基于插值的二維位置敏感探測(cè)器非線(xiàn)性校正算法研究

李 穗，李 毅

(安徽文達(dá)信息工程學(xué)院 電子與電氣工程學(xué)院，安徽 合肥 231201)

光電位置敏感器件(Position Sensitive Device，PSD)是一種利用橫向光電效應(yīng)進(jìn)行位置檢測(cè)的器件，可以直接將投射在PSD表面的光轉(zhuǎn)化成與光斑位置變化對(duì)應(yīng)的電流信號(hào)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)入射光光斑位置的檢測(cè)。PSD電路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、響應(yīng)速度快，且分辨率高、光譜范圍寬，利用PSD器件可測(cè)出目標(biāo)位置和動(dòng)態(tài)位移，特別適用于實(shí)時(shí)性要求高、需要快速結(jié)果反饋的測(cè)量場(chǎng)合[1]。

PSD目前發(fā)展較快，測(cè)量精度已經(jīng)達(dá)到0.1%～0.2%。其中基于二維改進(jìn)表面的分離型PSD精度更高，例如S2044的位置分辨率已經(jīng)達(dá)到2.5μm。但是PSD器件存在非線(xiàn)性畸變會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)測(cè)量精度降低，如何有效消除非線(xiàn)性帶來(lái)的影響是測(cè)量領(lǐng)域重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題。

1 二維PSD的工作原理

PSD是一種基于橫向光電效應(yīng)的光電位置傳感器，分為一維、二維兩類(lèi)。二維 PSD的其結(jié)構(gòu)原理如圖1所示，光敏面常為正方形，有兩對(duì)電極，圖中陰影部分為有效工作區(qū)域。

圖1 二維PSD的結(jié)構(gòu)原理圖

以最常用的枕形PSD為例，PSD一般由P層、I層(高阻層)和N 層構(gòu)成，兩對(duì)輸出電流電極從PSD光表面四個(gè)對(duì)角引出，如圖2所示。當(dāng)PSD光敏面有激光照射時(shí)，在光點(diǎn)位置會(huì)產(chǎn)生光電荷，電荷量與光能量成正比。如果在N層引出的公共端加反偏電壓，光電荷則會(huì)通過(guò)P層電阻擴(kuò)散到4個(gè)電極[2]。

圖2 二維PSD的斷面結(jié)構(gòu)

4個(gè)電極輸出電流大小與入射光點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)，其大小與光點(diǎn)到各電極的距離成反比，如圖3所示。

圖3 二維PSD的工作原理

以電極1和4的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，光斑中心點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)可根據(jù)式(1)求得：

(1)

如果光敏面為坐標(biāo)原點(diǎn)，光斑中心點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)可根據(jù)式(2)求得：

(2)

式中：l為相鄰電極間的距離；I1、I2、I3、I4為每個(gè)電極的輸出光電流。

PSD會(huì)產(chǎn)生非線(xiàn)性誤差，PSD的邊緣效應(yīng)、N區(qū)材料不均勻等因素都會(huì)導(dǎo)致PSD非線(xiàn)性特性。因此通常把PSD的光敏面劃分為中央?yún)^(qū)域和邊緣區(qū)域，中央?yún)^(qū)域也稱(chēng)為A區(qū)，邊緣區(qū)域也稱(chēng)為B區(qū)，A區(qū)的線(xiàn)性度要優(yōu)于B區(qū)，如圖4所示。

圖4 二維PSD的A區(qū)、B區(qū)

為了擴(kuò)大PSD使用范圍和測(cè)量準(zhǔn)確性，簡(jiǎn)化PSD測(cè)量數(shù)據(jù)解算，需要對(duì)PSD標(biāo)定和解算進(jìn)行線(xiàn)性化處理。

2 插值算法分析

文獻(xiàn)[3]對(duì)雙一次線(xiàn)性插值和雙二次線(xiàn)性插值方法進(jìn)行了介紹，論證了雙二次線(xiàn)性插值算法優(yōu)于雙一次線(xiàn)性插值算法。對(duì)于雙二次線(xiàn)性插值，給定任意一個(gè)測(cè)量點(diǎn)p(x,y)，其補(bǔ)償值可用包含該點(diǎn)的一個(gè)田字補(bǔ)償網(wǎng)格上的9個(gè)頂點(diǎn)補(bǔ)償值Ex(x,y)、Ey(x,y)的線(xiàn)性組合來(lái)表示，如式(3)所示。

(3)

稱(chēng)

(4)

為系數(shù)函數(shù)。

若實(shí)測(cè)網(wǎng)格均勻，可以用x=[x1,x2,x3]，y=[y1,y2,y3]兩個(gè)一維矩陣表示補(bǔ)償網(wǎng)格的9個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)。系數(shù)函數(shù)φ(p,q,k,l)由這6個(gè)坐標(biāo)值x1、x2、x3、y1、y2、y3確定。以上方法當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)，系數(shù)函數(shù)要全部重新進(jìn)行。

牛頓插值算法是根據(jù)函數(shù)f(x)在某區(qū)間中若干點(diǎn)的函數(shù)值，構(gòu)造出特定多項(xiàng)式函數(shù)，從而獲得函數(shù)f(x)的近似值[4]?；诓钌痰呐ｎD插值多項(xiàng)式，在本質(zhì)上與雙一次線(xiàn)性插值、雙二次線(xiàn)性插值算法相同，只是表現(xiàn)形式不同[5]。但其計(jì)算簡(jiǎn)便，當(dāng)節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，只要增加一項(xiàng)即可，極大地降低了運(yùn)算量[6]。

對(duì)于具有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,2,…,n)的牛頓插值多項(xiàng)式如式(5)所示。

f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)

+…+f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)

(5)

Nn(x)是f(x)的n次插值多項(xiàng)式，稱(chēng)為牛頓插值多項(xiàng)式，又可寫(xiě)為

(6)

一階差商如式(7)所示：

(7)

二階差商如式(8)所示：

(8)

N階差商如式(9)所示：

(9)

3 實(shí)驗(yàn)與仿真

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，如圖3所示，如果面電阻分布均勻，有效光敏面為l×l的二維PSD，當(dāng)理想光點(diǎn)照在PSD上XO′Y坐標(biāo)系中的(X,Y)，即xoy坐標(biāo)系中的(x,y)處時(shí)(X與x，Y與y之間的關(guān)系是X=x+l/2及Y=y+l/2)，若負(fù)載為零，穩(wěn)態(tài)情況下，從四個(gè)電極輸出的電流分別如式(10)所示。

(10)

式中，X、Y分別為PSD感光面的橫、縱坐標(biāo)，不失一般性，令0≤X≤1，0≤Y≤1。

利用MATLAB可得PSD的模型如圖5所示，在PSD中心區(qū)光生電流與光斑中心位置線(xiàn)性度較好，而在中心區(qū)以外，特別是越靠近邊緣，線(xiàn)性度越差，這就為利用PSD光敏特性求光斑位置帶來(lái)了誤差，計(jì)算復(fù)雜，限制了PSD有效應(yīng)用范圍。

圖5 二維PSD的畸變圖

為此，將PSD光敏面上的位置誤差函數(shù)E(x,y)離散化，得到網(wǎng)格點(diǎn)陣上的誤差函數(shù)值，利用前述改進(jìn)的雙三次插值算法對(duì)于非網(wǎng)格點(diǎn)上的誤差進(jìn)行函數(shù)逼近，這樣便可得到待校正點(diǎn)的逼近值，如圖6所示。

圖6 二維PSD的校正圖

4 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)雙三次插值算法的原理分析，提出了適用于PSD非線(xiàn)性畸變校正的改進(jìn)雙三次插值算法，仿真表明該算法能有效地減少二維PSD非線(xiàn)性的影響，且精度較高，收斂速度快，提高了測(cè)量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。在不改變現(xiàn)有設(shè)備復(fù)雜度和成本的基礎(chǔ)上，使得PSD光敏面B區(qū)部分的位置坐標(biāo)也呈線(xiàn)性輸出，擴(kuò)大了PSD的有效使用范圍，提高了PSD的利用價(jià)值。