基于無截?cái)郆artlett核估計(jì)的函數(shù)重構(gòu)方法及其應(yīng)用

李氣芳 ，蘇梽芳，馬 翠

（1.閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建漳州363000；2.華僑大學(xué)經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院，福建泉州362021；3.漳州第一職業(yè)中專學(xué)校，福建漳州363000）

大數(shù)據(jù)時(shí)代，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和存儲(chǔ)技術(shù)的提高，越來越容易收集到函數(shù)型數(shù)據(jù)(Functional Data)[1].函數(shù)型數(shù)據(jù)分析(Functional Data Analysis，F(xiàn)DA)已經(jīng)成為統(tǒng)計(jì)分析的一個(gè)研究熱點(diǎn)，廣泛地應(yīng)用到氣象[2]、生物[3-4]、金融[5-8]等領(lǐng)域.

函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的第一步，也是非常重要的一步，是如何利用平滑技術(shù)準(zhǔn)確的把收集到的函數(shù)型數(shù)據(jù)重構(gòu)成函數(shù)曲線，函數(shù)曲線重構(gòu)的好壞直接影響到模型估計(jì)、預(yù)測(cè)等相關(guān)統(tǒng)計(jì)分析.函數(shù)重構(gòu)的方法一般分為兩種：一是利用給定的外生基函數(shù)（如樣條基、傅里葉基等），把函數(shù)曲線重構(gòu)成某種外生基函數(shù)的線性組合[9-10]；二是利用內(nèi)生的譜分解方法，對(duì)協(xié)方差函數(shù)進(jìn)行分解，得到正交特征函數(shù)（函數(shù)主成分），再利用K-L 展開式來重構(gòu)函數(shù)曲線[11-12].外生基函數(shù)的重構(gòu)方法與數(shù)據(jù)本身無關(guān)，而內(nèi)生的函數(shù)主成分方法是數(shù)據(jù)本身驅(qū)動(dòng)的，所以該方法越來越受專家學(xué)者青睞.

然而，實(shí)際的數(shù)據(jù)分析中，經(jīng)常會(huì)收集到一些函數(shù)型數(shù)據(jù)，由于系統(tǒng)慣性或時(shí)間上的延續(xù)性等原因，它們之間具有一定的相依性，比如經(jīng)濟(jì)金融等領(lǐng)域的高頻數(shù)據(jù).此時(shí)，樣本協(xié)方差函數(shù)不再是總體協(xié)方差函數(shù)的一致估計(jì)量.如果還利用獨(dú)立同分布下的協(xié)方差函數(shù)計(jì)算得到的函數(shù)主成分來重構(gòu)函數(shù)曲線是不夠準(zhǔn)確的，也會(huì)導(dǎo)致后續(xù)的統(tǒng)計(jì)分析出現(xiàn)偏差.針對(duì)這種函數(shù)型數(shù)據(jù)，Hormann 等[13]、Kokoszka 等[14]提出可以利用長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)代替協(xié)方差函數(shù)來修正.但是長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)面臨著核函數(shù)和最優(yōu)窗寬的選擇問題.如果核函數(shù)和最優(yōu)窗寬選擇不合適，同樣會(huì)造成一定的估計(jì)誤差.

于是，本文把Kiefer[15]研究多元回歸模型中長(zhǎng)期協(xié)方差估計(jì)的方法推廣到函數(shù)型數(shù)據(jù)情形，提出基于無截?cái)唳rtlett 核的函數(shù)重構(gòu)方法，該估計(jì)方法是基于無截?cái)唳rtlett 核的，不需要選擇核函數(shù)和窗寬.從理論上講，它比傳統(tǒng)的長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)估計(jì)方法要簡(jiǎn)便、合理，避免了選擇核函數(shù)和窗寬的人為主觀因素.最后，通過Monte Carlo模擬和實(shí)例進(jìn)行了對(duì)比分析.

1 函數(shù)重構(gòu)

1.1 基于協(xié)方差函數(shù)的函數(shù)重構(gòu)

設(shè)Xi(t)(i= 1,2,…,n)為滿足如下條件的函數(shù)型數(shù)據(jù)，即當(dāng)h≠0時(shí)，有

它的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)分別為

協(xié)方差函數(shù)滿足特征方程

從特征方程中解出正交的特征函數(shù)（函數(shù)主成分）?k(t)和特征值λk，代入K-L展開式可以得到重構(gòu)函數(shù)為

其中(ξik,k≥1 )是獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，E(ξik)= 0，var(ξik)=λk.函數(shù)主成分得分為

實(shí)際問題分析中，當(dāng)收集到觀測(cè)數(shù)據(jù)后，可以計(jì)算樣本協(xié)方差函數(shù)

其中K是由方差比例（累積貢獻(xiàn)率）決定的，一般選取δ≥0.90.

1.2 基于長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)的函數(shù)重構(gòu)

當(dāng)收集到的是金融等領(lǐng)域中的函數(shù)型數(shù)據(jù)時(shí)，因?yàn)榻鹑谙到y(tǒng)慣性，數(shù)據(jù)之間具有相依特征，即當(dāng)h≠0時(shí)，有

此時(shí)的樣本協(xié)方差函數(shù)不再是總體協(xié)方差函數(shù)的一致估計(jì)量.Hormann 等[13]、Kokoszka 等[14]等提到可以利用長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)代替協(xié)方差函數(shù)來修正.

長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)定義如下：

其中Γ0= c(s,t)，Γh(s,t)為自協(xié)方差函數(shù)

當(dāng)收集到觀測(cè)數(shù)據(jù)后，利用核函數(shù)法對(duì)長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)進(jìn)行估計(jì)：

雖然長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)可以很好的刻畫相依的函數(shù)型數(shù)據(jù)，但是對(duì)于長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)面臨核函數(shù)和最優(yōu)窗寬的選擇.常用的核函數(shù)是Newey-West估計(jì)

利用Newey-West估計(jì)得到樣本長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)后，就可以計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的主成分函數(shù)(t)和特征值，那么函數(shù)可以重構(gòu)為

1.3 基于Βartlett核估計(jì)的函數(shù)重

Kiefer 等[15]研究了k元回歸模型中長(zhǎng)期協(xié)方差估計(jì)的問題，構(gòu)造一個(gè)基于無截?cái)唳rtlett 核的長(zhǎng)期協(xié)方差估計(jì)統(tǒng)計(jì)量，不需要選擇核函數(shù)和窗寬.長(zhǎng)期協(xié)方差的具體表達(dá)式為

式（1）是直接對(duì)自變量向量進(jìn)行估計(jì)得到長(zhǎng)期協(xié)方差矩陣，我們把向量推廣到無窮維的函數(shù).如果只討論時(shí)點(diǎn)變量s和t之間的長(zhǎng)期協(xié)方差，有

那么，樣本長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)式可推廣為

利用式（2）對(duì)長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)進(jìn)行估計(jì)后，就可以計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)主成分?(t)和特征值，進(jìn)而求得函數(shù)主成分得分，最后把函數(shù)重構(gòu)為

2 數(shù)值模擬與分析

利用Monte Carlo 模擬的方法對(duì)三種方法的函數(shù)重構(gòu)效果進(jìn)行比較分析.選取積分平方誤差平方根（XRISE）來評(píng)價(jià)函數(shù)重構(gòu)效果，具體公式如下：

2.1 數(shù)據(jù)生成

為保證生成的函數(shù)型數(shù)據(jù)是相依的，借鑒Kokoszka等[14]的做法，數(shù)據(jù)由一階函數(shù)自回歸模型FAR（1）產(chǎn)生.其中誤差項(xiàng)εn(t)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，t在區(qū)間[0,1]上等間隔取101 個(gè)點(diǎn).樣本容量n取30、50、100、200、300，每個(gè)樣本容量下模擬200次.

為了保證方法的穩(wěn)健性，回歸系數(shù)函數(shù)選擇兩種形式：

1）借鑒Kokoszka等[14]的做法，令β1(s,t)= 0.5st；

2）借鑒Horváth等[16]的做法，令β2(s,t)=

具有的數(shù)值模擬步驟如下：

步驟1：利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布生成（n+30）*101個(gè)隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)，由FAR（1）模型生成（n+30）*101個(gè)自變量數(shù)據(jù).

步驟2：為保證數(shù)據(jù)的客觀性，去掉前30條曲線數(shù)據(jù)，訓(xùn)練集選取n*101個(gè)樣本數(shù)據(jù).

步驟3：不考慮樣本的相依性，利用獨(dú)立同分布條件下的協(xié)方差函數(shù)得到函數(shù)主成分，然后利用函數(shù)主成分進(jìn)行函數(shù)重構(gòu)得到(t).

步驟4：考慮樣本的相依性，利用Newey-West估計(jì)式來估計(jì)長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)，然后利用函數(shù)主成分進(jìn)行函數(shù)重構(gòu)得到(t).

步驟5：考慮樣本的相依性，利用本文基于無截?cái)唳rtlett核的方法估計(jì)長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)，然后利用函數(shù)主成分進(jìn)行函數(shù)重構(gòu)得到(t).

步驟6：計(jì)算積分平方誤差平方根（XRISE），并重復(fù)步驟1-5共200次，計(jì)算平均的XRISE.

步驟7：替換回歸系數(shù)函數(shù)β2(s,t)，重復(fù)上述步驟.

2.2 結(jié)果分析

模擬結(jié)果見表1 和表2.FPC 表示獨(dú)立同分布條件下基于協(xié)方差函數(shù)的重構(gòu)方法，NW 表示基于Newey-West 估計(jì)式的長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)重構(gòu)方法，WTΒ 表示基于無截?cái)唳rtlett 核的長(zhǎng)期協(xié)方差函數(shù)重構(gòu)方法.

表1 β1(s,t)下積分平方誤差平方根（XRISE）的均值Tab.1 Mean of XRISE under β1(s,t)

表2 β2(s,t)下積分平方誤差平方根（XRISE）的均值Tab.2 Mean of XRISE under β2(s,t)

從表1可以看出：1）每個(gè)樣本容量下，三種函數(shù)重構(gòu)方法的誤差很接近；2）每個(gè)樣本容量下，考慮樣本相依性的估計(jì)方法NW 和WTΒ 比沒有考慮樣本相依性的方法FPC 的函數(shù)重構(gòu)誤差要小；3）隨著樣本容量的增加，三種函數(shù)重構(gòu)方法的誤差都有上升的趨勢(shì).

同樣，從表2 也可以看出：1）每個(gè)樣本容量下，三種函數(shù)重構(gòu)方法的誤差很接近；2）每個(gè)樣本容量下，考慮樣本相依性的估計(jì)方法NW 和WTΒ 比沒有考慮樣本相依性的方法FPC 的函數(shù)重構(gòu)誤差要??；3）隨著樣本容量的增加，三種函數(shù)重構(gòu)方法的誤差都有上升的趨勢(shì).

綜合表1 和表2，每個(gè)樣本容量下，本文提出的基于無截?cái)唳rtlett 核的長(zhǎng)期協(xié)方差重構(gòu)方法WTΒ 比現(xiàn)有的其他兩種函數(shù)重構(gòu)方法的誤差要小，具有一定的穩(wěn)健性.

3 實(shí)例分析

本文選取2018年滬深300 的5 分鐘數(shù)據(jù)，一共有242 個(gè)交易日，每個(gè)交易日有48 個(gè)數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)來源銳思金融數(shù)據(jù)庫（RESSET）.每天共48個(gè)數(shù)據(jù)可以看成是由隨機(jī)函數(shù)曲線生成的函數(shù)型變量Xi(t)的一個(gè)樣本，基于R語言，對(duì)數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)，分別選取200、220、242天數(shù)據(jù)利用前文介紹的不同方法進(jìn)行函數(shù)重構(gòu)，函數(shù)重構(gòu)誤差見表3.

表3 數(shù)據(jù)重構(gòu)誤差均值Tab.3 Mean of data reconstruction error

從表3可以看出，隨著樣本容量的增加，三種函數(shù)重構(gòu)方法的重構(gòu)誤差都在增加.在每個(gè)樣本容量下，本文提出的基于無截?cái)唳rtlett核的長(zhǎng)期協(xié)方差重構(gòu)方法WTΒ比現(xiàn)有的其他兩種函數(shù)重構(gòu)方法的誤差要小，其他兩種方法的函數(shù)重構(gòu)誤差幾乎一樣.

函數(shù)重構(gòu)誤差小，說明方法利用觀測(cè)到的離散數(shù)據(jù)重構(gòu)的函數(shù)更加準(zhǔn)確，基于更加準(zhǔn)確的重構(gòu)函數(shù)進(jìn)行的函數(shù)回歸分析、函數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)等也會(huì)更加可靠.

4 結(jié)論

本文把基于無截?cái)唳rtlett 核的長(zhǎng)期協(xié)方差估計(jì)方法推廣到函數(shù)型數(shù)據(jù)情形，提出了基于無截?cái)唳rtlett核的函數(shù)重構(gòu)方法，并通過兩種Monte Carlo模擬和2018年滬深300高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比分析.數(shù)值模擬和實(shí)例分析均表明：1）三種函數(shù)重構(gòu)方法的誤差很接近；2）提出的基于無截?cái)唳rtlett核的長(zhǎng)期協(xié)方差重構(gòu)方法WTΒ比現(xiàn)有的其他兩種函數(shù)重構(gòu)方法的誤差要小；3）隨著樣本容量的增加，三種函數(shù)重構(gòu)方法的誤差都有上升的趨勢(shì)；4）方法具有一定的穩(wěn)健性和有效性.