感性為基，融合推理

林迪 林志輝

【摘 要】《三角形的三邊關系》是圖形與幾何領域的經(jīng)典課例，現(xiàn)行人教版教材是眾多版本 中為數(shù)不多引入公理的教材，本課嘗試以活潑的情境引導學生初步了解公理，進而滲透三角形 三邊關系的推導，并將公理推導融合于后續(xù)操作、探索、驗證等教學活動之中，以公理為基礎， 通過推理得出結論，使學生對三角形三邊關系的認知更加深刻。

【關鍵詞】三角形 三邊關系 幾何推理

【緣起】

人教版四年級下冊的《三角形的三邊關系》作為圖 形與幾何領域的經(jīng)典課例，本課該如何突破？如何從三 邊關系的角度進一步認識三角形的內涵？

筆者研讀教材發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)行人教版教材增加了 “兩點 間所有連線中線段最短，這條線段的長度叫作兩點間的 距離”這段表述。它是眾多版本中為數(shù)不多引入公理的 教材，這與八年級教材中利用“兩點間線段最短”得到性 質“三角形任何兩邊的和大于第三邊”是一脈相承的。 教材的編寫意圖是為學生在小學階段埋下幾何推理的種 子，滲透幾何證明思想。

通過前測，筆者發(fā)現(xiàn)大部分學生對于三角形三邊關 系有一定的認知。但是判斷“4厘米，5厘米，9厘米能否 圍成三角形？ ”出錯較多，學生較難想象圖形。筆者嘗試 基于公理“兩點間所有連線中線段最短，這條線段的長 度叫作兩點間的距離”引導學生進行初步的幾何推理， 結合實際操作、想象、直觀演示等將理性推理與直觀感知 相融合，以問題驅動的方式認識三角形的三邊關系，進一 步豐厚三角形的認識。筆者確定了如下教學目標：

（1）??? 知道三角形的三邊關系，能正確判斷怎樣的三 條線段能圍成三角形。

（2）??? 經(jīng)歷三角形三邊關系的探索、發(fā)現(xiàn)過程，積累活 動經(jīng)驗，進一步發(fā)展空間觀念和推理能力O

（3 ）感受數(shù)學知識之間、數(shù)學與生活間的聯(lián)系，收獲 成功的體驗，激發(fā)數(shù)學學習的興趣。

【實錄】

_、情境激趣，引入公理

師：小狗要盡快吃到骨頭，它會怎么走？為什么？

生：連接AB，走線段AB，因為這條線路最短。

師：連接AB兩點的連線可以有很多條，但線段AB 是所有連線中最短的，線段AB的長度就是AB兩點間 的距離。

設計意圖：數(shù)學公理對處于具體運算階段的四年級 學生而言是非常抽象的，創(chuàng)設“小狗啃骨頭”的生動情境 能幫助學生迅速地將數(shù)學公理與問題情境聯(lián)系起來，將 數(shù)學公理生活化，同化納入自己的知識體系中。

二、變化情境，運用公理

師：在三角形ABC中，小狗想盡快吃到骨頭該怎么 走？為什么？

生：走線段AB，因為兩點間距離最短，AC+BOAB。 教師利用課件變化小狗和骨頭的位置，繼續(xù)提問： 在三角形里，小狗要盡快吃到骨頭該怎么走？為什么？

設計意圖：教材引入“兩點間距離最短”的公理，而 三角形兩邊之和大于第三邊作為該公理在三角形內的推 廣，將兩者在此環(huán)節(jié)用生活情境進行融通，使學生能有效 理解公理，同時為三角形的三邊關系推理奠定了基礎。 從長遠來說，也是為后續(xù)嚴謹?shù)膸缀瓮评淼於ɑA。

三、前測猜想，操作驗證

（-）判斷4厘米、5厘米、10厘米的小棒是否能 圍成三角形

1.????? 直觀判斷

判斷下面每組中的三條線段能否圍成三角形

（1） 4厘米、9厘米、10厘米????????? （2） 4厘米、5厘米、10厘米

'亦??? ：??????? 30

8

I??????? 直

肯圍成???? 恥圍

（3） 4厘米、5厘米、9厘米?? （4） 5厘米、9厘米、10厘米

能圍成 不能圍成? 能圍成???? 不能圍成

師：4厘米，5厘米，10厘米三條線段能不能圍成三 角形？

生：圍不成，因為4+5 <10o

設計意圖：學生不是一張白紙，學生是帶著對三角 形的三邊關系的直觀理解進入課堂的，因此直接從學生 的判斷情況入手，從“能不能”轉化到“為什么”，引導學 生從直觀的判斷轉化到有理有據(jù)的判斷，貼合學生的學 情進行教學。

2.????? 操作判斷

師：到底“4厘米，5厘米，10厘米”能不能圍成三角 形，用小棒驗證說明。

生1：圍不成，因為用10厘米做底，4厘米，5厘米的 兩條線段無法碰到一起。

生2： 4厘米和5厘米的小棒最靠近的時候中間還 缺了一段，沒法碰到一起。

設計意圖：對部分已經(jīng)知曉三角形三邊關系的學生， 這時的操作就不是探究結論的操作，而是驗證性操作。 學生通過操作驗證自己的結論，將抽象的結論與具體的 直觀的操作相結合，豐厚對結論的認知。而之前無法進 行判斷的學生，通過動手操作，在頭腦中建立起了兩邊之 和小于第三邊無法圍成三角形的直觀表象。

3.演示判斷

師：想象，以10厘米為底，4厘米和5厘米兩條線段 分別繞兩個端點運動，越來越靠近，會不會有交點？

4厘米????? ＼??????? /??????? 5厘米

：10厘米

生：兩條線段距離最近時還有1厘米的距離。

4.公理判斷

師：現(xiàn)在你能說明為什么此時不能圍成三角形嗎？

生：如果能圍成三角形，那么兩邊的和小于第三邊， 那就不是兩點間線段最短了，所以圍不成。

設計意圖：學生嘗試用公理解釋原因，讓學生在具 體問題的解決情境中嘗試用公理進行幾何的邏輯證明。

（-）判斷4厘米、5厘米、9厘米的小棒是否能圍 成三角形

1.????? 直觀判斷

生：這三條線段不能圍成三角形，因為4+5=9。

2.????? 演示驗證

師：想象，以9厘米為底，4厘米和5厘米的線段分 別繞兩個端點進行運動，兩條線段是否會有交點？交點 在哪？

4厘米????? V?????? 弓厘米

A 9厘米

生：交點在9厘米的線段上，兩條線段和底重合了。

設計意圖：當兩邊之和等于第三邊的時候，就不再 進行動手操作，而是直接通過幾何畫板進行演示驗證。 因為實物粗細的限制，往往會給學生造成不必要的干擾， 通過想象和幾何畫板的動態(tài)演示，使學生更直觀地理解 兩邊之和等于第三邊時會重合或者平行，剛好不能圍成 三角形。

（三）回顧課前學習單重新判斷兩組線段是否能圍 成三角形

師：現(xiàn)在你覺得“5厘米，9厘米，10厘米”和“4厘米， 9厘米，10厘米”是否能圍成三角形？

（四）利用公理，解釋三角形的三邊關系

師：三角形的三邊有什么關系？

生1 ：三角形中兩邊之和要大于第三邊。兩邊之和 等于或小于第三邊的時候就不能圍成三角形。

生2 ：“兩點之間所有連線中線段最短”就是“兩邊 之和大于第三邊”。

四、鞏固提升，拓展練習

（一）? 基礎鞏固，快速判斷

師：快速判斷這三條線段是否能圍成三角形？說一 說為什么？

（1）??? 3厘米，5厘米，7厘米。

（2）??? 5厘米，5厘米，10厘米。

（3）??? 4厘米，14厘米，7厘米。

生：通過三角形兩邊之和大于第三邊進行判斷，第 一題三條線段可以圍成三角形，其他兩組不可以。

師：4+14>7，為什么不能圍成三角形？

生：4+7<14，要任意兩邊之和大于第三邊才能圍成 三角形。

師：第三組線段，如果要換掉14厘米，換成幾厘米 可以圍成。

生：將14厘米換成1?10厘米都可以。

師：想象，將14厘米換成1厘米的時候，會出現(xiàn)什 么樣的情況？

線段長=團厘米?????? 線段長=日厘米

I

線段長=回厘米

設計意圖：“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，“任 意”對四年級的學生而言理解起來是非常抽象的，因此 利用換掉其中的一條邊的習題設計，在沖突中讓學生自 然感受到“任意”的具體含義，讓抽象的概念與具體的實 例相結合，教育自然發(fā)生。

（二）? 練習提升，發(fā)散思維

師：一條長20厘米的紙條，剪兩刀分成三條，第一 刀剪在什么地方，使得第二刀不論剪哪，都不能圍成三 角形？

生1 ：第一刀剪在8厘米處，8厘米、1厘米、11厘米 就不能圍成1個三角形。

生2：我不同意，第二刀可以剪成6厘米，8厘米、6 厘米、6厘米，是能圍成三角形的。

生3 ：第一刀剪在10厘米處，因為剩下兩條邊加起 來都只有10厘米，兩邊之和等于第三邊，不論怎么剪都 不能圍成三角形。

師：只能剪在10厘米處嗎？

生1 ：第一刀剪在0.1厘米處。

生2 ：不同意，剩下的兩邊之和19.9，大于0.1，在剩 下的中間剪，可以圍成三角形。

設計意圖：通過基礎練習，學生鞏固了對三邊關系 的理解，并通過換一根，讓學生具體感知三角形中“任 意”兩邊之和要大于第三邊中“任意”的含義，并通過拓 展提升，發(fā)散學生的思維，使其進一步理解三角形的三邊 關系。

【反思】

一、???????? 公理為基，推理融合

本課嘗試以鮮活的情境認知公理，進而滲透三角形 三邊關系的推導，并將公理推導融合于后續(xù)操作、探索、 驗證等感性活動中，達到公理為基、推理融合，使三角形 三邊關系的認知走向深刻。

二、???????? 生本課堂，兩個關注

本課充分體現(xiàn)了以生為本的教學理念，既關注學生 起點，又關注不同學生的發(fā)展。將前測數(shù)據(jù)作為課堂討 論的核心，讓學生產生思維的碰撞，又通過大問題、大環(huán) 節(jié)，給予學生大空間。如最后一題，“20厘米剪2刀，第 一刀剪哪里一定圍不成三角形”的設計就是讓不同層次 的學生都能伸手跳一跳，兼顧了不同學生的需要。

三、???????? 感性為基，技術助力

實物操作有一定的局限性，引入幾何畫板、利用想象 打破了局限。在本設計中，學生基于不斷想象，借助幾何 畫板的動態(tài)效果演示，直觀感受三條線段圍成的各種情 況。同時通過調整兩條線段與第三條線段的角度，顯示 兩條線段的運動軌跡，達到隨生調整的狀態(tài)。