古箏琴板的振動(dòng)特性初探研究?

嵇建書 裴永超 羅 敏 盧曉杰 鄭梅生

（南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037）

木材是木質(zhì)樂器的重要組成部分，樂器質(zhì)量等級(jí)主要由木材的材質(zhì)決定，因此材料的選擇對(duì)于樂器的制作至關(guān)重要。由于缺乏理論指導(dǎo)和科學(xué)手段，從業(yè)者在古箏等木質(zhì)樂器的實(shí)際制作中，主要通過看、聽、敲、掂等主觀判斷方法進(jìn)行篩選，因此不僅樂器質(zhì)量得不到保障，同時(shí)也造成木材的不合理利用與浪費(fèi)。據(jù)行業(yè)相關(guān)統(tǒng)計(jì)，用于生產(chǎn)樂器共鳴板的原木出材率為10%～20%，出材率較低[1]。有研究表明，通過木材振動(dòng)試驗(yàn)，分析各類木材的振動(dòng)特性，將木材振動(dòng)與聲學(xué)聯(lián)系起來，有助于發(fā)現(xiàn)木材振動(dòng)特性與木質(zhì)樂器質(zhì)量之間的關(guān)系，從而幫助生產(chǎn)廠家篩選、分類材料，提高我國的樂器生產(chǎn)制造水平和木材的利用率[2-5]。為此，本文以古箏琴板為例，通過理論與試驗(yàn)分析相結(jié)合對(duì)木制樂器板材的振動(dòng)特性進(jìn)行研究，以期為古箏琴板及其他樂器木質(zhì)板材的篩選與生產(chǎn)提供了一種有效的科學(xué)手段。

1 古箏琴板振動(dòng)特性理論分析

木制樂器構(gòu)造各異，但發(fā)聲原理基本相同。以古箏為例，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。木制樂器的初始振動(dòng)由弦引起,琴弦振動(dòng)導(dǎo)致面板振動(dòng)，弦聲通過面板、背板等形成的共鳴箱放大并傳播出去,從而使人們享受到美妙的音樂[6]。

圖1 古箏結(jié)構(gòu)Fig. 1 Guzheng structure

我國民族樂器共振板的材料主要為泡桐與云杉屬木材等[7-9]。共振面板是彈撥類樂器中的一個(gè)重要構(gòu)件。琴板在振動(dòng)時(shí)，既有彎曲振動(dòng)，又有扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。本文首先對(duì)琴板振動(dòng)特性進(jìn)行理論分析，以求出振動(dòng)的固有頻率理論解，為后續(xù)琴板振動(dòng)試驗(yàn)提供理論依據(jù)。

1.1 彈性體的彎曲振動(dòng)

勻質(zhì)彈性體如矩形截面梁在xy平面內(nèi)作橫向彎曲振動(dòng)，如圖2所示。設(shè)其長度為l，橫截面面積為A，ρ為每單位體積的質(zhì)量，EI為彎曲剛度且為常量[10-11]。

圖2 板的受力分析Fig. 2 Force analysis of board

從中取一個(gè)長度為dx的微段，上面有剪力Q(x,t)、彎矩M(x,t) ，在任何時(shí)間t,其橫向位移可表示為y=(x,t)。忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形的影響，由圖3可知微段沿y方向力的平衡關(guān)系為：

圖3 板的微段受力分析Fig. 3 Force analysis of micro segment of board

解得其前5個(gè)值如表1所示。

表1 頻率方程解Tab.1 Solution of frequency equation

最后，得到彈性體的彎曲振動(dòng)固有頻率計(jì)算公式如下[7]：

琴板屬于彈性體，因?yàn)槭歉飨虍愋圆牧?，如以板的振?dòng)研究會(huì)使問題復(fù)雜化。因此嘗試用公式（8）計(jì)算琴板的彎曲振動(dòng)固有頻率，并進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。將琴板的基本參數(shù)代入式（8），得到其彎曲振動(dòng)固有頻率f(Hz)近似計(jì)算公式如下[12]：

本試驗(yàn)用古箏琴板材質(zhì)為泡桐，長l=1.7 m，寬b=0.355 m，厚h=0.01 m，質(zhì)量m=1.62 kg，泊松比μ=0.4，彈性模量E=5.8×109Pa[9]。將具體數(shù)值代入公式（9），解得該琴板前五階彎曲固有頻率如表2所示。

表2 琴板彎曲振動(dòng)固有頻率Tab.2 Natural frequency of bending vibration of the board

1.2 彈性體的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)

勻質(zhì)彈性體如等直桿繞x軸作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，如圖4所示。設(shè)桿的截面抗扭剛度、抗扭常數(shù)和剪切彈性模量分別為GJt(x)、Jt(x)和G[13]。

圖4 桿的受力分析Fig. 4 Force analysis of the rod

圖5 桿的微段受力分析Fig. 5 Force analysis of micro-segment of rod

假設(shè)桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，截面的翹曲可忽略。在平面內(nèi)，截面將保持繞x軸作微擺動(dòng)[14],取微段dx，x截面的角位移表示為θ(x,t)，微段對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ip(x)，圓截面的極慣性矩為Jp。根據(jù)力矩平衡關(guān)系得[15]：

然后由邊界條件解得β值及振型函數(shù)H(x) ,最后得到板的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率計(jì)算公式如下：

與琴板彎曲振動(dòng)同理，嘗試用公式（14）計(jì)算琴板的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率，并進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。將琴板的基本參數(shù)代入式（14），得到其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率f(Hz)近似計(jì)算公式如下：

本文試驗(yàn)用古箏琴板的剪切彈性模量G=2.07×109Pa，其他數(shù)值同上。將具體數(shù)值代入公式（15），解得該琴板的扭轉(zhuǎn)固有頻率如表3所示。

表3 琴板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率Tab.3 Natural frequency of torsional vibration of the board

1.3 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動(dòng)

自由振動(dòng)物體的定義為，振動(dòng)的振幅是恒定的，振動(dòng)將無限期地繼續(xù)下去。然而，實(shí)際的運(yùn)動(dòng)并非如此。自由振動(dòng)的物體不但受到恢復(fù)力的作用，還受到阻力的作用，振幅會(huì)隨著時(shí)間逐漸衰減，最終趨于零并停止振動(dòng)，如圖6所示[17]，其振動(dòng)函數(shù)如下：

圖6 阻尼振動(dòng)運(yùn)動(dòng)圖Fig. 6 Damping vibration motion diagram

通常把對(duì)振動(dòng)過程的阻力稱為阻尼，阻尼大小取決于物體的形狀、尺寸及介質(zhì)性質(zhì)。琴板振動(dòng)過程受阻尼的影響，呈現(xiàn)衰減振動(dòng)。該分析結(jié)果將為試驗(yàn)結(jié)果分析中的時(shí)域圖篩選提供一定的理論依據(jù)。

1.4 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剪切變形對(duì)板振動(dòng)的影響

當(dāng)板的橫截面尺寸與長度之比不是很小，或者在分析高階振型時(shí)，整個(gè)板被節(jié)點(diǎn)平面分成若干比較短的小段，這時(shí)需要考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形的影響[18]。該板的受力分析圖如下：

圖7 鐵木辛柯梁?jiǎn)卧w受力圖Fig. 7 Force diagram of Timoshenko beam element

取微單元dx，繪制剪切力和彎矩引起的變形。在剪力為零的條件下，單元體dx的中心線垂直于橫截面。ψ為截面彎矩引起的夾角，β為剪力引起的剪切角，梁的軸線由彎矩和剪力引起的實(shí)際夾角為θ。通過建立動(dòng)力方程、運(yùn)動(dòng)方程并求解，可得固有頻率pi(Hz)計(jì)算公式如下：

式（18）中p0(Hz)為不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形影響下的固有頻率：

k為截面常數(shù)，矩形截面k=1.2，圓形截面k=1.11；EI為彎曲剛度，N·m2[10-11]；G為剪切彈性模量，Pa；ρ為每單位體積的質(zhì)量，kg/m3；A為橫截面面積，m2。

由式（18）可知，考慮了剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量后，系統(tǒng)的固有頻率減小。由于系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度可以決定固有頻率，剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響不僅增加了系統(tǒng)的有效質(zhì)量，而且降低了系統(tǒng)的有效剛度，導(dǎo)致固有頻率下降。這種影響對(duì)高階頻率更為明顯。

綜上所述，琴板的實(shí)際固有頻率要比理論計(jì)算的數(shù)值小。該分析結(jié)果將為試驗(yàn)結(jié)果分析中的時(shí)域圖篩選提供一定的理論依據(jù)。

2 琴板振動(dòng)特性試驗(yàn)臺(tái)設(shè)計(jì)

2.1 設(shè)計(jì)目的與技術(shù)要求

設(shè)計(jì)并制作一種樂器木質(zhì)板材振動(dòng)特性測(cè)試裝置，用于測(cè)試古箏、吉他等樂器的木質(zhì)板材振動(dòng)頻率、彈性系數(shù)、阻尼系數(shù)等振動(dòng)特性參數(shù)，為木質(zhì)樂器生產(chǎn)廠家提供科學(xué)篩選板材的方法。

技術(shù)要求：1）板材懸吊后只限制其垂直向下自由移動(dòng)，懸掛位置為手動(dòng)操作，有限位裝置； 2）支撐件位置可調(diào)，可以測(cè)試各類不同規(guī)格樂器板材及其他物體的振動(dòng)特性；3）傳感器等測(cè)試元件位置、角度可調(diào)，裝夾方便；4）試驗(yàn)臺(tái)易拆裝。

2.2 試驗(yàn)臺(tái)整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

琴板測(cè)試臺(tái)由底板、立柱、掛棍、擋銷、橫梁、傳感器、傳感器夾、傳感器支撐架等構(gòu)成（圖8）。底板用于支撐其他構(gòu)件，其上開有橫、豎兩個(gè)方向的T型槽；兩根立柱及橫梁用于懸掛被測(cè)板材或其他物體，橫梁與立柱之間用G型夾固定；立柱可沿底板的T型槽作縱向移動(dòng)與固定，方便測(cè)量不同大小板材；兩個(gè)支撐架外側(cè)均設(shè)有掛棍與擋銷，擋銷設(shè)置在掛棍上方，同時(shí)掛棍上設(shè)有凹槽懸掛試驗(yàn)板材。傳感器支撐架可沿底板的T型槽作橫向移動(dòng)與固定，方便傳感器靠近被測(cè)物體以接收信號(hào)；磁性表座安于傳感器支撐架上，并可快速固定；傳感器裝于磁性表座上，位置、角度均可調(diào)，裝夾方便；整個(gè)試驗(yàn)臺(tái)易拆裝[19]。

圖8 試驗(yàn)臺(tái)整體結(jié)構(gòu)三維圖Fig. 8 3D drawing of the overall structure of the test bench

3 琴板振動(dòng)特性試驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 琴板自由振動(dòng)頻率測(cè)試試驗(yàn)

3.1.1 設(shè)備

自由振動(dòng)試驗(yàn)設(shè)備均購于北京東方振動(dòng)噪聲研究所，包括振動(dòng)分析軟件DASP-V11、云智慧采集分析儀INV3062、聲壓傳感器INV9206、力錘、電荷放大器、電腦、試驗(yàn)臺(tái)等[20-22]。試驗(yàn)系統(tǒng)如圖9所示。

圖9 自由振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.9 Free vibration test system

3.1.2 試驗(yàn)方法

利用試驗(yàn)臺(tái)將琴板懸吊，吊線選在節(jié)線位置；將聲壓傳感器的信號(hào)接收端固定于距離琴板中間3～5 cm處，接口端通過數(shù)據(jù)線與采集儀的2號(hào)端口連接；力錘通過電荷放大器與采集儀的1號(hào)端口連接；設(shè)置DASP軟件的初始環(huán)境；進(jìn)行錘擊測(cè)試，錘擊位置不固定，力錘對(duì)每個(gè)被測(cè)位置依次進(jìn)行3次敲擊，振動(dòng)信號(hào)通過聲壓傳感器傳至采集儀，由采集儀將數(shù)據(jù)傳輸至振動(dòng)分析系統(tǒng)進(jìn)行處理。所有試驗(yàn)室溫均為25 ℃，濕度為50%。

3.1.3 結(jié)果與分析[23-25]

經(jīng)過振動(dòng)分析系統(tǒng)處理后的時(shí)域圖如圖10所示，對(duì)應(yīng)的頻譜圖如圖11所示，數(shù)據(jù)列表如表4所示。

圖10 時(shí)域圖Fig. 10 Time domain diagram

圖11 頻譜圖Fig. 11 Spectrum diagram

表4 數(shù)據(jù)列表(幅值譜Peak)Tab.4 Data list (Amplitude spectrum Peak)

由圖10、11可見，時(shí)域信號(hào)呈現(xiàn)典型的有阻尼衰減振動(dòng)規(guī)律，頻譜圖的極值較為明顯，試驗(yàn)結(jié)果較好。幅值譜的頻率數(shù)據(jù)，部分為琴板的彎曲振動(dòng)固有頻率，部分為琴板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率，其他為環(huán)境噪聲產(chǎn)生的干擾頻率。

3.2 琴板振動(dòng)模態(tài)試驗(yàn)

模態(tài)試驗(yàn)是對(duì)古箏琴板振型進(jìn)行試驗(yàn)分析。力錘錘擊琴板時(shí)，3個(gè)加速度傳感器將振動(dòng)信號(hào)傳遞至采集儀，由其將信號(hào)傳遞至振動(dòng)分析系統(tǒng)，采用模態(tài)與動(dòng)力學(xué)分析模塊進(jìn)行模態(tài)分析。

3.2.1 彎曲振型

1）主要試驗(yàn)設(shè)備同3.1.1所列。

2）試驗(yàn)方法

首先用2塊海綿支撐試驗(yàn)用琴板，與力錘連接的電荷放大器和3個(gè)加速度傳感器依次分別接入采集儀的1至4號(hào)通道，3個(gè)加速度傳感器分別置于選定的被測(cè)點(diǎn)，并用雙面膠將其固定于琴板上；設(shè)置DASP軟件內(nèi)的信號(hào)采集模塊，對(duì)錘擊試驗(yàn)進(jìn)行預(yù)試驗(yàn)，用力錘在每個(gè)被測(cè)點(diǎn)依次進(jìn)行3次敲擊，通過軟件內(nèi)的顯示情況，判斷預(yù)試驗(yàn)是否良好，若正常再進(jìn)行正式試驗(yàn)。

3）結(jié)果與分析

試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)為時(shí)域信號(hào)。首先從時(shí)域圖中選取一組信號(hào)良好的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用振動(dòng)分析系統(tǒng)中的模態(tài)與動(dòng)力學(xué)分析模塊對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算，操作步驟依次為數(shù)據(jù)導(dǎo)入、參數(shù)設(shè)置、頻響函數(shù)計(jì)算、琴板結(jié)構(gòu)生成、輸入約束、脈沖響應(yīng)函數(shù)、特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法等，最后得到古箏琴板彎曲振動(dòng)的前五階固有頻率、阻尼比（表5）及部分振型（圖12、13）。

表5 彎曲振型固有頻率和阻尼比Tab.5 Bending mode natural frequency and damping

圖12 琴板彎曲二階模態(tài)振型圖Fig. 12 Second order modal diagram of the board bending

圖13 琴板彎曲三階模態(tài)振型圖Fig. 13 Third order modal diagram of the board bending

二階模態(tài)振型主要表現(xiàn)為琴板凹陷與凸起的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。三階模態(tài)振型主要表現(xiàn)為從左側(cè)起凸起、凹陷、凸起以及凹陷、凸起、凹陷的交替運(yùn)動(dòng)。通過對(duì)比觀察彎曲振型的固有頻率和自由振動(dòng)的頻率大小，可以在表4中找到與表5相近的頻率，再結(jié)合理論計(jì)算固有頻率值，整理獲得柱形圖14。

圖14 彎曲振型固有頻率與自由振動(dòng)頻率以及理論計(jì)算固有頻率對(duì)比Fig.14 Comparison of natural frequency of bending mode and free vibration frequency and theoretical calculation natural frequency

對(duì)比圖14中彎曲振型固有頻率和自由振動(dòng)頻率以及理論計(jì)算所得出的前五階頻率，發(fā)現(xiàn)各階頻率值均相近，平均誤差在5%以內(nèi)，表明本文的研究結(jié)果可信度較高。

3.2.2 扭轉(zhuǎn)振型

1）主要試驗(yàn)設(shè)備同3.1.1所列。

2）試驗(yàn)方法

首先進(jìn)行DASP軟件的設(shè)置，根據(jù)采樣頻率約為試驗(yàn)結(jié)果最高頻率的5倍的試驗(yàn)要求，選用采樣頻率為2 048 Hz；試驗(yàn)采用4個(gè)通道，第1個(gè)為力錘通道，其他3個(gè)為加速度通道，設(shè)置每個(gè)通道的標(biāo)定值；試驗(yàn)為錘擊試驗(yàn)，觸發(fā)次數(shù)為3次，采樣點(diǎn)數(shù)為采樣頻率數(shù)值的一半，即1 024個(gè)，觸發(fā)力設(shè)置為10 N；進(jìn)行示波與零點(diǎn)平衡校準(zhǔn)。然后將琴板兩端放在備好的2塊海綿上，避開一階扭轉(zhuǎn)的節(jié)線位置，將加速度傳感器依次放在選定的被測(cè)點(diǎn)，并用雙面膠將其固定；在琴板上依次選取7個(gè)激勵(lì)點(diǎn)，力錘對(duì)每個(gè)激勵(lì)點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)3次敲擊，并采集試驗(yàn)信號(hào)。

3）結(jié)果與分析

加速度傳感器將信號(hào)傳遞至分析儀進(jìn)行處理，在振動(dòng)分析系統(tǒng)中顯示為時(shí)域信號(hào)，然后對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行篩選，選用模態(tài)與動(dòng)力學(xué)分析模塊依次進(jìn)行分析，最后通過該模塊的脈沖響應(yīng)函數(shù)分析和特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法得到琴板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的前五階固有頻率、阻尼比（表6）及部分振型。

表6 扭轉(zhuǎn)振型固有頻率和阻尼比Tab.6 Torsional mode natural frequency and damping ratio

圖15 琴板扭轉(zhuǎn)二階模態(tài)振型圖Fig. 15 Second-order mode shape of torsional vibration of the board

圖16 琴板扭轉(zhuǎn)三階模態(tài)振型圖Fig. 16 Third-order mode shape of torsional vibration of the board

通過對(duì)比觀察扭轉(zhuǎn)振型的固有頻率和自由振動(dòng)的頻率大小，可以在表4中找到與表6相近的頻率，再結(jié)合理論計(jì)算固有頻率值，整理得到柱形圖17。

對(duì)比圖17中扭轉(zhuǎn)振型固有頻率和自由振動(dòng)頻率以及理論計(jì)算所得出的前五階頻率，發(fā)現(xiàn)各階頻率的值均相近，平均誤差在6%以內(nèi)，表明本研究具有較高的可信度。

圖17 扭轉(zhuǎn)振型固有頻率和自由振動(dòng)頻率以及理論計(jì)算固有頻率對(duì)比Fig.17 Comparison of natural frequency of torsional mode and free vibration frequency and theoretical calculation natural frequency

4 結(jié)論

本文以古箏為例研究了樂器木質(zhì)板材振動(dòng)特性，對(duì)古箏琴板彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行了理論分析和有阻尼的衰減振動(dòng)分析，得到琴板的彎曲和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的前五階固有頻率理論計(jì)算值；設(shè)計(jì)并加工制作試驗(yàn)臺(tái)；分別利用聲壓傳感器和加速度傳感器進(jìn)行了琴板的自由振動(dòng)頻率測(cè)試與彎曲和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)試驗(yàn)，獲得琴板自由振動(dòng)頻率試驗(yàn)值及其彎曲和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)前五階固有頻率試驗(yàn)值及振型；琴板振動(dòng)的理論計(jì)算結(jié)果和2種試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比表明：3個(gè)數(shù)值大小相近，平均誤差分別在5%及6%以內(nèi)，驗(yàn)證了本文試驗(yàn)方法的可行性和試驗(yàn)數(shù)據(jù)的可信度。

該研究成果對(duì)今后廠家篩選樂器木質(zhì)板材具有一定的指導(dǎo)意義。今后還需深入研究樂器聲學(xué)品質(zhì)與木材振動(dòng)性能的關(guān)系，并結(jié)合使用者對(duì)樂器成品的主觀評(píng)價(jià)，綜合分析，才能客觀、科學(xué)地選取理想的樂器木質(zhì)板材。