方法, 通過控制拉比頻率, 能夠在相對(duì)很短的時(shí)間內(nèi)獲得一個(gè)高保真度的單重態(tài).本方案有如下優(yōu)點(diǎn): 1)將量子信息編碼在系綜的集體態(tài)上, 即編碼在超級(jí)原子的有效能級(jí)上面, 相比于單個(gè)原子, 對(duì)超級(jí)原子的操控更為容易;2)和單個(gè)里德伯原子相比, 超級(jí)原子的基態(tài)和激發(fā)態(tài)之間的躍遷與場(chǎng)的耦合強(qiáng)度增加了倍, 在一定程度上可以降低實(shí)驗(yàn)的要求; 3)在里德伯原子中, 一般只能利用里德伯反阻塞效應(yīng)才能使每個(gè)里德伯原子都處于里德伯態(tài), 但是實(shí)現(xiàn)里德伯反阻塞效應(yīng)的要求比較高, 然而在里德伯超級(jí)原子中卻沒有這種限制; 4)利用量子Zeno動(dòng)力學(xué)[40-44]將系統(tǒng)的演化限制在量子Zeno子空間中, 有效降低了腔衰減對(duì)方案保真度的影響; 5) 利用絕熱捷徑的方法有效降低了系統(tǒng)的演化時(shí)間.

本文的結(jié)構(gòu)如下: 第一節(jié)為引言; 第二節(jié)利用里德伯超級(jí)原子制備了三粒子單重態(tài), 介紹了該系統(tǒng)的理論模型以及制備過程; 第三節(jié)進(jìn)行了數(shù)值分析模擬, 對(duì)絕熱捷徑方法和絕熱近似方法所需要的時(shí)間進(jìn)行了對(duì)比, 討論了腔的衰減和超級(jí)原子的自發(fā)輻射對(duì)單重態(tài)保真度的影響; 第四節(jié)為結(jié)論.

2 利用里德伯超級(jí)原子快速制備三粒子單重態(tài)

2.1 理論模型

考慮一個(gè)四能級(jí)的87Rb 原子, 如圖1(a)所示,四個(gè) 態(tài) |g〉, |m〉, |e〉和 |r〉分別 對(duì) 應(yīng)于 能 級(jí)|5S1/2,F=2,mF=2〉, | 5S1/2,F=1,mF=1〉 ,|5P3/2,F=2,mF=3〉 和 | 60S1/2,F=2〉.其中 |g〉( |m〉)態(tài)與 |e〉態(tài)之間的躍遷和量子化腔場(chǎng)的左(右)圓極化模式耦合, 耦合強(qiáng)度為ga(gb).|e〉態(tài)與|r〉態(tài)之間的躍遷和經(jīng)典激光場(chǎng)耦合, 拉比頻率為Ω.vvdW表示處于里德伯態(tài)的兩個(gè)原子之間的范德瓦耳斯相互作用, 其中vvdW=?C6/R6,C6表示范德瓦耳斯相互作用系數(shù),R表示相互作用距離.Δ表示相應(yīng)的單光子失諧參數(shù).在旋波近似下, 可以用下面的哈密頓量來描述多個(gè)里德伯原子和量子化腔場(chǎng)以及經(jīng)典激光場(chǎng)之間的相互作用:

圖1 (a)里德伯原子的能級(jí)結(jié)構(gòu); (b)里德伯超級(jí)原子的能級(jí)結(jié)構(gòu); (c)弱腔場(chǎng)極限下的里德伯超級(jí)原子能級(jí)結(jié)構(gòu)Fig.1.(a) Energy levels configuration for Rydberg atom;(b) energy levels configuration for Rydberg superatom;(c) effective energy levels configuration for the superatom in the weak cavity field limit.

式中,a?和b?分別表示a模腔場(chǎng)和b模腔場(chǎng)的產(chǎn)生算符.

然而, 在里德伯阻塞區(qū)域中, 只允許有一個(gè)里德伯原子可以被激發(fā)到里德伯態(tài)|r〉.因此, 使用超級(jí)原子來表示處于阻塞區(qū)域中的里德伯原子系綜.原子系綜的 (n+1)2個(gè)集體態(tài)可以表示為

對(duì)于 |R(j)〉 , 由于里德伯阻塞效應(yīng), 在超級(jí)原子中最多只有一個(gè)里德伯原子能夠被激發(fā)到里德伯態(tài), 因此j只能取1.每個(gè)超級(jí)原子之間的偶極-偶極相互作用非常小, 可以忽略.假設(shè)在超級(jí)原子中最多只有一個(gè)原子可以被激發(fā)到|e〉態(tài), 這種假設(shè)在弱腔場(chǎng)極限下是合理的, 此時(shí), 這些集體態(tài)只有(如圖1(b)).所以可以使用四能級(jí)的倒“Y”結(jié)構(gòu)來描述這個(gè)超級(jí)原子, 這四個(gè)能級(jí)分別對(duì)應(yīng)集體態(tài) |G〉, |M(1)〉 ,|E(1)〉 和 |R(1)〉 (如圖1(c)).

為了利用里德伯超級(jí)原子快速制備三粒子單重態(tài), 將三個(gè)里德伯超級(jí)原子放置在一個(gè)腔中, 如圖2所示, 相互作用哈密頓量可以表示為

圖2 腔與三個(gè)超級(jí)原子相互作用示意圖Fig.2.Schematic illustration of the interaction between the a cavity and three superatoms.

式中ni表示第i個(gè)超級(jí)原子中的里德伯原子個(gè)數(shù),表示第i個(gè)超級(jí)原子與a(b)模腔場(chǎng)的耦合強(qiáng)度.本文中已假設(shè)和Δi=Δ.在這些假設(shè)中, 要求系綜中原子個(gè)數(shù)相等, 這是為了方便理論計(jì)算.實(shí)際上, 在系綜中的原子個(gè)數(shù)相差不是很大的情況下, 只要能夠使本方案仍然有效.此外, 方案中采用的是非簡(jiǎn)并的雙模腔場(chǎng), 實(shí)驗(yàn)上可以通過控制a(b)模腔場(chǎng)的本征頻率以及原子到a(b)模邊界的距離來控制ga和gb的大小, 因此這些假設(shè)是合理的.

2.2 制備三粒子單重態(tài)

利用量子絕熱捷徑技術(shù)可以通過一個(gè)非絕熱過程來加快絕熱演化的速度, 為了設(shè)計(jì)這樣的哈密頓量來快速制備糾纏態(tài), 首先考慮Δ=0 的情況:

利用(6)式的基矢, 可以將哈密頓量重新改寫為

Hrac表示超級(jí)原子與腔場(chǎng)的相互作用項(xiàng), 其表達(dá)形式是利用的本征態(tài)對(duì)進(jìn)行對(duì)角化;Hral表示超級(jí)原子與經(jīng)典場(chǎng)的相互作用項(xiàng), 其表達(dá)形式是利用的本征態(tài)對(duì)進(jìn)行對(duì)角化.對(duì)(9)式執(zhí)行一個(gè)幺正變換U=exp(-iHract) , 忽略高頻振蕩項(xiàng)則可以獲得一個(gè)有效的哈密頓量

上面的處理過程中已設(shè)定了和|T〉=(|φ2〉+|φ5〉-|φ1〉-|φ6〉)/2.該有效哈密頓量描述的系統(tǒng)可以被認(rèn)為是一個(gè)具有激發(fā)態(tài) |φ1〉 和 基態(tài) |D〉, |T〉的三能級(jí)系統(tǒng).對(duì)于這個(gè)簡(jiǎn)單的三能級(jí)系統(tǒng), 其本征態(tài)為

為了更好地完成制備過程, 經(jīng)典激光脈沖的參數(shù)應(yīng)該滿足受激拉曼絕熱過程的邊界條件:

因此,拉比頻率選為

式 中,Ω0表 示 脈 沖 振 幅,{t0,T}是 相 關(guān) 的 參 數(shù),tanβ=2 ,tc是操作時(shí)間.當(dāng)選擇合理的激光脈沖參 數(shù) 時(shí), 即t0=0.14tc以 及T=0.19tc,如圖3所示.

圖3 在 t 0=0.14tc 和 T =0.19tc 時(shí) 的 激 光 脈 沖 和Fig.3.Laser pulse and when t 0=0.14tc andT=0.19tc.

然而, 利用絕熱演化去獲得目標(biāo)態(tài)需要很長(zhǎng)的時(shí)間, 這并不是理想的.為了縮短系統(tǒng)的演化時(shí)間,這里使用絕熱捷徑的方式去獲得目標(biāo)態(tài).前面獲得的有效哈密頓量Heff的瞬時(shí)本征態(tài) |mk〉 (k=0,1,2 )并不滿足Schr?dinger方程 i?t|mk〉=Heff|mk〉.根據(jù)Berry[45]的無躍遷跟蹤算法可獲得能夠精確驅(qū)動(dòng)本征態(tài)演化的哈密頓量H(t) ,從文獻(xiàn)[46-49]可知, 最簡(jiǎn)單的哈密頓量H(t) 的形式為

在大失諧條件下(Δ?Ω1,Ω3), 絕熱消除 |φ1〉 態(tài),并選擇Ω1=Ωx以及則可以獲得最終的有效哈密頓量為

也就是說, 只要滿足哈密頓量就可以將系統(tǒng)暗態(tài)的絕熱演化進(jìn)行加速, 使其能夠快速地演化到目標(biāo)態(tài).因此,Ωx表示為

3 數(shù)值模擬分析

為了說明利用絕熱捷徑方法制備三粒子單重態(tài)所需的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于利用絕熱近似方法所需要的時(shí)間, 圖4分別給出了兩種方案的保真度隨g0t的變化關(guān)系.

圖4 利用絕熱近似方法和絕熱捷徑方法制備三粒子單重態(tài)所需時(shí)間對(duì)比Fig.4.Comparison of the interaction time required between shortcuts to the adiabaticity method and the adiabatic approximation method.

保真度定義為F=|〈Φtc|ρ(t)|Φtc〉|,ρ(t) 是相應(yīng)

的含時(shí)密度算符, |Φtc〉 表示目標(biāo)態(tài).數(shù)值模擬采用的參數(shù)為:t0=0.14tc,T=0.19tc,g0=10Ω0.在圖4中, 紅色虛線表示利用絕熱近似方法制備的三粒子單重態(tài)的保真度隨時(shí)間的變化關(guān)系, 選擇tc=500/g0, 當(dāng)g0tc=500 時(shí), 該方法的保真度近似等于1; 藍(lán)色點(diǎn)線也表示絕熱近似方法下的保真度,選擇tc=100/g0, 當(dāng)g0tc=100 時(shí), 保真度約為0.6,這是因?yàn)椴僮鲿r(shí)間很短, 并不能滿足絕熱近似條件, 所以得不到很好的保真度; 綠色點(diǎn)虛線表示利用絕熱捷徑方法制備的單重態(tài)的保真度, 可以看出, 與絕熱近似方法相比, 在得到相同保真度的情況下, 利用絕熱捷徑方式僅需要很短的時(shí)間.也就是說, 操作時(shí)間tc越長(zhǎng), 越能夠滿足絕熱演化條件,此時(shí), 利用絕熱演化方法制備的三粒子單重態(tài)的保真度越高, 但是這個(gè)過程需要非常長(zhǎng)的時(shí)間.相反,利用絕熱捷徑的方法只需要很短的時(shí)間就可以達(dá)到一個(gè)高的保真度.

為了分析本方案的可行性, 考慮退相干因素,使用Lindblad形式的主方程

來描述整個(gè)的演化過程.(19)式中的=是描述耗散過程的Lindblad算符.κa和κb分別表示腔中a模和b模的衰減率.γe1和γe2分別表示能級(jí) |e〉向能級(jí) |g〉和 |m〉的自發(fā)輻射率,γr表示里德伯態(tài)的自發(fā)輻射率.在實(shí)際情況中, 里德伯態(tài)的自發(fā)輻射要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他態(tài)的自發(fā)輻射率, 因此在數(shù)值模擬中假定γe1=γe2=γ,γr=0.01γ和κa=κb=κ.其他參數(shù)選擇為t0=0.14tc,T=0.19tc,g0=10Ω0和Δ=2g0.

在圖5(a)中給出了三粒子單重態(tài)的保真度隨演化時(shí)間和退相干因素(包括超級(jí)原子的自發(fā)輻射和腔內(nèi)光子的衰減)的變化圖像, 其中已經(jīng)假定了κ=γ.在圖5(b)中給出了保真度隨γ/g0和κ/g0的變化圖像.從圖5可以看出, 本方案能夠在很短的時(shí)間內(nèi)就達(dá)到一個(gè)理想的保真度, 同時(shí)三粒子單重態(tài)的保真度隨著腔衰減率和原子自發(fā)輻射率的增加而緩慢減小, 當(dāng)κ=γ=0.05g0時(shí), 單重態(tài)的保真度仍然可以達(dá)到92%.

圖5 (a) 三粒子單重態(tài)的保真度隨相互作用時(shí)間 g 0tc 和原子自發(fā)輻射 γ /g0 的變化; (b) 三粒子單重態(tài)的保真度隨腔 衰 減 κ /g0 和 原 子 自 發(fā) 輻 射 γ /g0 的 變 化Fig.5.(a) Fidelity of the singlet state versus the interaction time g 0tc and the atomic spontaneous emission γ /g0 ;(b) fidelity of the singlet state versus the cavity decayκ/g0 and the atomic spontaneous emission γ /g0.

在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)中, 為了使超冷原子系綜形成里德伯超級(jí)原子, 可以將87Rb 原子放在超高真空環(huán)境下的磁光阱中, 通過多次冷卻, 原子云可包含25000個(gè)原子, 最終溫度可以達(dá)到6 μK[39].考慮到實(shí)驗(yàn)中的參數(shù)[50-53]: 磁光阱中的原子數(shù)為10000,|e〉態(tài)的自發(fā)輻射率為γe1=γe2～2π×2.62 MHz,里德伯態(tài)|r〉的自發(fā)輻射率為γr～2π×1 kHz, 腔模的衰減率為κ～2π×3.5 MHz, 耦合強(qiáng)度g0～2π×750MHz.在數(shù)值模擬中代入上述參數(shù), 最終獲得三粒子單重態(tài)的保真度仍然可以達(dá)到99%.

4 結(jié) 論

本文利用量子Zeno動(dòng)力學(xué)和絕熱捷徑的方法制備了三個(gè)里德伯超級(jí)原子之間的單重態(tài).與單原子情況相比, 利用超級(jí)原子進(jìn)行量子信息處理對(duì)實(shí)驗(yàn)的要求比較低且操作簡(jiǎn)單; 與量子Zeno動(dòng)力學(xué)方法相比, 本方案不需要精確控制演化時(shí)間; 與絕熱近似方法相比, 本方案大大縮短了演化時(shí)間.結(jié)合量子Zeno動(dòng)力學(xué)和絕熱捷徑的方法, 本方案不僅能夠簡(jiǎn)單快速地制備三粒子單重態(tài), 而且該理論方案也可用于制備其他糾纏態(tài)以及多體糾纏態(tài).希望在今后的實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)量子信息處理中, 該方案能夠起到一定的作用.