問(wèn)題意識(shí)視域下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐與思考

葛秀蘭 王艷

【摘 要】數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分。問(wèn)題意識(shí)視域下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的具體路徑為：設(shè)計(jì)矛盾沖突，認(rèn)識(shí)標(biāo)準(zhǔn)之要;史話還原過(guò)程，感受溯源樂(lè)趣;引導(dǎo)知識(shí)遷移，自主建構(gòu)概念;借助測(cè)量實(shí)踐，豐富概念內(nèi)涵;開(kāi)展變式練習(xí)，感悟度量本質(zhì);梯度拓展延伸，促進(jìn)思維深化。

【關(guān)鍵詞】問(wèn)題意識(shí) ?小學(xué)數(shù)學(xué) ?概念

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，只有把問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，讓學(xué)生像“數(shù)學(xué)家”那樣思考概念本質(zhì)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過(guò)程，才能有效培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。下面以《認(rèn)識(shí)面積單位》一課為例做具體分析。

在設(shè)計(jì)《認(rèn)識(shí)面積單位》教學(xué)預(yù)案之初，備課組先大致確定了設(shè)計(jì)的原則：首先，面積單位的教學(xué)要放在度量單位體系整體建構(gòu)中完成;其次，面積單位概念的建構(gòu)既要利用好認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位經(jīng)驗(yàn)的知識(shí)遷移，還要能促進(jìn)后續(xù)的體積單位以及其他相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí);最后，在教學(xué)面積單位概念的過(guò)程中，要增強(qiáng)學(xué)生提出問(wèn)題并解決問(wèn)題的能力，運(yùn)用幾何直觀培養(yǎng)空間觀念，重視學(xué)生形成獨(dú)立的思維和創(chuàng)新意識(shí)。而且，這應(yīng)成為本節(jié)課的核心教學(xué)目標(biāo)。

根據(jù)這一核心目標(biāo)，我們梳理了一些問(wèn)題：（1）如何激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)面積單位的心理需求;（2）如何建立面積單位概念表象;（3）如何有利于學(xué)生對(duì)度量單位形成整體性認(rèn)識(shí);（4）怎樣讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中領(lǐng)會(huì)度量的本質(zhì);（5）如何讓學(xué)生習(xí)得度量單位的學(xué)習(xí)方法;（6）如何培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念等。整節(jié)課我們就以這些問(wèn)題為主線，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)，幫助學(xué)生深刻理解“面積單位”這一核心概念。

一、設(shè)計(jì)矛盾沖突，認(rèn)識(shí)標(biāo)準(zhǔn)之要

面積是對(duì)二維空間圖形的度量，在小學(xué)階段主要是指平面圖形的大小。此前，學(xué)生在認(rèn)識(shí)“長(zhǎng)度單位”時(shí)，已經(jīng)認(rèn)識(shí)到度量線段首先要統(tǒng)一長(zhǎng)度單位，構(gòu)建統(tǒng)一的度量標(biāo)準(zhǔn)。在此過(guò)程中，學(xué)生積累了一定的學(xué)習(xí)計(jì)量單位的思維經(jīng)驗(yàn)，但是“面積”和“面積單位”概念相對(duì)于“長(zhǎng)度單位”要更抽象，需要從一維空間的數(shù)值（長(zhǎng)和寬）向二維空間（大?。┛缭?，所以利用學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，設(shè)置矛盾沖突，激發(fā)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)“建立標(biāo)準(zhǔn)”和“統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)”十分必要。

【案例一】

師：瞧，這個(gè)長(zhǎng)方形紙片的面積就是這個(gè)面的大小。那紙片的面積到底有多大呢？（出示圖）

師：老師給你們準(zhǔn)備了一張格子紙，用它量一量紙片有幾格。（學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐）

生1：2格。

生2：3格。

生3：8格。

師：為什么同一個(gè)物體的面積，方格的個(gè)數(shù)不一樣呢？

生：格子大小不一樣。

師：原來(lái)用的格子有大有小，所以量的結(jié)果不一樣。如果還用數(shù)方格的方法測(cè)量面積，要得到統(tǒng)一的數(shù)據(jù)，你有什么辦法？

生：格子的大小要一樣。

師：測(cè)量時(shí)，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)很重要，就像測(cè)量長(zhǎng)度要用統(tǒng)一的長(zhǎng)度單位，測(cè)量面積也要用統(tǒng)一的面積單位。

圍繞問(wèn)題“測(cè)量同一個(gè)物體表面的面積，得出的結(jié)果為何不同”創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)矛盾沖突，激發(fā)學(xué)生思考因測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)多樣造成結(jié)果不同帶來(lái)的不便，從而產(chǎn)生“建立統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)”的需要，讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程有利于整個(gè)度量體系的建立。

二、史話還原過(guò)程，感受溯源樂(lè)趣

面積單位要統(tǒng)一兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，即“形狀”的標(biāo)準(zhǔn)和“大小”的標(biāo)準(zhǔn)。為什么沒(méi)有選用圓、三角形或其他圖形，而是選用正方形作為它的“形狀”標(biāo)準(zhǔn)，是源于人們?cè)跍y(cè)量中的易操作性而非它的本質(zhì)屬性，所以教學(xué)中無(wú)須讓學(xué)生花大量的時(shí)間探究，但認(rèn)識(shí)“形狀標(biāo)準(zhǔn)”的產(chǎn)生過(guò)程對(duì)學(xué)生完整構(gòu)建“面積單位”概念卻是不可或缺的。因此，我們?cè)O(shè)計(jì)了一段視頻輔助教學(xué)。

【案例二】

師：選用什么樣的圖形作為面積單位的形狀標(biāo)準(zhǔn)呢？相互說(shuō)一說(shuō)。

生：三角形、正方形、長(zhǎng)方形、圓形。

師：都很有想法，下面就讓我們一起看視頻，跟著歷史回顧面積單位“形狀”標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生的過(guò)程。

播放視頻，畫(huà)外音介紹：面積單位的產(chǎn)生是源于人們實(shí)際測(cè)量活動(dòng)的需要。那么，選擇什么樣的圖形以及多大的圖形作為面積單位自然也要方便人們的實(shí)際測(cè)量。通過(guò)大量的測(cè)量實(shí)踐，人們發(fā)現(xiàn)，如果用圓作為形狀標(biāo)準(zhǔn)，實(shí)際測(cè)量會(huì)產(chǎn)生大量空隙，測(cè)量的結(jié)果必然是不準(zhǔn)確的，而把土地分割成標(biāo)準(zhǔn)的正三角形、長(zhǎng)方形和正六邊形，其難度比分割成正方形要大。因此，勞動(dòng)人民在生產(chǎn)和生活中，自然地將土地分成了一個(gè)個(gè)正方形或長(zhǎng)方形（展示中國(guó)的象形漢字“田”和“畝”）。于是，用正方形作為面積形狀標(biāo)準(zhǔn)成了人們不約而同的選擇。

師（小結(jié)）：原來(lái)面積單位是用正方形作為標(biāo)準(zhǔn)的，那么用多大的正方形作為面積單位呢？

拋出問(wèn)題“選用什么樣的圖形作為面積單位的形狀標(biāo)準(zhǔn)呢”驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考。這雖不是面積單位概念的本質(zhì)屬性，但可以讓學(xué)生體驗(yàn)到許多數(shù)學(xué)概念不是“天外來(lái)客”，而是人類(lèi)在努力探究自然、社會(huì)和精神世界的過(guò)程中形成的體系化的認(rèn)識(shí)成果。教學(xué)中以視頻介紹的方式呈現(xiàn)，既不突兀又貼合學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)需要。

三、引導(dǎo)知識(shí)遷移，自主建構(gòu)概念

數(shù)學(xué)知識(shí)獲得的過(guò)程通常是知識(shí)疊加的過(guò)程，呈現(xiàn)螺旋上升的樣態(tài)。同樣的，在度量單位的體系里，從長(zhǎng)度單位到面積單位，空間從一維延伸到二維。利用學(xué)習(xí)長(zhǎng)度單位的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移，認(rèn)識(shí)不同的面積單位，感受面積單位的大小，是建構(gòu)面積單位概念最為有效的路徑。這樣的路徑還適用于學(xué)習(xí)、研究其他的度量單位，讓學(xué)生學(xué)到有生長(zhǎng)力的知識(shí)。

【案例三】

師：想一想，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些計(jì)量單位？

生：時(shí)間單位（時(shí)、分、秒），長(zhǎng)度單位（厘米、分米、米），質(zhì)量單位（克、千克），貨幣單位（元、角、分）。

師：猜一猜，我們今天學(xué)習(xí)的面積單位與什么單位有關(guān)？

生：長(zhǎng)度單位。

師：那面積單位與長(zhǎng)度單位有什么樣的聯(lián)系呢？（課件演示點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面的過(guò)程）

師：邊長(zhǎng)1厘米的正方形面積是1平方厘米。1厘米是長(zhǎng)度單位，1平方厘米是面積單位。

師：我們?cè)趯W(xué)習(xí)長(zhǎng)度單位時(shí)，用了認(rèn)一認(rèn)、畫(huà)一畫(huà)、找一找、量一量的辦法記住了這些長(zhǎng)度單位，是不是也可以利用這些辦法記住面積單位呢？學(xué)習(xí)小助手也可以幫助我們。（課件出示學(xué)習(xí)小助手）

在學(xué)生了解選用正方形作為面積單位形狀標(biāo)準(zhǔn)的歷史演變過(guò)程后，教師順勢(shì)以新的問(wèn)題“多大的正方形作為統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)呢”引導(dǎo)學(xué)生思考，教師適時(shí)介紹：為了便于交流，數(shù)學(xué)上規(guī)定統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)是1平方厘米、1平方分米、1平方米……進(jìn)而介紹邊長(zhǎng)為1厘米的正方形的大小就是面積單位1平方厘米，接下來(lái)帶領(lǐng)學(xué)生通過(guò)“認(rèn)、畫(huà)、找、量”等數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，幫助學(xué)生感知1平方厘米的實(shí)際大小，建立面積單位的表象。這樣的設(shè)計(jì)，借助操作、圖像、符號(hào)等多種表征方式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從借助實(shí)物進(jìn)行操作，到脫離實(shí)物在頭腦中進(jìn)行影像操作的過(guò)程，最終將面積單位的表象映在學(xué)生的腦海中。

四、借助測(cè)量實(shí)踐，豐富概念內(nèi)涵

面積單位的教學(xué)不僅需要讓學(xué)生形成面積單位的表象，更重要的是讓學(xué)生將面積單位的表象與生活中實(shí)際物體的面進(jìn)行聯(lián)結(jié)，并且能用面積單位度量生活中物體的面，讓學(xué)生通過(guò)大量的測(cè)量實(shí)踐，在腦海中形成面積單位大小的影像，豐富對(duì)面積單位的認(rèn)識(shí)。

【案例四】

1.測(cè)量橡皮面的面積

師：大家從學(xué)具袋里拿一些1平方厘米的正方形，量一量橡皮這個(gè)面的面積有多大。

（生測(cè)量活動(dòng)并匯報(bào)）

師：鋪滿橡皮的這個(gè)面用了 2個(gè)1平方厘米的正方形，我們就說(shuō)橡皮這個(gè)面的面積是2平方厘米。

師：如果鋪滿用了3個(gè)1平方厘米的正方形，面積是多少？鋪滿4個(gè)呢？

師（小結(jié)）：這個(gè)面包含幾個(gè)1平方厘米，面積就是幾平方厘米。

2. 測(cè)量1元硬幣面的面積

師：量一量1元硬幣面的面積有多大，遇到了什么困難？

生：不能正好鋪滿。

師：4個(gè)1平方厘米沒(méi)有正好鋪滿，還有較小的空白地方，可以說(shuō)硬幣面的面積大約為4平方厘米。

在測(cè)量活動(dòng)中，都選取學(xué)生熟悉的物品。先是測(cè)量橡皮一個(gè)面的面積，積累測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)和方法;再估測(cè)橡皮另一個(gè)面的面積，引導(dǎo)學(xué)生在自我比對(duì)和調(diào)整的過(guò)程中，逐步完善對(duì)面積單位大小的感知，從而建立更為清晰的概念表象。接著測(cè)量硬幣面的面積，讓學(xué)生在解決新問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)面積單位的意義，不斷感悟面積單位的價(jià)值。

五、開(kāi)展變式練習(xí)，感悟度量本質(zhì)

為了使學(xué)生全面正確地理解度量本質(zhì)，可以給學(xué)生提供直觀材料和實(shí)例，不斷變換非本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中感悟“面積就是面積單位的疊加”這一度量的本質(zhì)。

【案例五】

師：先用6個(gè)1平方厘米的正方形拼一拼，再想一想這些圖形的面積是多少？

（學(xué)生動(dòng)手拼一拼，并展示部分學(xué)生的作品）

生：面積都是6平方厘米。

師（追問(wèn)）：這些圖形的形狀各不相同，為什么面積都是6平方厘米？

生：因?yàn)檫@些圖形都是用6個(gè)1平方厘米的正方形拼成的，所以它們的面積都是6平方厘米。

【案例六】

師：下面圖形的面積各是多少平方厘米？和同學(xué)說(shuō)說(shuō)你的算法。（每個(gè)小方格表示1平方厘米）

師：這些圖形的面積是怎么得到的？

生1：可以把兩個(gè)三角形拼成1個(gè)正方形，面積就是1平方厘米。

生2：可以分成兩部分?jǐn)?shù)，先數(shù)有幾個(gè)小正方形，就是幾平方厘米，然后再數(shù)有幾個(gè)三角形，兩個(gè)三角形就是1平方厘米。最后把兩次數(shù)的結(jié)果加起來(lái)就是這個(gè)圖形的面積。

這樣的設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”策略，通過(guò)圖形的平移和旋轉(zhuǎn)將不完整的面積單位設(shè)法拼補(bǔ)成完整的面積單位，再進(jìn)行“計(jì)數(shù)”。學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，不但感悟了數(shù)學(xué)思想，還積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。

六、梯度拓展延伸，促進(jìn)思維深化

用“系列遞進(jìn)的問(wèn)題”聯(lián)結(jié)課堂教學(xué)，不僅在一定程度上遵循了學(xué)科知識(shí)發(fā)展的內(nèi)在邏輯，同時(shí)也是強(qiáng)化學(xué)生問(wèn)題意識(shí)、促進(jìn)學(xué)生思維深化的需要。

【案例七】

師：教室里黑板面的面積是多少？先估一估，再量一量。

生1：大約3平方米。

生2：大約4平方米。

師：到底是多大？我們一起來(lái)量一量。你們準(zhǔn)備選用哪個(gè)面積單位？

生：選用1平方米的正方形去量。

師：我們已經(jīng)量出黑板的面積是4平方米多一些，剩下的部分可以用什么面積單位去量？

生：再用1平方分米的正方形去量。

師：還有剩下的怎么辦呢？

生：再用1平方厘米去量。

師：通過(guò)對(duì)黑板面積的測(cè)量，我們發(fā)現(xiàn)選用多大的面積單位需要根據(jù)實(shí)際場(chǎng)地的大小。如果測(cè)量我們學(xué)校、城市、國(guó)家的面積需要用到什么面積單位？

生：需要用到更大的面積單位。（平方千米等）

師：因科學(xué)研究的需要，有時(shí)還要用到很小的面積單位。這些我們今后再學(xué)習(xí)和研究。

在幾次選用不同面積單位測(cè)量的過(guò)程中，讓學(xué)生在比較中感悟聯(lián)系，體會(huì)“知識(shí)從哪兒來(lái)” “往哪兒去” ，進(jìn)而拋出“如何測(cè)量學(xué)校、城市、國(guó)家的面積”這個(gè)問(wèn)題，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)面積的相關(guān)知識(shí)埋下伏筆，用新的問(wèn)題激發(fā)學(xué)生新的思考、新的探究。

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，只要教師把問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，以數(shù)學(xué)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)，就能使教學(xué)活動(dòng)真正有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而逐步培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)。學(xué)生在概念的建構(gòu)過(guò)程中，按照“提出問(wèn)題—探究問(wèn)題—解決問(wèn)題—發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題”的模式，循環(huán)往復(fù)、逐步深入地展開(kāi)，這些不斷被“發(fā)現(xiàn)”的新問(wèn)題就能推動(dòng)學(xué)生思維積極有效地開(kāi)展并走向深刻。學(xué)生從解決他人提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題走向主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題，不僅數(shù)學(xué)知識(shí)能得到靈活的應(yīng)用，問(wèn)題意識(shí)、創(chuàng)新能力也能得到有效培養(yǎng)。只有這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能全面提升，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之路才能越走越寬，越走越遠(yuǎn)。