Doppler-warping變換及其應用在聲學目標運動速度估計*

高德洋 高大治? 遲靜 王良 宋文華

1) (中國海洋大學海洋技術系, 青島 266100)

2) (中國海洋大學物理系, 青島 266100)

1 引 言

汽車、火車、艦船、飛機等機械聲源在運動過程中都會產(chǎn)生輻射噪聲, 頻譜往往由若干離散的單頻線譜疊加寬帶連續(xù)譜組成, 相較于連續(xù)譜, 線譜集中在低頻, 具有強度高、傳播距離遠、時間穩(wěn)定等特點[1,2].當聲源運動而接收靜止時, 接收到的信號將產(chǎn)生多普勒頻移, 線譜信號不再是平穩(wěn)的單頻信號, 而是頻率隨時間變化的非平穩(wěn)信號.

利用目標線譜的多普勒頻移可以實現(xiàn)對運動目標最近點到達時間、正橫距離、運動速度等參數(shù)的估計[3].1994年, Ferguson和Quinn[4]提出了一種利用多普勒頻移估計目標運動參數(shù)的方法, 這種方法針對經(jīng)典的目標運動接收器靜止問題, 思想是首先利用時頻分析的方法提取接收多普勒信號的瞬時頻率, 再通過最小二乘法將瞬時頻率和多普勒頻移模型進行擬合, 估計運動參數(shù).隨后國內(nèi)外的學者對這一經(jīng)典問題提出了很多改進的方法, 一方面在時頻分析中引入高階核函數(shù)[5-8], 提高時頻分辨率, 使得提取的瞬時頻率更加精準; 另一方面針對不同的應用環(huán)境改善參數(shù)估計算法[9-13], 使得參數(shù)估計的計算速度更快, 計算結果更加準確.在仿真或者高信噪比的實驗中, 這些方法能夠得到較好的結果, 但是在實際應用中, 聲源輻射信號的幅度和頻率不是固定不變的, 會產(chǎn)生隨機的振蕩, 再加之信道的起伏, 導致接收信號的信噪比往往較低,應用時頻分析方法很難得到理想的結果, 運動參數(shù)估計也存在較大誤差.

Warping變換是一種酉等價變換, 由Baraniuk和Jones[14]在1995年首先提出.Bonnel等[15]將Baraniuk提出的酉等價變換首先應用在水聲領域,將由信道的頻散效應引起的非平穩(wěn)頻散信號變換為平穩(wěn)的準單頻信號, 以此來實現(xiàn)各信號簡正波分離, 進而實現(xiàn)被動聲源探測、地聲參數(shù)反演、氣泡脈動消除[16-20]等應用, 因此水聲領域熟知的這種酉等價變換是一種頻散-warping變換(dispersionwarping), 該研究是水聲領域近十年來的熱點.

本文將酉等價變換應用到經(jīng)典的聲學多普勒問題上, 提出Doppler-warping變換, 推導了Doppler-warping算子, 利用該算子進行時域重采樣可以將非平穩(wěn)的多普勒信號變換為平穩(wěn)的準單頻信號, 實現(xiàn)多普勒信號相位的線性化, 進而估計目標運動參數(shù).仿真數(shù)據(jù)驗證了該方法在目標運動速度估計上的可行性, 在海試數(shù)據(jù)中, 該方法也較為準確地實現(xiàn)了對目標漁船運動速度的估計, 估計精度優(yōu)于傳統(tǒng)的最小均方誤差(MMSE)速度估計方法.

2 Doppler-warping變換

2.1 多普勒頻移

聲源與接收器之間的相對運動會產(chǎn)生多普勒頻移, 下面以經(jīng)典的聲源運動接收器靜止產(chǎn)生的相對運動為例, 討論分析多普勒頻移問題.運動模型如圖1所示, 靜止頻率為f0的聲源以恒定的速度v沿著直線AB運動, 聲源到達距離接收器C的最近點D的時間記為t0, 稱為“最近點時間”, 此時聲源與接收器的距離記為r0, 稱為“最近距離”, 介質中聲速為c.

圖1 聲源運動接收器靜止示意圖Fig.1.Moving sound source and stationary receiver.

在運動聲源的時刻τ, 聲源輻射的信號經(jīng)過rτ/c時間到達接收器,rτ是τ時刻聲源同接收器之間的距離, 到達接收器的時刻為t, 顯然有t=τ+rτ/c, 接收到的信號x(t) 可以表示為

其中A(τ) 表示信號接收到的幅度,φ0為初始相位.對于rτ還可以通過幾何關系得到:

由于t＞τ, 所以利用(2)式可求得τ為

所以接收信號的瞬時相位(記為)φ(t) , 可以表示為

瞬時相位φ(t) 對 時間t求導, 可以得到接收信號的瞬時頻率fD(t) :

2.2 Doppler-warping變換

從(4)式可以看出, 多普勒信號是瞬時相位隨時間變化的非平穩(wěn)信號.warping變換的基本思想是: 取信號瞬時相位的反函數(shù)作為時域warping算子, 然后利用warping算子對信號進行時間重采樣, 由此使得信號相位線性化.本文利用運動參數(shù)與多普勒頻移之間的關系, 提出一種Doppler-warping變換, 由于多普勒信號的瞬時相位φ(t) 中僅有τ(t) 包含隨時間t變化的部分, 因此, Doppler-warping算子可以寫為

將(6)式代入(1)式, 相當于接收信號的原始采樣時刻t替換成新的采樣時刻hD(t) , 得到Dopplerwarping后的結果為

3 運動參數(shù)估計

3.1 Doppler-warping變換估計速度

假設在短時間內(nèi)的介質聲速變化忽略不計, 即聲速c已知且不變, 同時假設目標運動的最近距離r0和最近點到達時間t0已知, 由(7)式可知: Doppler-warping算子hD(t) 僅與目標運動速度v有關.當目標速度為真實值時, 經(jīng)過Doppler-warping變換,xD(t) 為準單頻信號, 則其頻譜能量分布集中;當速度搜索不準確時,xD(t) 的相位仍然是非線性的, 則其頻譜能量分布比較分散.由此, 可以通過判斷頻譜能量分布集中程度來實現(xiàn)對目標速度的估計, 本文采用了頻譜能量的熵來衡量分布的集中程度.

Doppler-warping變換估計速度的具體步驟:

1)已知目標運動的最近距離r0、最近點到達時間t0和水中聲速c, 同時設定目標速度v的搜索范圍 [v1,v2,···,vM] ,M是搜索的速度個數(shù);

2)將速度搜索值vi代入(6)式計算得到Doppler-warping算子hD(t) , 再代入(7)式計算xD(t) ,實現(xiàn)對信號的時域重采樣;

3)對xD(t) 做傅里葉變換并取模, 得到信號的頻譜函數(shù)XD(f) :

4)線譜能量要高于連續(xù)譜能量, 因此可根據(jù)頻譜函數(shù)的幅值大小變化, 粗略估計線譜信號中心頻率和判斷待分析的線譜頻率上下限, 分別記為f1和f2, 在頻率段 [f1,f2] 上 計算頻譜函數(shù)XD(f) 的熵SD, 作為速度搜索的代價函數(shù):

5)將vi+1代入步驟2)中繼續(xù)計算, 得到步驟4)中的代價函數(shù)SD(i+1) , 直至i=M, 即完成所有設定速度的計算;

3.2 MMSE估計速度

前文提到, Ferguson和Quinn[4]提出的單傳感器利用多普勒頻移估計目標運動參數(shù)方法, 核心思想是時頻分析和模型擬合.為了驗證Dopplerwarping在低信噪比下運動參數(shù)估計的優(yōu)勢, 本文將這種方法作為對比, 采用經(jīng)典的短時傅里葉變換作為時頻分析方法, 同時采用MMSE法進行速度估計.

接收信號x(t) 經(jīng)過短時傅里葉變換得到時頻函數(shù) S TFT(t,f) , 在時間點tn進行頻率峰值提取,得到瞬時頻率估計值f?(tn) , 信號共有N個時間點.假設目標運動的靜止頻率f0、最近距離r0和最近點到達時間t0已知, 由(5)式可以得到模型計算的瞬時頻率fD(tn) , 所以關于目標運動速度v的估計可以表示成

4 數(shù)值仿真

仿真條件: 假設目標在海水中運動, 運動軌跡如圖1所示, 目標的靜止頻率f0= 150 Hz, 最近距離r0= 200 m, 運動速度v= 5 m/s, 最近點到達時間t0= 60 s, 接收信號時間t的范圍是0—120 s,水中聲速c= 1500 m/s, 信號采樣率為10 kHz.在短時傅里葉變換中選用的時間窗函數(shù)是hanning窗, 窗長T=10 s, 時間混疊Toverlap=9.5 s, 時頻圖像如圖2(a)所示, 圖中黑色實線為瞬時頻率真實值; 從時頻圖可以得到瞬時頻率估計值, 將它和理論值對比, 如圖2(b)所示, 圖中估計的瞬時頻率呈階梯狀, 原因是短時傅里葉變換的窗長為10 s,所以對應的頻率分辨率只有0.1 Hz.假設目標運動的靜止頻率f0、最近距離r0和最近點到達時間t0已知, 設定速度搜索范圍為[0.1, 0.1, 10] m/s,MMSE估計速度搜索結果如圖2(c)所示, 圖中綠色虛線為真實值位置, 紅色五角星為搜索的結果,速度的估計值為v? =5 m/s, 和真實值一致.

圖2 (a)多普勒信號時頻圖; (b)瞬時頻率真實值和估計值; (c)最小均方誤差估計的速度值和真實值對比Fig.2.(a) Time-frequency distribution of Doppler signal;(b) real and estimated instantaneous frequency; (c) comparison of real velocity and estimation velocity obtained by MMSE.

使用Doppler-warping變換的方法對同一個信號做速度估計, 同樣假設目標運動的最近距離r0和最近點到達時間t0已知, 速度搜索范圍為[0.1, 0.1, 10] m/s.結果表明: 相較于原始信號的頻譜函數(shù), 隨著代入速度值的不斷增加(v= 3 m/s),信號的頻譜函數(shù)逐漸集中; 當速度達到真實值(v= 5 m/s)時, 頻譜函數(shù)最尖銳; 而當速度值繼續(xù)增大(v= 10 m/s), 頻譜函數(shù)開始變得分散, 這一變化如圖3(a)所示.計算所有速度值頻譜的熵,結果如圖3(b)所示, 圖中綠色虛線為真實值位置,紅色五角星為使得熵最小時的速度值v?D= 5 m/s,估計結果和真實值一致.

圖3 (a)不同速度值下Doppler-warping變換后的信號頻譜; (b) Doppler-warping變換估計速度的結果Fig.3.(a) Signal spectra after the Doppler-warping transform under different velocity values; (b) result of velocity estimation by the Doppler-warping transform.

由以上分析可知, 當不加噪聲時, MMSE估計速度和Doppler-warping變換估計速度都能取得理想的效果.進一步, 加入不同信噪比的高斯白噪聲, 再進行速度估計, 估計結果如圖4所示.可以看到, 當信噪比大于或等于0 dB時, 兩種方法都能準確地估計目標速度; 當信噪比小于0 dB時,MMSE估計速度的結果越來越偏離真實值, 估計誤差越來越大, 而Doppler-warping變換的估計結果則一直比較穩(wěn)定, 且估計結果都比較準確.

圖4 不同信噪比下估計的速度結果Fig.4.Estimated velocity results under different SNRs.

圖5(a)給出了當信噪比為—10 dB時的時頻圖像, 圖中黑色實線為原信號的瞬時頻率, 可以發(fā)現(xiàn), 在低信噪比下, 時頻圖上出現(xiàn)較多的干擾點,原有的信號瞬時頻率曲線已不再光滑連續(xù).利用時頻圖像估計的瞬時頻率和真實瞬時頻率的對比如圖5(b)所示, 瞬時頻率估計值隨著時間存在較大抖動, 而真實值則比較光滑, 兩者存在較大區(qū)別,因此MMSE估計速度結果不準確.圖5(c)給出了v= 5 m/s時, Doppler-warping變換后的頻譜函數(shù)分布和原始信號頻譜函數(shù)的對比, 可以發(fā)現(xiàn)在v= 5 m/s時頻譜信號依然有一個尖銳的峰值, 能量集中分布在f0= 150 Hz處.

圖5 SNR = —10 dB時的(a)時頻分布圖, (b)瞬時頻率真實值和估計值, 以及(c) v = 5 m/s 條件下Dopplerwarping變換后的頻譜和原始信號頻譜的對比Fig.5.(a) Time-frequency distribution; (b) real and estimated instantaneous frequency; (c) comparison of signal spectrum after the Doppler-warping transform with v = 5 m/s and the spectrum of the original signal.SNR = —10 dB.

5 海試數(shù)據(jù)分析

2020年6月, 中國海洋大學在青島近海大公島以東海域展開了一次水聲調(diào)查實驗, 接收器為加拿大Ocean Sonics公司生產(chǎn)的icListen自容式水聽器, 固定于水面下3 m處, 采樣率為64 kHz.一艘150馬力的漁船作為目標船, 全速(4.5 m/s)從南向北行駛, 經(jīng)過浮標后繼續(xù)向北方行駛, 期間航向和速度保持不變, 航行過程中發(fā)動機和螺旋槳等輻射噪聲作為本次實驗的目標聲源.目標船和接收器都安裝有差分GPS, 實時記錄位置、運動航向和速度信息, 目標船運動軌跡如圖6(a)所示.實驗期間為黃海禁漁期且實驗海域不在商船航線上, 附近沒有其他船只.實驗海域水深約32 m, 水體聲速剖面如圖6(b)所示, 水體聲速變化 Δc不超過4 m/s.

圖6 (a)目標船運動軌跡; (b)水體聲速剖面Fig.6.(a) Track of the target ship; (b) sound speed profile.

通過查看GPS數(shù)據(jù), 找到以最近點到達時間為中心, 前后各取70 s, 共計140 s的聲數(shù)據(jù), 目標船與接收器的最近距離為174 m, 對這段信號進行短時傅里葉變換, 以中心頻率為124.5 Hz的線譜信號作為研究對象, 其時頻圖像如圖7(a)所示, 圖中黑色實線代表了瞬時頻率的理論值, 圖7(b)對比了理論值和估計值的差異.從圖7(b)可以看到,時頻圖上的曲線有許多斷點, 信號在35和110 s附近的幅度明顯高于最近點70 s附近的幅度, 說明線譜幅度隨時間的變化受到聲場干涉的影響.在40和120 s附近, 瞬時頻率曲線會出現(xiàn)較大的抖動, 偏離模型計算值, 說明聲源在運動過程中不穩(wěn)定.經(jīng)過以上分析, 剔除了瞬時頻率的異常值,再利用MMSE, 即(10)式估計速度(搜索速度的范圍為[0.1, 0.1, 10] m/s), 結果如圖7(c)所示, 紅色五角星為估計的速度值5.2 m/s, 綠色虛線為真實值4.5 m/s, 兩者相差0.7 m/s, 誤差達到15.56%.利用Doppler-warping變換的方法處理這段信號,估計速度的結果如圖7(d)所示, 紅色五角星為估計的速度值4.7 m/s, 與真實值相差0.2 m/s, 誤差僅為4.44%, 速度估計的效果要好于MMSE方法.

圖7 海試數(shù)據(jù)分析 (a)時頻圖; (b)瞬時頻率理論值和估計值; (c) MMSE計速度的結果; (d) Doppler-warping變換估計速度的結果Fig.7.Analysis of the sea trial data: (a) Time-frequency distribution; (b) theoretical and estimated instantaneous frequency; (c) result of velocity estimation by MMSE; (d) result of velocity estimation by the Doppler-warping transform.

總結兩種方法可以發(fā)現(xiàn): MMSE估計速度的方法首先利用時頻分析手段得到瞬時頻率的變化,然后再和模型計算的頻率值進行匹配, 如果當瞬時頻率由于環(huán)境的變化導致在時間上不連續(xù)時, 則會出現(xiàn)許多偏離模型的點, 導致匹配效果變差.而基于Doppler-warping變換的方法首先是通過時間重采樣將信號相位線性化, 之后利用變換后的信號在頻域的分布進行求解, 由(6)式和(7)式可知,變換后的頻譜函數(shù)在中心頻率處會存在峰值, 本文利用頻譜函數(shù)的熵來描述頻譜函數(shù)分布的集中程度, 是對頻譜函數(shù)分布的一種統(tǒng)計結果; 同時,該方法是對整段信號進行傅里葉變換處理, 不關注短時間內(nèi)的頻率變化, 一定程度上抵消了隨機噪聲產(chǎn)生的影響.因此, 在目標運動速度的估計中,Doppler-warping變換的效果要好于MMSE估計速度的方法.

6 結 論

本文將聲學多普勒問題和warping變換方法結合在一起, 推導了Doppler-warping變換算子hD(t).提出一種應用該變換進行目標運動參數(shù)的估計方法, 在目標運動的最近距離r0和最近點到達時間t0等參數(shù)已知時, 這種方法可以實現(xiàn)對目標速度v的估計.

在海試數(shù)據(jù)分析中, 以普通漁船的輻射噪聲為運動聲源, 由于信噪比較低, MMSE估計速度的方法估計誤差較大.本文提出的Doppler-warping變換方法仍能夠較為準確地估計速度, 抗噪聲能力高于MMSE估計速度的方法.

本文驗證了應用Doppler-warping變換進行運動目標速度估計的可行性, 實際上該變換方法還可以應用到其他運動參數(shù)的估計問題, 下一步工作計劃將本文的方法與水聲信道中的寬帶聲場干涉條紋處理方法相結合, 實現(xiàn)目標最近距離、最近點到達時間等運動參數(shù)估計.另外, 本文將Dopplerwarping變換應用在聲學線譜的測速問題, 該方法同樣適用于雷達領域, 可以利用電磁波線譜信號測速.

附錄A Doppler-warping算子的推導

在(4)式中, 多普勒信號的瞬時相位φ(t) 中僅有τ(t)包含隨時間t變化的部分, 因此, Doppler-warping算子可以寫為

顯然, 只要求出τ(t) 的反函數(shù)就可以得到warping算子.由(2)式可得

因此, Doppler-warping算子hD(t) 可以寫為

用算子hD(t) 代 替時間t, 則(4)式多普勒信號瞬時相位φ(t) 變?yōu)?/p>

等式右邊第一項可以化為

所以Doppler-warping變換之后的瞬時相位φ[hD(t)] 為