小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中問題解決的表征研究
——基于荷蘭的啟示與借鑒

衣 瀟 魏 佳

（渤海大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院，遼寧 錦州 121000）

一、引言

數(shù)學(xué)與問題解決密不可分，或者說問題解決是數(shù)學(xué)的核心?！皢栴}解決”不僅是一種教學(xué)形式，且貫穿于整個教育教學(xué)之中。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題解決是十分重要的。數(shù)學(xué)的問題解決是在指定的問題情境中開始的，首先，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要根據(jù)問題的性質(zhì)、學(xué)生所學(xué)知識之間的聯(lián)系和學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的把握情況，進(jìn)一步創(chuàng)造問題情境，引起學(xué)生之間對數(shù)學(xué)知識了解程度的辯論，能讓學(xué)生的思維活動活躍起來，教師可以適當(dāng)提出幫助，然后學(xué)生通過教師對這個問題給予的提示，學(xué)生主動的進(jìn)行分析、探索和提出解決方案、檢驗解決方案等活動，從而讓學(xué)生掌握這一數(shù)學(xué)知識的目的。數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》一書中指出：問題解決過程必須經(jīng)歷四個過程，即：理解問題，擬訂方案，執(zhí)行方案，回顧。［1］

萊斯特（2013）認(rèn)為，為了提高他們問題解決的能力，學(xué)生必須“在很長的一段時間內(nèi)定期進(jìn)行有問題的任務(wù)”，并且必須有“給予機(jī)會的機(jī)會，解決各種類型的問題任務(wù)”。［2］通過問題解決，學(xué)生可以提高數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，教科書是小學(xué)數(shù)學(xué)教師教授小學(xué)數(shù)學(xué)知識的主要參考書，也進(jìn)而決定了小學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識的內(nèi)容。所以，教科書中的內(nèi)容對于學(xué)生獲得的學(xué)習(xí)機(jī)會（包括問題解決的學(xué)習(xí)）十分重要。

教科書在我們?nèi)粘５男W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中起著決定性的作用，對于荷蘭來說，也是如此。本次研究選擇了三本荷蘭小學(xué)數(shù)學(xué)教科書，這三本小學(xué)數(shù)學(xué)教科書分別是《Pluspunt（Plus Point）》（Van Beusekom et al.2009-2013）；《Alles Telt（Everything Counts）》（Van den Bosch-Ploegh et al.2009-2013）；《Rekenwonders（Wonder Calculators）》（Projectgroep Rekenwonders Bazalt Groep 2011-2015）。為了確定小學(xué)數(shù)學(xué)教科書年級之間不同材料的可能差異，本次選于四年級和六年級上半學(xué)期內(nèi)容中包含非常規(guī)問題和灰色區(qū)域問題進(jìn)行了研究。

二、問題解決的概念界定

數(shù)學(xué)的問題解決可分為三類：一類是“常規(guī)問題”，波利亞在他的著作中《怎樣解題》（1945年）中定義了常規(guī)問題，是指一道題目如果可以通過將特殊數(shù)據(jù)代入一道以前解過的一般題目中來求解，或者按照某一道成就而明顯的例子依樣畫葫蘆，而無須一絲一毫的獨(dú)創(chuàng)，那么這道題目就是一道常規(guī)題目。［1］第二類是“非常規(guī)問題”，是指在數(shù)學(xué)課程中沒有準(zhǔn)確規(guī)定解決這類型問題的一般規(guī)則和原理，這種類型的問題不能直接用所學(xué)的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行解決，必須經(jīng)過探索、在腦海中有一定的思維活動，再加以運(yùn)用所學(xué)的各種數(shù)學(xué)公式、法則進(jìn)行計算。第三類就是基于常規(guī)問題和非常規(guī)問題之間的一種問題，稱之為“灰色區(qū)域”。這種題目既不是常規(guī)問題又不是非常規(guī)問題，但是通過這種問題能夠鍛煉學(xué)生的思維能力，是提高學(xué)生探究能力的一種數(shù)學(xué)問題。并且通過多次解決這種問題，可以提高學(xué)生非常規(guī)問題解決的能力。本次研究只對小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的“非常規(guī)問題”和“灰色區(qū)域”這兩個層次進(jìn)行研究，見表1。

表1 非常規(guī)問題和灰色區(qū)域問題的分類指標(biāo)

下面列舉了在認(rèn)知需求有明顯差異的三個問題，即：灰色區(qū)域問題、非常規(guī)問題和通過示例來進(jìn)行簡單計算的問題。

第一道題選自荷蘭小學(xué)數(shù)學(xué)教科書Pluspunt，圖1是針對六年級學(xué)生的問題，涉及一個魔術(shù)框架。這道題先給出了一些數(shù)字，學(xué)生可以根據(jù)所給出的數(shù)字，直接導(dǎo)出在左上空單元格中填充的數(shù)字。同樣，可以直接從中間列中已經(jīng)給出的兩個數(shù)字中得出在中間單元格中填寫的數(shù)字。這樣，求解過程就可以繼續(xù)進(jìn)行，每次可以從同一行、列或?qū)蔷€中兩個給定或更早填充的數(shù)字中填充一個空單元格。由于所給的提示，這道問題所需要的創(chuàng)造性思維和認(rèn)知要求也受到了限制。但是，它的解決方案路徑不能完全確定，因為解決這道問題需要找到合適的起點(diǎn)，從哪一行或者哪一列出發(fā)，并且確定整個解決方案過程中可以采取的下一步是什么。因此，這道問題歸類為灰色區(qū)域。但是對于這道“灰色區(qū)域”的問題，荷蘭的教科書未提供有關(guān)怎樣解決該任務(wù)的任何指導(dǎo)。

圖1

第二道題是選于荷蘭小學(xué)數(shù)學(xué)教科書Alles Telt四年級的內(nèi)容，圖2這道題是一個三角形的魔術(shù)框架，框架中的空格必須用數(shù)字1-9填充，以使三角形的每一側(cè)加起來為17。這道題很可能沒有已知的解決方案應(yīng)用，并且教科書也沒有提供有關(guān)如何解決該問題的說明。因此，這道題需要進(jìn)行分析，將合計為17的數(shù)字相結(jié)合，同時要考慮到三角形到拐角處的三個數(shù)字結(jié)合使用兩次，它們的數(shù)字加起來等于17。這道題對于學(xué)生來說，提出了更高的認(rèn)知要求，需要學(xué)生擁有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維，所以，這道題歸類為非常規(guī)問題。對于這道非常規(guī)問題，荷蘭教科書未提供有關(guān)如何解決該問題的提示。

圖2

第三道題是選自于荷蘭小學(xué)數(shù)學(xué)教科書Rekenwonders的六年級的問題，圖三這道題涉及條形模型，對于數(shù)學(xué)的問題解決，建立數(shù)學(xué)模型，可以使數(shù)學(xué)明朗化。并且條形模型也被明確表示為解決非常規(guī)問題的工具。這道題是通過給出的部分示例來完成的，示例中給出了解決特定問題的步驟，通過模型可以更好地了解問題，學(xué)生只需填寫數(shù)字即可。因此條形模型作為問題解決的工具，讓問題計算變得更簡單。

圖3 選自Rekenwonders這本書6年級的問題

經(jīng)過分析的三個小學(xué)數(shù)學(xué)教科書系列都在一定程度上具有包容性的特點(diǎn)，其材料按照適合不同學(xué)生群體的問題進(jìn)行組織。在Pluspunt和Alles Telt中，這包含三個級別的差異化問題：幾乎所有學(xué)生都會的問題；對能力較強(qiáng)的學(xué)生的認(rèn)知要求更高的問題；以及對能力較弱的學(xué)生尤其是簡單的問題。Rekenwonders這本教科書提供了兩個級別的問題：面向所有學(xué)生的問題和針對能力更強(qiáng)的學(xué)生的要求更高的問題。因此，在這本教科書中，能力較弱的學(xué)生將獲得所有人的問題，而在其他荷蘭教科書系列中，這些學(xué)生將獲得較輕松的問題。這意味著與其他荷蘭教科書相比，Rekenwonders實際上為能力較弱的學(xué)生提供了更具挑戰(zhàn)性的問題。在Pluspunt和Alles Telt中，大多數(shù)非常規(guī)問題和灰色區(qū)域問題都包含在給能力較強(qiáng)的學(xué)生的材料中。在所有教科書系列中，Rekenwonders提供了兩個年級中解決問題最多的任務(wù)。Pluspunt 提供了最少的四年級問題解決任務(wù)。由于Rekenwonders這本教科書中，也向能力較弱的學(xué)生提供了真正的問題解決的任務(wù)。這與另外兩本荷蘭教科書的結(jié)構(gòu)不同，在后者中，能力較弱的學(xué)生獲得了較容易解決的問題。

在教師指南中也發(fā)現(xiàn)：在《Rekenwonders的教師指南》中，提供了問題解決的啟發(fā)式方法，例如猜測和檢查。并且明確提到了學(xué)習(xí)時應(yīng)該使用啟發(fā)式教學(xué)。此外，教師指南還提出了一些問題建議，要求學(xué)生讓他們知道問題解決的過程。這些措施包括要求學(xué)生總結(jié)問題的數(shù)據(jù)，狀況和未知數(shù)，并激發(fā)他們考慮問題的表示形式。其他教科書幾乎沒有提供任何與Rekenwonders所提供的問題解決相似的學(xué)習(xí)促進(jìn)的方法。這三個教科書系列的教師指南確實為學(xué)生可能提出的問題提供了建議，但并未為學(xué)生問題解決的學(xué)習(xí)提供建議。僅在少數(shù)情況下，Alles Telt會在學(xué)生用書中建議您畫一張桌子。在Pluspunt中，有時在教師指南中強(qiáng)調(diào)的是，學(xué)生應(yīng)該閱讀問題并系統(tǒng)地工作。

三、啟示與借鑒

教科書分析除了可以直接提供學(xué)生學(xué)習(xí)什么數(shù)學(xué)知識外，還可以揭示教科書中隱含或隱藏的選擇，尤其是與源于數(shù)學(xué)教育下不同傳統(tǒng)的教科書之間的比較，可能會為小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法提供新的啟示。通過對荷蘭小學(xué)數(shù)學(xué)教科書系列的內(nèi)容進(jìn)行分析，和對教科書的組織結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)了教科書中提供的學(xué)習(xí)機(jī)會還應(yīng)考慮向誰提供了什么內(nèi)容。根據(jù)研究得到了以下幾點(diǎn)啟示：

（一）運(yùn)用模型對問題進(jìn)行解決

模型是用數(shù)學(xué)的語言闡述現(xiàn)實世界中的事。［3］在“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”中也說過：數(shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的橋梁。［4］在Rekenwonders這本教材中以條形模型作為問題解決的工具，使問題只需要簡單的計算即可。通過建立模型，在分析中，可以將實際問題進(jìn)行符號化并從而確定其中的關(guān)系，進(jìn)而寫出由這些符號和關(guān)系所確定的數(shù)學(xué)聯(lián)系，然后根據(jù)數(shù)學(xué)模型的特征，可以采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想、方法和數(shù)學(xué)知識，對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，從而解決問題。［5］

（二）教科書中適當(dāng)增加非常規(guī)問題和灰色區(qū)域問題的數(shù)量

Pluspunt和Alles Telt這兩本教科書的大部分的問題都是常規(guī)問題，僅有少數(shù)的灰色區(qū)域和非常規(guī)問題。非常規(guī)問題很難通過正常的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解決，當(dāng)我們的教科書中沒有包含非常規(guī)問題的類型，學(xué)生們的非常規(guī)問題解決的能力也幾乎沒有?；疑珔^(qū)域問題雖然不具備非常規(guī)問題的性質(zhì)，但是學(xué)生們可以通過解決灰色區(qū)域問題，為解決非常規(guī)問題打下基礎(chǔ)。因此在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中可以適當(dāng)?shù)匕岩恍┏Ｒ?guī)問題轉(zhuǎn)化為灰色區(qū)域問題，讓學(xué)生的問題解決能力有了更高層次的鍛煉，并且提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（三）教科書可以適當(dāng)提出問題解決的建議

Rekenwonders這本教科書對于問題解決提供了問題建議，學(xué)生在對問題進(jìn)行解決時，對問題提出的意見進(jìn)行了解，考慮問題解決的表現(xiàn)形式是否正確。讓學(xué)生進(jìn)一步提高綜合運(yùn)用所學(xué)知識提出和問題解決的能力。

正如Halmos所言：“每個有意義的生活的主要部分是問題的解決”。［6］用弗洛伊登塔爾的話說：“如果人們從不將數(shù)學(xué)作為解決問題的活動來體驗，那么數(shù)學(xué)如何成為人們的心智學(xué)科呢？”。［7］如果將來的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書（可能適用于任何數(shù)學(xué)教科書）為所有學(xué)生提供更多學(xué)習(xí)問題解決的機(jī)會，則獲得此類經(jīng)驗的機(jī)會將大大增加。