時(shí)間分?jǐn)?shù)階Fisher型非線性種群擴(kuò)散模型的近似解

賈紅剛，聶玉峰，趙艷敏

(1.許昌學(xué)院數(shù)理學(xué)院，河南許昌461000;2.西北工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西西安710072)

1.引言

分?jǐn)?shù)階微積分是一個(gè)古老而新鮮的概念.事實(shí)上，在整數(shù)階微積分創(chuàng)立初期，就有一些數(shù)學(xué)家，如:Leibniz等開始考慮它的含義.在過去幾十年里，隨著科技發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微積分開始應(yīng)用到物理、種群擴(kuò)散、控制、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域。

種群擴(kuò)散是生物的數(shù)量以及分布變化的反映.它主要研究種群密度或數(shù)量的動(dòng)態(tài)改變.國(guó)內(nèi)外已經(jīng)有很多有關(guān)種群擴(kuò)散模型的研究報(bào)道，但是這些研究往往采用整數(shù)階微積分模型，近年來，鑒于分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)U散模型所有的非局部性和時(shí)間遺傳記憶性，使得它得到了普遍關(guān)注注，因?yàn)樗苋婵陀^地反應(yīng)種群擴(kuò)散演變規(guī)律.因此，分析時(shí)間分?jǐn)?shù)階種群擴(kuò)散模型對(duì)于研究生物種群理論有著非常重要的價(jià)值.

1991年歐陽頎[1]提出了二維Turing斑圖及分岔，從實(shí)驗(yàn)角度闡釋了種群擴(kuò)散現(xiàn)象.2004年，Wazwaz等[2]研究了一些Fisher方程的Adomian分解近似解，并分析了此近似解的變化對(duì)種群擴(kuò)散的影響.2020年，Manimaran等[3]采用Faedo-Galerkin方法得到了一種時(shí)間分?jǐn)?shù)階種群相互作用模型的解.

同時(shí)，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)于種群擴(kuò)散分?jǐn)?shù)階模型問題也有報(bào)道，2003年，廖世俊[4]采用同倫分析法(homotopy analysis method)，通過利用合適的映射，得到了模型問題的解.2004年，馬知恩等[5]采用動(dòng)力學(xué)模型局部地分析了病毒與免疫系統(tǒng)的演變趨勢(shì).2008年，劉發(fā)旺等[6－7]利用Adomian分解法研究了時(shí)空分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散模型方程.2009年，馬軍海、劉艷芹[8]利用分?jǐn)?shù)階理論、同倫擾動(dòng)等方法法研究了一種非線性擴(kuò)散方程徑向?qū)ΨQ方向的精確解.2011年，馬軍海、劉艷芹[8]利用分?jǐn)?shù)階微積分算子得到了分?jǐn)?shù)階非線性單種群和分?jǐn)?shù)階非線性兩種群擴(kuò)散模型，并運(yùn)用此擴(kuò)散模型結(jié)合同倫擾動(dòng)法和變分迭代法得到了一類相應(yīng)種群擴(kuò)散問題的近似解.2019年，吳春等[9]采用分離變量法分析了非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階生物種群模型.

但是，國(guó)內(nèi)外研究人員通過構(gòu)造分?jǐn)?shù)階模型分析種群擴(kuò)散問題的報(bào)道不多，比如，并且以上這些研究往往對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階種群擴(kuò)散模型的為線性源函數(shù)，而對(duì)于分?jǐn)?shù)階種群擴(kuò)散模型的源項(xiàng)為非線性的研究鮮有報(bào)道，所以，研究帶非線性源項(xiàng)的時(shí)間分?jǐn)?shù)階種群擴(kuò)散的研究很有意義.

2.分?jǐn)?shù)階非線性種群擴(kuò)散模型相關(guān)理論簡(jiǎn)介

分?jǐn)?shù)階微積分已經(jīng)得到了越來越多的關(guān)注和應(yīng)用.如今，它已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到粘彈性力學(xué)、熱傳導(dǎo)、電子信息、控制科學(xué)及生物種群擴(kuò)散模型等學(xué)科中，分?jǐn)?shù)階微積分的定義很多，為方便研究，這里，我們僅僅闡釋以下幾種常見的分?jǐn)?shù)階微積分定義.

定義2.1[10]函數(shù)f(t)的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義:

其中，α(Re(α)＞0)是任意數(shù)，Γ(·)為Gamma函數(shù).

定義2.2[10]可導(dǎo)函數(shù)f(t)的α階Caputo階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義:

從Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義可知，它能很方便地應(yīng)用在初值問題中.

定義2.3[11]可導(dǎo)函數(shù)f(t)的α階Abdeljawad分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義:

易知，當(dāng)f(t)為可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，

定義2.4[11]Abdeljawad分?jǐn)?shù)階積分定義:

并且有

這里，為方便研究，僅僅討論單種群擴(kuò)散模型的解法，擴(kuò)散模型[12]是用來分析多種群相互作用關(guān)系、競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系以及種群與環(huán)境之間存在的相互關(guān)系的模型，種群擴(kuò)散微積分模型有兩種：線性和非線性模型，根據(jù)模型的分析方法，我們還可以分為兩類：連續(xù)性和離散性擴(kuò)散模型，應(yīng)用廣泛的連續(xù)性模型有：Logistic單種群模型、單種群反應(yīng)擴(kuò)散模型以及兩種群間擴(kuò)散模型[18]，本文僅僅研究了單種群反應(yīng)擴(kuò)散模型.

3.種群擴(kuò)散模型的求解

鑒于種群生態(tài)種群擴(kuò)散的復(fù)雜性，并考慮到分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性，這里，我們首先給出推廣的時(shí)間分?jǐn)?shù)階Fick擴(kuò)散定律[13]:

其中，J表示擴(kuò)散通量.

引入質(zhì)量守恒方程:

將方程(3.1)帶入方程(3.2)，可得含源項(xiàng)的推廣的時(shí)間分?jǐn)?shù)階種群擴(kuò)散非線性Fisher型模型方程:

其中，u=u(x，t)為種群密度函數(shù)，源項(xiàng)為種群增長(zhǎng)項(xiàng)，且滿足F(0)=F(0)=0，F(xiàn)′(0)＞0＞F′(1)，方程(3.1)、(3.2)、(3.3)中所用的導(dǎo)數(shù)定義為Abdeljawad導(dǎo)數(shù)(帶常數(shù)初值的變分迭代法求解u1時(shí)除外).

本文首先分別利用分?jǐn)?shù)階變分迭代法和同倫擾動(dòng)法求解了一類時(shí)間分?jǐn)?shù)階Fisher型非線性擴(kuò)散模型的近似精確解，并對(duì)近似解進(jìn)行了討論，進(jìn)而得出：當(dāng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)α→1時(shí)，本文方法求出的近似解與相應(yīng)整數(shù)階方程的結(jié)果是一致的，因此，可以驗(yàn)證本文所用方法的合理性和準(zhǔn)確性.

我們分別利用分?jǐn)?shù)階變分迭代法[14]和同倫擾動(dòng)法[15]來求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階Fisher型非線性擴(kuò)散模型方程.分?jǐn)?shù)解變分迭代法求解過程如下：

首先，由方程(3.3)，給出如下變分迭代關(guān)系[13]:

其中，λ(ξ)為拉格朗日乘子，這里取m=2，1＜α≤2進(jìn)而利用變分迭代法[16]可確定λ(ξ)=-1.因此得到方程(3.3)的變分迭代格式:

進(jìn)而，我們從(3.5)的初始近似值起，開始迭代，并利用軟件Mathematica計(jì)算，求出模型方程近似解.

問題1解下面的滿足常初值條件的時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性Fisher型擴(kuò)散方程：

然后，我們首先利用分?jǐn)?shù)階變分迭代法求解方程(3.6)-(3.7)，變分迭代格式為:

根據(jù)上式，從u0開始迭代，u1的求解使用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義，u2，u3，···，un的求解使用Abdeljawad分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義，可得如下一系列近似解:

接下來，我們用同倫擾動(dòng)法求解此問題，求解過程如下:

建立下面的同倫格式[8]:

其中，u0為模型方程近似初始值，假設(shè)方程有級(jí)數(shù)解形式為；

將(3.14)帶入(3.13)，并比較等式兩邊p的同次冪得到:

用Abdeljawad分?jǐn)?shù)階積分定義分別對(duì)上述方程兩邊求積分，得

從而，根據(jù)同倫擾動(dòng)法，可得方程(3.6)-(3.7)的近似解如下：

若對(duì)上述解取α→1時(shí)的極限，可得

上面的解與整數(shù)階Fisher種群擴(kuò)散模型的精確解[17]結(jié)果是一致的，這說明本文所用方法是合理準(zhǔn)確的.

問題2求如下時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性Fisher型擴(kuò)散方程

滿足如下初值條件

由上面兩式，得相應(yīng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階變分迭代格式為

由初值起，u1的求解使用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義，而u2，u3，···，un的求解使用Abdeljawad分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義，可得下列近似解

接下來，我們用同倫擾動(dòng)法求解此問題:

將(3.14)帶入(3.13)，并比較等式兩邊p的同次冪得到

用Abdeljawad分?jǐn)?shù)階積分定義分別對(duì)上述方程兩邊求積分，得

從而，根據(jù)同倫擾動(dòng)法，可得方程(2.20)-(2.21)的級(jí)數(shù)形式解為：

表3.1給出了方程(3.6)當(dāng)參數(shù)時(shí)采用分?jǐn)?shù)階變分迭代法以及同倫擾動(dòng)法解出的近似解與文獻(xiàn)解的對(duì)比(取)，這里，我們?nèi)∽兎值ń平獾牡谌?xiàng)，而同倫擾動(dòng)法，我們?nèi)×私平獾那八捻?xiàng)，從比較的結(jié)果來看兩種方法都具有較高的精度，對(duì)比結(jié)果表明本文所用模型是正確的.

表3.1 方程(3.6)當(dāng)參數(shù)α=1時(shí)近似解與文[17]中解的比較

表3.2給出了方程(3.6)當(dāng)參數(shù)α=1，0.6，0.4，t=0.1，0.2，0.4，x=1時(shí)采用分?jǐn)?shù)階變分迭代法和同倫擾動(dòng)法解出的近似解的對(duì)比，這里，我們?nèi)∽兎值ń平獾牡谌?xiàng)，而同倫擾動(dòng)法，我們?nèi)〗平獾那八捻?xiàng)，從比較的結(jié)果來看兩種方法都具有較高的精度，對(duì)比結(jié)果表明本文所用模型和方法是合理和準(zhǔn)確的.

表3.2 方程(3.20)當(dāng)參數(shù)x=1時(shí)兩種近似解的比較

4.結(jié)論

本文利用新的分?jǐn)?shù)解微積分定義結(jié)合變分迭代法以及同倫擾動(dòng)法求解了一類時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性Fisher型擴(kuò)散方程的近似解，并對(duì)得出的模型近似解進(jìn)行了討論，最后，與相應(yīng)的整數(shù)階微分方程的解進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了所用方法求解此類時(shí)間非線性分?jǐn)?shù)階種群擴(kuò)散方程的準(zhǔn)確性.