擬齊次核的半離散Hilbert型不等式的最佳搭配參數(shù)

洪勇，陳強(qiáng)，吳春陽(yáng)

(1.廣州華商學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東廣州511399;2.廣東第二師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣東廣州510303;3.廣東白云學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，廣東廣州510450)

1.引言與預(yù)備知識(shí)

設(shè)r＞0，α∈R，分別定義序列空間與函數(shù)空間(0，+∞)為:

若分別定義級(jí)數(shù)算子T1與積分算子T2為：

則T1可實(shí)現(xiàn)序列空間到函數(shù)空間的映射，T2可實(shí)現(xiàn)函數(shù)空間到序列空間的映射.根據(jù)Hilbert型不等式的基本理論，式(1)等價(jià)于

因此半離散Hilbert型不等式的研究對(duì)于討論T1與T2的有界性和算子范數(shù)具有重要意義.

設(shè)G(u，v)是λ階齊次函數(shù)，λ1λ2＞0，則稱K(n，x)=G(nλ1，xλ1)為擬齊次函數(shù).顯然擬齊次函數(shù)K(n，x)具有性質(zhì):對(duì)?t＞0，有

若選擇搭配參數(shù)a，b，根據(jù)Hlder不等式并利用權(quán)函數(shù)方法，可得下面形式的半離散Hilbert型不等式

一般地，任意選取的搭配參數(shù)a，b并不能使式(3)的常數(shù)因子M(a，b)最佳.只有選擇特定的a，b，才能使M(a，b)是最佳值.目前，在國(guó)內(nèi)外期刊中，許多的文獻(xiàn)通過(guò)選取最佳的搭配參數(shù)，已獲得了若干具有最佳常數(shù)因子的Hilbert型不等式.[1－10]本文對(duì)擬齊次核的半離散Hilbert型不等式，研究最佳搭配參數(shù)的充分必要條件，并討論其在算子理論中的應(yīng)用.

引理1設(shè)G(u，v)是λ階齊次非負(fù)函數(shù)，設(shè)=1(p＞1)，a，b∈R，λ1λ2＞0，K(n，x)=+λ，K(t，1)t－aq在(0，+∞)上遞減，記

則λ1W2(a，q)=λ2W1(b，p)，且

證由擬其次函數(shù)的性質(zhì)，并根據(jù)有

故λ1W2(a，q)=λ2W1(b，p).

根據(jù)K(t，1)t－aq在(0，+∞)上遞減，有

類似可證

2.最佳搭配參數(shù)的充要條件

定理1設(shè)G(u，v)是λ階齊次非負(fù)可測(cè)函數(shù)，設(shè)=1(p＞1)，a，b∈R，λ1λ2＞0，K(n，x)=G(nλ1，xλ2)，=c，K(t，1)t－aq及K(t，1)t－aq+λ1c/p在(0，+∞)上遞減，且

(ii)當(dāng)且僅當(dāng)c=0即+λ時(shí)，式(4)中的常數(shù)因子是最佳的.當(dāng)c=0時(shí)，式(4)化為

證(i)以a，b為搭配參數(shù)，根據(jù)混合型Hlder不等式和引理1，有

故式(4)成立.

(ii)充分性:設(shè)c=0.由引理1，有λ1W2(a，q)=λ2W1(b，p)，從而同時(shí)由c=0還可得α=apq-1，β=bpq-1，故式(4)可化為式(5).

若式(5)的最佳常數(shù)因子為M0，則且

取充分小的ε＞0及足夠大的自然數(shù)N，令

則可得

于是

令ε→0+，得

然后令N→+∞，得

并經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可得

于是式(4)可等價(jià)地寫(xiě)為

根據(jù)假設(shè)，式(6)的最佳常數(shù)因子是

于是得到

注記

則式(4)中的常數(shù)因子最佳的充要條件是Δ=0.今后稱此Δ為判別式(4)常數(shù)因子最佳的判別式.

若K(n，x)=G1(nλ1/xλ2)，因G1(u/v)是0階齊次函數(shù)，于是由定理1可得下列推論1.

推論1設(shè)a，b∈R，λ1λ2＞0，K(n，x)=G1(nλ1/xλ2)非負(fù)可測(cè)，

(ii)當(dāng)且僅當(dāng)c=0即時(shí)，式(9)中的常數(shù)因子是最佳的.當(dāng)c=0時(shí)，式(9)化為

3.應(yīng)用

根據(jù)半離散Hilbert型不等式(1)與式(2)定義的算子T1與T2的關(guān)系，由定理1可得下列定理2.

定理2設(shè)G(u，v)是λ階齊次非負(fù)可測(cè)函數(shù)，=1(p＞1)，a，b∈R，λ1λ2＞0，K(n，x)=G(nλ1，xλ2)，K(t，1)t－aq在(0，+∞)上遞減，α=apq-1，β=bpq-1，算子T1與T2如式(2)所定義，且

汽輪機(jī)排出的乏汽以直接空冷系統(tǒng)為主要冷卻方式，在此基礎(chǔ)上配置改進(jìn)型海勒式間接空冷系統(tǒng)，從主排汽管道抽取部分乏汽送入DICSSAC，如圖1所示。DICSSAC作為輔助降低背壓的一種優(yōu)化措施，可提高機(jī)組真空度，使機(jī)組安全、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行。蓄冷是指夜間低溫時(shí)段，干式空冷換熱器分出一半冷卻單元用來(lái)冷卻凝結(jié)蓄冷水箱里的循環(huán)冷卻水。在第二天高溫時(shí)段，蓄冷水箱里的低溫循環(huán)冷卻水與流出干式冷卻塔的較高溫度循環(huán)水按一定比例混合，噴入噴射式凝汽器，進(jìn)一步降低背壓[7]。

推論2設(shè)=1(p＞1)，λ1＞0，λ2＞0，a≥0，b≥0，a/b，α=且

級(jí)數(shù)算子T1與積分算子T2分別為:

則T1:及都是有界算子，且T1與T2的算子范數(shù)為

證記

則G(u，v)是-a階齊次非負(fù)函數(shù).

在(0+∞)上遞減.

在推論2中取b=0，可得推論3.

推論3設(shè)定義級(jí)數(shù)算子T1與積分算子T2分別為:

在推論2中取a=0，可得推論4.

推論4設(shè)=1(p＞1)，λ1＞0，λ2＞0，b＞0，max＜σ＜0，α=定義級(jí)數(shù)算子T1與積分算子T2分別為: