材料力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)與線性代數(shù)知識點的交叉教學(xué)研究

馬馳騁 周繼磊 許英姿 王延遐

摘 要 通過將材料力學(xué)理論與線性代數(shù)課程交叉教學(xué)，建立兩門課程間的知識聯(lián)系。以材料力學(xué)中的應(yīng)力分析章節(jié)為具體依托，探討了兩門課程中的知識點交叉，強化了學(xué)生對材料力學(xué)中主應(yīng)力的理解，又賦予線性代數(shù)中特征值和特征向量以物理意義，最終達(dá)到提升教學(xué)效果和激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新性思維的目的。

關(guān)鍵詞 材料力學(xué) 線性代數(shù) 交叉 主應(yīng)力 特征值

中圖分類號：G424? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.10.036

Abstract Through the cross teaching of mechanics of materials and linear algebra， the knowledge connection between the two courses is established. Based on the chapter of stress analysis in mechanics of materials， this paper discusses the intersection of knowledge points in the two courses， strengthens students' understanding of principal stress in mechanics of materials， and endows eigenvalues and eigenvectors in linear algebra with physical meaning， so as to improve teaching effect and stimulate students' innovative thinking.

Keywords material mechanics; linear algebra; cross; principal stress; characteristic value

0 引言

力學(xué)的相關(guān)課程是與數(shù)學(xué)聯(lián)系最為緊密的課程，力學(xué)同時也是連接工程的主要橋梁。相對于其他課程而言，材料力學(xué)的知識點龐雜，新概念新名詞多。例如彈性模量、泊松比、應(yīng)力、應(yīng)變、壓桿失穩(wěn)等名詞都是學(xué)生首次接觸。如何將各類力學(xué)概念直觀地表達(dá)出來，讓學(xué)生易于接受是目前材料力學(xué)教學(xué)中的一個挑戰(zhàn)?；玖W(xué)概念的不清晰對知識點的學(xué)習(xí)和力學(xué)公式的應(yīng)用都會帶來影響。例如材料力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)分析章節(jié)的學(xué)習(xí)，[1，2]對大多數(shù)同學(xué)來說是一個難點。這一章以純粹的力學(xué)模型——應(yīng)力單元體為研究對象，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)建立任意方向面上的應(yīng)力計算公式，并推廣出主應(yīng)力等概念。復(fù)雜煩瑣的公式推導(dǎo)造成學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高而且教學(xué)效果差。

線性代數(shù)課程也存在同樣的問題，大量的新名詞如行列式、矩陣、秩……讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中缺乏現(xiàn)實生活的對照，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)主動性低。雖然同學(xué)們對線性代數(shù)中特征值和特征向量等概念已經(jīng)有了清楚的認(rèn)識。[3]但是由于學(xué)習(xí)過程中，沒有明確的分析對象，學(xué)生對這些基本概念感到非常困惑，因此教學(xué)效率相對較低。

與線性代數(shù)課程相關(guān)知識點的交叉，是筆者所在的教學(xué)部的一個重要改革方向。本論文依托材料力學(xué)中主應(yīng)力和線性代數(shù)中特征值的對應(yīng)關(guān)系，介紹了這兩門課程中的交叉教學(xué)，在工程力學(xué)、材料力學(xué)的學(xué)習(xí)中，回顧線性代數(shù)的知識交叉，深化學(xué)生對力學(xué)知識和數(shù)學(xué)知識的理解。[4-5]首先介紹了材料力學(xué)的教學(xué)難點及與線性代數(shù)的交叉教學(xué)意義，然后建立了材料力學(xué)中任意截面上應(yīng)力計算與線性代數(shù)中坐標(biāo)變換的關(guān)系，分析了主應(yīng)力/主應(yīng)力方位與特征值/特征向量的對應(yīng)關(guān)系，最后通過兩個教學(xué)案例給出了詳細(xì)的說明。

1 交叉知識點

浙江大學(xué)劉鴻文教授的《材料力學(xué)》中應(yīng)力狀態(tài)分析安排在第7章，位于基本變形和組合變形章節(jié)中間，而哈爾濱工業(yè)大學(xué)的張少實教授的《新編材料力學(xué)》將應(yīng)力狀態(tài)分析放在了緒論之后?？梢姂?yīng)力狀態(tài)分析這一章的內(nèi)容既可以是求解工具（劉版），也能是提綱挈領(lǐng)的點睛之筆（張版）。倘若開展材料力學(xué)和線性代數(shù)的交叉教學(xué)，筆者建議采用張老師的新編材料力學(xué)教材。下面我們著重介紹在相關(guān)的教學(xué)實踐中建設(shè)的材料力學(xué)-線性代數(shù)交叉教學(xué)設(shè)計。

1.1 任意截面上應(yīng)力計算與坐標(biāo)變換

實驗發(fā)現(xiàn)，鑄鐵的壓縮破壞發(fā)生在與橫截面成45？55凹薪塹男苯孛嬪希吶ぷ蘋搗⑸謨牒嶠孛娉？5凹薪塹穆菪孛嬪稀T謚嵯蚶貢湫魏團(tuán)ぷ湫蔚難爸校嵯蚶貢湫沃瀉嶠孛嬪險αψ畬螅ぷ湫沃瀉嶠孛孀鍆獠嗟那杏αψ畬螅吞幾值鈉蘋悼梢緣玫嚼礪弁昝賴慕饈汀N裁粗難顧跗蘋島團(tuán)ぷ蘋刀際欠⑸諦苯孛嬪夏兀？

展開公式（4）可以直接得到公式（1-3）。需要注意的是，材料力學(xué)中切應(yīng)力有正負(fù)，但是寫成矩陣的形式應(yīng)該遵循彈性力學(xué)的原則，即矩陣是對稱的。

1.2 主應(yīng)力/主應(yīng)力方位與特征值/特征向量

通過公式（2）可以計算應(yīng)力的極值和對應(yīng)的 角度，具體推導(dǎo)可以參考劉鴻文老師的材料力學(xué)。在學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往通過機械記憶的方法將這幾組公式記在腦海中，然后在考試中生搬硬套，極少有學(xué)生能夠自己按照靜力學(xué)平衡的思路推導(dǎo)建立這幾組公式。我們在這里直接給出最大應(yīng)力和最小應(yīng)力的表達(dá)式：

對比公式（5）和公式（9），可以發(fā)現(xiàn)兩者結(jié)果是完全一致的，而特征向量和截面的方位角恰好也是對應(yīng)的，說明材料力學(xué)和線性代數(shù)的這幾個知識點完全可以交叉。并且在上課的過程中，教師可以利用MATLAB中“ [V，D] =eig（A）”演示，[7]其中V和D分別表示特征向量和特征值。既能夠促進(jìn)學(xué)生對相關(guān)知識點的理解和掌握，還可以強化計算機輔助教學(xué)，讓學(xué)生“學(xué)有所用，用有所依”，而不是僅僅被灌輸干澀的知識。

2 材料力學(xué)與線性代數(shù)的交叉教學(xué)案例

利用線性代數(shù)知識分析這個問題，將應(yīng)力寫成矩陣形式：

根據(jù)線性代數(shù)的知識，可以得到上述矩陣的特征向量和特征值為 1=320.71MPa和 2=179.29MPa，即應(yīng)力張量矩陣的特征恰好是主應(yīng)力。特征向量可以計算得到：e1=[-0.9239，0.3827]和e2=[-0.3827， -0.9239]。最大正應(yīng)力沿著與垂直的方向，最小正應(yīng)力沿著與e2的方向，因為兩個特征值都大于零，因此都沿著截面法線向外。

綜上所述，材料力學(xué)中的主單元體就是通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，把應(yīng)力單元體旋轉(zhuǎn)到一個特定的角度，恰好上面只有對角線的應(yīng)力，即正應(yīng)力，這個正應(yīng)力對應(yīng)著矩陣的特征值，而特定的角度對應(yīng)著矩陣的特征向量。

3 結(jié)論

交叉課程內(nèi)容，擴(kuò)展課程背景，是目前教學(xué)改革和課程建設(shè)的一個重要方向。本文針對材料力學(xué)和線性代數(shù)的兩門課程的知識點交叉教學(xué)展開了探討，建立了材料力學(xué)和線性代數(shù)知識點之間的聯(lián)系，凝練了相應(yīng)的教學(xué)案例，具有重要的理論實踐意義。在材料力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)的學(xué)習(xí)階段，針對主應(yīng)力，主應(yīng)力的方位聯(lián)系線性代數(shù)中的特征值和特征向量，并利用線性代數(shù)中的坐標(biāo)變換解釋了材料力學(xué)中任意方向上的應(yīng)力計算。通過兩門課程知識的交叉，對同學(xué)們理解這些數(shù)學(xué)定義和力學(xué)物理概念有重要的意義。經(jīng)過多年的教學(xué)實踐，發(fā)現(xiàn)兩門課程的知識交叉講解，可以有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，著重鍛煉了學(xué)生利用材料力學(xué)和線性代數(shù)解決工程問題的能力。也期望本文介紹的知識交叉能夠拋磚引玉，促進(jìn)“材料力學(xué)”課程教學(xué)的部分內(nèi)容的教學(xué)變革探索和實踐。

基金項目：國家自然科學(xué)基金青年基金，柔性多體時變參數(shù)系統(tǒng)振動主被動控制技術(shù)（11702162），教育部高教司2018年第一批產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項目，彎曲梁正應(yīng)力電測實驗可視化技術(shù)研究（201801098024），材料力學(xué)實驗教學(xué)有限元輔助資源建設(shè)（201801098005）

參考文獻(xiàn)

[1] 劉鴻文.材料力學(xué).I.[M].高等教育出版社，2017.

[2] 張少實，王春香.新編材料力學(xué)[M].機械工業(yè)出版社，2013.

[3] 劉三陽，馬建榮，楊國平.線性代數(shù)（第二版）[M].高等教育出版社，2005.

[4] 郭空明，徐亞蘭，朱應(yīng)敏.線性代數(shù)線性方程組教學(xué)中的一個實用力學(xué)案例[J].教育教學(xué)論，2020（09）：266-267.

[5] 郭空明，章云，徐亞蘭.對高校工程力學(xué)課程的多方位思考[J].教育教學(xué)論壇，2016（37）：195-196.

[6] 劉建林.工程力學(xué)中的張量分析[M].科學(xué)出版社，2018.

[7] 周建興.MATLAB從入門到精通[M].人民郵電出版社，2008.