糾纏光子對的級聯(lián)Hong-Ou-Mandel干涉研究及其在多時延參數(shù)測量中的應用*

翟藝偉 董瑞芳 權潤愛 項曉3) 劉濤3) 張首剛3)?

1) (陜西科技大學電氣與控制工程學院, 西安 710021)

2) (中國科學院國家授時中心, 時間頻率基準重點實驗室, 西安 710600)

3) (中國科學院大學天文與空間科學學院, 北京 100049)

1 引 言

Hong-Ou-Mandel (HOM)干涉儀[1,2]自提出以來, 就被廣泛應用在量子精密測量、量子相干層析以及量子通信等領域中[3-11].基于HOM干涉儀的時延測量主要是探測光子對的時間關聯(lián)特性, 且具有更寬的測量范圍.利用糾纏光子對作為HOM干涉儀的輸入光源, 可以使時延測量精度突破散粒噪聲極限達到海森伯極限, 同時糾纏特性能夠有效地抵御傳輸路徑介質的色散效應[12-16].因此, 基于糾纏光子對的HOM干涉儀作為一種高測量精度、抗干擾且結構簡單的時延測量裝置, 在量子精密測量和量子定位系統(tǒng)中具有重要地位.

在標準HOM干涉儀中, 糾纏光子對分別經過不同的傳輸路徑入射到50∶50分束器, 當干涉儀的兩路傳輸路徑平衡時, 在50∶50分束器的輸出端口通過符合測量裝置記錄糾纏光子對的二階量子干涉圖譜, 觀察得到糾纏光子對符合計數(shù)率最小值與傳輸路徑中時延參數(shù)零值之間存在唯一對應關系,表現(xiàn)為二階量子干涉圖譜中存在一個凹陷, 其寬度和干涉可見度是與糾纏光子對的相干時間和不可分性相關[1,2].迄今為止, 基于HOM干涉儀的量子精密時延測量方法, 已經受到了國內外學者的廣泛關注.Branning等[17]和Dauler等[18]利用正交偏振光子對的HOM干涉效應測量偏振模色散, 獲得了亞飛秒量級的時延測量精度.進一步地, Lyons等[19]通過統(tǒng)計學理論, 將HOM干涉儀的時延測量精度提升到了阿秒量級, 并將其應用到生物細胞和材料樣品檢測領域.上述研究驗證了HOM干涉儀的超高時延測量精度并擴展了其應用領域.

隨著量子精密測量系統(tǒng)的進一步發(fā)展, 基于標準HOM干涉儀的單個時延測量方案已經無法滿足多參量系統(tǒng)的應用需求.為了實現(xiàn)多個獨立時延參數(shù)的測量, 基于兩個50∶50分束器的Mach-Zehnder (MZ)干涉模型[20,21]和基于多個50∶50分束器及消色差波片級聯(lián)的二階量子干涉模型[22]相繼被提出.然而, 基于HOM干涉儀后級聯(lián)多個50∶50分束器的糾纏光子對二階量子干涉研究, 即級聯(lián)HOM干涉效應及其應用實驗研究暫未見報道.

本文對基于HOM干涉儀級聯(lián)多級50∶50分束器實現(xiàn)的多個時延參數(shù)測量方案進行了研究, 理論分析了標準HOM干涉儀后分別級聯(lián)一個和兩個50∶50分束器時所獲得的二級級聯(lián)HOM干涉儀和三級級聯(lián)HOM干涉儀的二階量子干涉圖譜中各個凹陷位置與傳輸路徑中獨立時延參數(shù)間的多點對應關系; 進一步在實驗上基于頻率一致糾纏光子對和符合測量, 分析了二級級聯(lián)HOM干涉儀的二階量子干涉圖譜, 并實現(xiàn)了兩個獨立時延參數(shù)的同時測量.

2 理論模型

基于頻率糾纏光源的多級級聯(lián)HOM干涉儀裝置如圖1所示, 級聯(lián)HOM干涉儀由HOM干涉儀后級聯(lián)n個50∶50分束器(BS1, BS2, ···, BSn)組成.偏振相互正交的頻率糾纏光子對經過偏振分束器分開, 信號光s和閑置光i (其湮滅算符分別為和先后經過HOM干涉儀和級聯(lián)的n個50∶50分束器后, 到達單光子探測器D1和D2前的湮滅算符可以表示為n和.假定各級傳輸路徑中存在的獨立時延參數(shù)分別記為τ1,τ2, ···,τn, 第k(∈n) 個50∶50分束器前后雙光子的傳輸矩陣可表示為當n≥1 , 到達單光子探測器D1和D2前的湮滅算符和可以表示為[20,21]

圖1 基于頻率糾纏光源的多級級聯(lián)HOM干涉儀的原理框圖Fig.1.Schematic of multi-cascaded HOM interferometer based on frequency entangled source.

隨可調時延τ變化的糾纏光子對符合計數(shù)率P(τ)可以寫為[23]

當n=1 時, 信號光s和閑置光i分別經過一個 可 調 時 延τ和 未 知 獨 立 時 延 參 數(shù)τ1后 入 射 到50∶50分束器(BS1)進行二階量子干涉, 此時為標準HOM干涉儀(HOM interferometer, HOMI),其糾纏光子對符合計數(shù)率可以寫為

當n=2 時, 信號光s和閑置光i經過級聯(lián)了兩個50∶50分束器(BS2)的HOM干涉儀后進行二階量子干涉, 期間經過可調時延τ和未知獨立時延參數(shù)τ1和τ2, 將n=2 代入(1)式得出和并代入(2)式中, 則經過二級級聯(lián)HOM干涉儀(second-cascaded HOMI, s-HOMI)后的糾纏光子對符合計數(shù)率可以寫為

當n=3 時, 信號光s和閑置光i經過級聯(lián)了3個50∶50分束器(BS2和BS3)的HOM干涉儀后進行二階量子干涉, 期間經過可調時延τ和未知獨立時延參數(shù)τ1,τ2和τ3, 將n=3 代入(1)式得出和, 并代入(2)式中, 則經過三級級聯(lián)HOM干涉儀(third-cascaded HOMI, t-HOMI)后的糾纏光子對符合計數(shù)率可以寫為

根據(jù)上述得到的糾纏光子對符合計數(shù)率公式,通過掃描傳輸路徑中的可調時延τ, 可以得到隨可調時延τ變化的糾纏光子對的符合計數(shù)率, 也就是多級級聯(lián)HOM干涉儀的二階量子干涉圖譜, 見圖2.其中, 理論模擬中采用的糾纏光子對參數(shù)是實驗中制備的頻率一致糾纏光子對參數(shù)[24], 因其不是完全不可分的頻率一致糾纏態(tài), 因此對應的HOM干涉可見度不是理想情況下的“1”, 為0.67.圖2(a)是根據(jù)(3)式掃描τ得到的標準HOM干涉儀的二階量子干涉圖譜, 當糾纏光子對符合計數(shù)率最低時, 表示HOM干涉儀的兩路傳輸路徑平衡, 也就是說τ=τ1時, 二階量子干涉圖譜中存在一個凹陷, 此凹陷位置處的時延值對應的是標準HOM干涉儀中的未知時延參數(shù)τ1.因此, 利用標準HOM干涉儀可以進行單個獨立時延參數(shù)τ1的量子測量.圖2(b)是根據(jù)(4)式, 通過假定τ2=5ps , 掃描τ得到的二級級聯(lián)HOM干涉儀的二階量子干涉圖譜, 可以看到存在兩個對稱的凹陷, 其位置對應的時延值分別是τ2和-τ2.同時, 兩個對稱凹陷位置的中間點時延值對應的是時延參數(shù)τ1.因此, 基于一個二級級聯(lián)HOM干涉儀, 就可以實現(xiàn)兩個獨立時延參數(shù)(τ1,τ2)的同時測量.圖2(c)是根據(jù)(5)式, 通過假定τ2=7ps和τ3=10ps , 掃描τ得到的三級級聯(lián)HOM干涉儀的二階量子干涉圖譜, 可以看到存在6個對稱的凹陷, 其位置對應的時延值分別是±τ3,±(τ3-τ2) ,±(τ3+τ2) , 同時, 對稱的凹陷中間點時延值對應的也是時延參數(shù)τ1.因此, 基于三級級聯(lián)HOM干涉儀的二階量子干涉圖譜, 就可實現(xiàn)3個獨立時延參數(shù)(τ1,τ2,τ3)的同時測量.

圖2 基于頻率糾纏光子對的多級級聯(lián)HOM干涉儀的二階量子干涉圖譜 (a) 標準HOM干涉儀; (b) 二級級聯(lián)HOM干涉儀; (c) 三級級聯(lián)HOM干涉儀Fig.2.The second-order quantum interferograms of multicascaded HOM interferometer based on frequency entangled photon pairs: (a) HOM interferometer; (b) the second-cascaded HOM interferometer; (c) the third-cascaded HOM interferometer.

以此類推, 當信號光s和閑置光i經過n個50∶50分束器, 構成n級級聯(lián)HOM干涉儀, 通過掃描時延τ得到的二階量子干涉圖譜中存在的凹陷對應的時延位置與傳輸路徑中多個獨立時延參數(shù)τ1,τ2,τ3, ···,τn有關, 通過測量多個凹陷位置處的時延值, 就可以間接得到多個獨立時延參數(shù),從而實現(xiàn)基于一個HOM干涉儀對多個獨立時延參數(shù)的同時測量.對于n≥3 的更多級級聯(lián)HOM二階量子干涉理論模型, 由于數(shù)學推導具有一定的復雜性, 本文未進一步給出, 但可以借助于糾纏光子對的干涉費曼圖(見附錄A), 更方便有效地分析二階量子干涉圖譜中的各個凹陷與多個獨立時延參數(shù)之間存在的多點對應關系, 從而實現(xiàn)多個時延參數(shù)的同時測量.

3 實驗裝置

為了驗證頻率糾纏光子對的級聯(lián)HOM干涉儀理論模型, 本文搭建了頻率一致糾纏光子對的二級級聯(lián)HOM干涉儀實驗裝置, 如圖3所示.超短飛秒脈沖(中心波長為791 nm, 3 dB帶寬為24 nm)激光抽運PPKTP晶體, 在滿足擴展相位匹配條件下, 通過自發(fā)參量下轉換過程產生頻率一致糾纏光子對, 其中信號光s和閑置光i的偏振相互正交.糾纏光子對經過透鏡(聚焦光斑)及濾波片(過濾剩余抽運光)輸入到單模光纖中, 利用光纖偏振分束器(FPBS)將信號光s和閑置光i分開.信號光s經過t1路 徑, 閑置光i經過t2路徑, 到達光纖分束器1 (FBS1), 輸出光子再分別經過路徑t3和t4到達光纖分束器2 (FBS2)中, 之后通過超導納米線單光子探測器D1和D2 (探測效率～50%, 時間抖動～70 ps)對單光子進行探測, 產生的干涉信號送入到符合測量裝置(TCSPC)中, 進行糾纏光子對的符合測量.在實驗中, 為了對傳輸路徑中的時延值進行粗略控制, 引入一個手動可調光學延遲線ODL, 其路徑時延長度可達600 ps, 且低插入損耗.為了對傳輸路徑時延值進行精準控制, 引入一個電動可調光學延遲線MDL, 用來實現(xiàn)時延τ的掃描,由帶集成編碼器的直流電機驅動, 可與計算機通信, 并利用計算機的LabView程序進行實時控制,其時延掃描范圍為10—560 ps, 分辨率小于1 fs.通過程序控制自動掃描MDL的時延值τ, 得到級聯(lián)HOM干涉儀中糾纏光子對符合計數(shù)率隨時延值τ變化的二階量子干涉圖譜.

圖3 基于頻率糾纏光子對的二級級聯(lián)HOM干涉儀實驗裝置圖(HWP, 半波片; PPKTP, 周期極化磷酸氧鈦鉀晶體;DM, 分色鏡; Lens, 透鏡組; FC, 光纖耦合器; FPBS, 光纖偏振分束器; 50∶50 FBS, 50∶50光纖分束器; FPC, 光纖偏振控制器; MDL, 電動可調光學延遲線; ODL, 手動可調光學延遲線; SNSPD, 超導納米線單光子探測器)Fig.3.Experimental setup of the second-cascaded HOM interferometer based on frequency entangled photon pairs.HWP, half-wave plate; PPKTP, periodically poled KTP;DM, dichroic mirror; Lens, a set of lenses; FC, fiber connection; FPBS, fiber-based polarization beam splitter;50∶50 FBS, 50∶50 fiber beam splitter; FPC, fiber polarization controller; MDL, motorized delay line; ODL, optical delay line; SNSPD, super-conductor nanowire single photon detector.

4 實驗結果及分析

基于上述頻率一致糾纏光子對和符合測量實驗系統(tǒng), 對標準HOM干涉儀和二級級聯(lián)HOM干涉儀的二階量子干涉圖譜進行了測量.掃描τ得到標準HOM干涉儀的二階量子干涉圖譜, 如圖4(a)所示, 實驗測量的是糾纏光子對符合計數(shù)率隨時延τ的變化曲線, 與理論模擬符合良好, 在時延值175 ps處存在一個凹陷, 此時該時延值對應的就是傳輸路徑t1和t2的時延差τ1.在此基礎上級聯(lián)第二級50∶50分束器后得到二級級聯(lián)HOM干涉儀, 掃描τ得到二級級聯(lián)HOM干涉儀的二階量子干涉圖譜, 如圖4(b)所示, 可以看到圖譜中存在兩個凹陷, 根據(jù)對應的時延值, 可以得出傳輸路徑t3和t4的時延差τ2=5.02ps , 同時, 兩個對稱凹陷中心位置的時延值也是傳輸路徑t1和t2的時延差τ1=175.14ps , 實驗結果與理論模擬符合良好.因此, 基于二級級聯(lián)HOM干涉儀的二階量子干涉圖譜, 可以同時測量兩個獨立時延參數(shù)τ1和τ2.

圖4 頻率一致糾纏光子對的二階量子干涉圖譜實驗結果 (a) 標準HOM干涉儀; (b) 二級級聯(lián)HOM干涉儀Fig.4.Experimental results of second-order quantum interferograms based on frequency entangled photon pairs:(a) HOM interferometer; (b) the second-cascaded HOM interferometer.

圖5進一步給出了基于二級級聯(lián)HOM干涉儀對獨立時延參數(shù)τ1和τ2多次測量后得到的測量精度, 可以看到, 時延參數(shù)測量精度隨著平均測量時間呈下降趨勢, 在平均測量時間達到3000 s時,時延參數(shù)τ1和τ2的測量精度分別達到109 fs和98 fs.圖6是測量過程中實時監(jiān)測實驗室環(huán)境溫度與時延參數(shù)測量值的波動對比圖, 可以看出, 時延參數(shù)測量值的移動趨勢與實驗室環(huán)境溫度的變化趨勢一致, 實驗室中環(huán)境溫度的變化是由于實驗室空調的調頻周期決定, 其變化周期近似為33 min,與時延測量值的變化周期基本一致, 說明了環(huán)境溫度的變化會影響時延參數(shù)的測量精度.

圖5 基于二級級聯(lián)HOM干涉儀的兩個獨立時延參數(shù)τ1和 τ2 的測量精度Fig.5.Measurement accuracy of delay τ1 and τ2 based on the second-cascaded HOMI.

圖6 時延參數(shù) τ2 的測量值與環(huán)境溫度及測量時間的變化關系Fig.6.Delay movements τ2 and the temperature variations versus the measuring time.

5 結 論

本文提出了一種基于一個多級級聯(lián)HOM干涉儀實現(xiàn)多個獨立時延參數(shù)的同時測量方案.以頻率糾纏光子對作為標準HOM干涉儀的輸入光源,通過在標準HOM干涉儀后級聯(lián)多個50∶50分束器, 將基于HOM干涉儀的單個時延參數(shù)測量方案擴展為多個時延參數(shù)的同時測量方案, 通過記錄頻率糾纏光子對多級干涉后的二階量子干涉圖譜中凹陷位置處的時延值, 就可以同時得到不同傳輸路徑中的多個獨立時延參數(shù).實驗上搭建了基于頻率一致糾纏光子對的二級HOM干涉儀, 結合單光子探測器和符合測量裝置實現(xiàn)了兩個獨立時延參數(shù)的同時測量, 測量精度分別達到109 fs和98 fs, 與理論模擬結果符合良好.上述研究結果為HOM干涉儀在量子精密測量等領域的拓展應用奠定了堅實的基礎.

附錄A 糾纏光子對的干涉費曼圖

對于糾纏光子對的多級級聯(lián)HOM干涉儀的理論分析,當級聯(lián)50∶50分束器的個數(shù)越多, 糾纏光子對符合計數(shù)率的計算推導越復雜, 此時, 可以借助糾纏光子對干涉的費曼圖進行分析, 如圖A1所示.圖A1(a)—(c)分別對應的是標準HOM干涉儀、二級級聯(lián)HOM干涉儀和三級級聯(lián)HOM干涉儀的糾纏光子對干涉費曼圖, 信號光s和閑置光i經過不同的傳輸路徑, 在不同的時間到達50∶50分束器上進行二階量子干涉, 產生的干涉相消現(xiàn)象出現(xiàn)在不同的時延位置, 且與傳輸路徑中的多個獨立時延參數(shù)存在著對應關系,可以看到, 利用費曼圖進行二階量子干涉圖譜中凹陷位置的分析, 與上述理論計算和實驗測量結果符合良好.因此,在之后n≥3 的更多級級聯(lián)HOM二階量子干涉理論模型分析中, 就可以根據(jù)費曼圖更快速地得出多級級聯(lián)HOM干涉儀的凹陷位置與傳輸路徑中獨立時延參數(shù)的關系, 從而進一步實現(xiàn)更多獨立時延參數(shù)的同時測量.

圖 A1 糾纏光子對的干涉費曼圖 (a) 標準HOM干涉儀; (b) 二級級聯(lián)HOM干涉儀; (c) 三級級聯(lián)HOM干涉儀Fig.A1.The Feynman-like diagrams of entangled photon pairs: (a) HOM interferometer; (b) the second-cascaded HOM interferometer; (c) the third-cascaded HOM interferometer.